2025屆甘肅省武威市天祝藏族自治縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆甘肅省武威市天祝藏族自治縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.公元前世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論:他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開(kāi)始與阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開(kāi)始后,若阿基里斯跑了米,此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí),烏龜先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下-個(gè)米時(shí),烏龜先他米....所以,阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí),烏龜爬行的總距離為()A.米 B.米C.米 D.米2.若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,,,則()A. B. C. D.4.下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是(1)對(duì)于命題使得,則都有;(2)已知,則(3)已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為;(4)“”是“”的充分不必要條件.A.1 B.2 C.3 D.45.如圖,是圓的一條直徑,為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù),若在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為()A. B. C. D.7.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入,,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是()A. B. C. D.8.已知為一條直線,為兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則9.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)等于()A. B. C.2 D.-210.已知集合,,則等于()A. B. C. D.11.直線x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.12.函數(shù)(且)的圖象可能為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.古代“五行”學(xué)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)14.設(shè)是定義在上的函數(shù),且,對(duì)任意,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為,且互不相等,則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù),記為.當(dāng)_________時(shí),為的幾何平均數(shù).(只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)15.已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為.16.給出下列四個(gè)命題,其中正確命題的序號(hào)是_____.(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))因?yàn)樗圆皇呛瘮?shù)的周期;對(duì)于定義在上的函數(shù)若則函數(shù)不是偶函數(shù);“”是“”成立的充分必要條件;若實(shí)數(shù)滿足則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)若函數(shù)存在極值,求m的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),對(duì)任意mR,若關(guān)于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整數(shù)k的取值集合.18.(12分)已知非零實(shí)數(shù)滿足.(1)求證:;(2)是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,為正三角形,平面平面分別是的中點(diǎn).(1)證明:平面(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)如圖,在底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上的一點(diǎn),.(1)若,求直線AP與平面所成角;(2)在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,都有,并證明你的結(jié)論.21.(12分)已知函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若在R上單調(diào)遞增,求正數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(3)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)于任意,若,則直線與曲線有唯一公共點(diǎn)(注:當(dāng)時(shí),直線與曲線的交點(diǎn)在y軸兩側(cè)).22.(10分)在平面四邊形(圖①)中,與均為直角三角形且有公共斜邊,設(shè),∠,∠,將沿折起,構(gòu)成如圖②所示的三棱錐,且使=.(1)求證:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)題意,是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),由,解得,再求和.【詳解】根據(jù)題意,這是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),所以,解得,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于中檔題.2、C【解析】

由題可知,設(shè)函數(shù),,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點(diǎn),得出單調(diào)性,根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),結(jié)合圖象,可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù),,因?yàn)?,所以,或,因?yàn)闀r(shí),,或時(shí),,,其圖象如下:當(dāng)時(shí),至多一個(gè)整數(shù)根;當(dāng)時(shí),在內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù),只需,,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問(wèn)題,還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象,同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.3、D【解析】試題分析:由于在等比數(shù)列中,由可得:,又因?yàn)椋杂校菏欠匠痰亩?shí)根,又,,所以,故解得:,從而公比;那么,故選D.考點(diǎn):等比數(shù)列.4、C【解析】

由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,即可判定是正確的;(2)中,根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì),即可判定是正確的;(3)中,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,即可判定是正確;(4)中,基本不等式和充要條件的判定方法,即可判定.【詳解】由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,可知命題使得,則都有,是錯(cuò)誤的;(2)中,已知,正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可知其對(duì)稱軸的方程為,所以是正確的;(3)中,回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,可得回歸直線方程為是正確;(4)中,當(dāng)時(shí),可得成立,當(dāng)時(shí),只需滿足,所以“”是“”成立的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì),以及基本不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

連接、,即可得到,,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得;【詳解】解:連接、,,是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),,且,所以四邊形為棱形,.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由求出范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點(diǎn)特征,建立不等量關(guān)系,即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,∵在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),整體代換是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

先明確該程序框圖的功能是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),再利用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計(jì)算,中的最大公約數(shù),所以,,,故當(dāng)輸入,,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是57.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎(chǔ)題.8、D【解析】A.若,則或,故A錯(cuò)誤;B.若,則或故B錯(cuò)誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.9、B【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算,化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足,∴,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.【詳解】,1,2,,,,1,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義,考查了交集的定義及運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由直線x-3y+3=0過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,得到左焦點(diǎn)為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,令所以c=3,即橢圓的左焦點(diǎn)為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因?yàn)镕C=2CA,所以FA=3又由點(diǎn)A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,即可得12、D【解析】因?yàn)?,故函?shù)是奇函數(shù),所以排除A,B;取,則,故選D.考點(diǎn):1.函數(shù)的基本性質(zhì);2.函數(shù)的圖象.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1.【解析】試題分析:由題意,可看作五個(gè)位置排列五種事物,第一位置有五種排列方法,不妨假設(shè)排上的是金,則第二步只能從土與水兩者中選一種排放,故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1.考點(diǎn):排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.點(diǎn)評(píng):本題考查排列排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題,解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說(shuō)的背景,利用分步原理正確計(jì)數(shù),本題較抽象,計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳.14、【解析】

由定義可知三點(diǎn)共線,即,通過(guò)整理可得,繼而可求出正確答案.【詳解】解:根據(jù)題意,由定義可知:三點(diǎn)共線.故可得:,即,整理得:,故可以選擇等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的斜率公式,考查了推理能力,考查了運(yùn)算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點(diǎn)共線.15、4【解析】

由題意結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)和均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.據(jù)此可知:的最小值為4.【點(diǎn)睛】條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值.16、【解析】

對(duì)①,根據(jù)周期的定義判定即可.對(duì)②,根據(jù)偶函數(shù)滿足的性質(zhì)判定即可.對(duì)③,舉出反例判定即可.對(duì)④,求解不等式再判定即可.【詳解】解:因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以由周期函數(shù)的定義知不是函數(shù)的周期,故正確;對(duì)于定義在上的函數(shù),若,由偶函數(shù)的定義知函數(shù)不是偶函數(shù),故正確;當(dāng)時(shí)不滿足則“”不是“”成立的充分不必要條件,故錯(cuò)誤;若實(shí)數(shù)滿足則所以成立,故正確.正確命題的序號(hào)是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2){1,2}.【解析】

(1)求解導(dǎo)數(shù),表示出,再利用的導(dǎo)數(shù)可求m的取值范圍;(2)表示出,結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求出的最小值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及基本不等式求出的最值,從而可求正整數(shù)k的取值集合.【詳解】(1)因?yàn)椋?,所以,則,由題意可知,解得;(2)由(1)可知,,所以因?yàn)檎淼?,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以存在,使得,設(shè),是關(guān)于開(kāi)口向上的二次函數(shù),則,設(shè),則,令,則,所以單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以存在,使得,即,?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)?,所以,又由題意可知,所以,解得,所以正整數(shù)k的取值集合為{1,2}.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究極值問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,恒成立問(wèn)題要逐步消去參數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解,適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵,本題綜合性較強(qiáng),難度較大,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).18、(1)見(jiàn)解析(2)存在,【解析】

(1)利用作差法即可證出.(2)將不等式通分化簡(jiǎn)可得,討論或,分離參數(shù),利用基本不等式即可求解.【詳解】又即即①當(dāng)時(shí),即恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),故②當(dāng)時(shí)恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),故綜上,【點(diǎn)睛】本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)連接,由菱形的性質(zhì)以及中位線,得,由平面平面,且交線,得平面,故而,最后由線面垂直的判定得結(jié)論.(2)以為原點(diǎn)建平面直角坐標(biāo)系,求出平面平與平面的法向量,,最后求得二面角的余弦值為.【詳解】解:(1)連結(jié)∵,且是的中點(diǎn),∴∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴又為菱形,且為棱的中點(diǎn),∴∴.又∵,平面∴平面.(2)由題意有,∵四邊形為菱形,且∴分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則設(shè)平面的法向量為由,得,令,得取平面的法向量為∴二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】處理線面垂直問(wèn)題時(shí),需要學(xué)生對(duì)線面垂直的判定定理特別熟悉,運(yùn)用幾何語(yǔ)言表示出來(lái)方才過(guò)關(guān),一定要在已知平面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直,才可以證得線面垂直,其次考查了學(xué)生運(yùn)用空間向量處理空間中的二面角問(wèn)題,培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象力.20、(1);(2)存在,Q為線段中點(diǎn)【解析】

解法一:(1)作出平面與平面的交線,可證平面,計(jì)算,,得出,從而得出的大??;(2)證明平面,故而可得當(dāng)Q為線段的中點(diǎn)時(shí).解法二,以為原點(diǎn),以為建立空間直角坐標(biāo)系:(1)由,利用空間向量的數(shù)量積可求線面角;(2)設(shè)上存在一定點(diǎn)Q,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,可得,由向量垂直,數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】(1)解法一:連接交于,設(shè)與平面的公共點(diǎn)為,連接,則平面平面,四邊形是正方形,,平面,平面,,又,平面,為直線AP與平面所成角,平面,平面,平面平面,,又為的中點(diǎn),,,,直線AP與平面所成角為.(2)四邊形正方形,,平面,平面,,又,平面,又平面,,當(dāng)Q為線段中點(diǎn)時(shí),對(duì)于任意的實(shí)數(shù),都有.解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,所以,,,又由,,則為平面的一個(gè)法向量,設(shè)直線AP與平面所成角為,則,故當(dāng)時(shí),直線AP與平面所成角為.(2)若在上存在一定點(diǎn)Q,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則,,依題意,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)要使,等價(jià)于,即,解得,即當(dāng)Q為線段中點(diǎn)時(shí),對(duì)于任意的實(shí)數(shù),都有.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計(jì)算,考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1);(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析【解析】

(1)需滿足恒成立,只需即可;(2)根據(jù)的單調(diào)性,構(gòu)造新函數(shù),并令,根據(jù)的單調(diào)性即可得證;(3)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明有唯一實(shí)數(shù)解,對(duì)求導(dǎo),判斷其單調(diào)性,結(jié)合題目條件與不等式的放縮,即可得證.【詳解】;令,則恒成立;,;的取值范圍是;(2)證明:由(1)知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;;令,;則;令,則;;;(3)證明:,,要證明有唯一實(shí)數(shù)解;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;即對(duì)于任意實(shí)數(shù),一定有解;;

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