2021年上海高考數(shù)學沖刺直通車04 三角函數(shù)與解三角形（專練）

考點04三角函數(shù)與解三角形

一、單選題

1.（2020?上海高三專題練習）已知e,4角的始邊都在x軸的正半軸上，則匕=p是。與￡的終邊互為

反向延長線的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【分析】當a-b=P時.，可判斷兩角的終邊互為反向延長線，從而證明其充分性；當a與夕的終邊互為

反向延長線時，通過舉特例可證明a-。=p不一定成立，從而證明非必要性.

【詳解】解：當時、a=p+b,此時兩角的終邊互為反向延長線；

當a與夕的終邊互為反向延長線時，不妨設(shè)a=0/=3萬，

所以a-8=P是。與夕的終邊互為反向延長線的充分非必要條件，

故選:A.

【點睛】本題考查了角的概念，考查了命題的充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2020.上海市進才中學高三期中）關(guān)于函數(shù)f（x）=sinx+—!一,下列觀點正確的是（）

smx

A./（X）的圖象關(guān)于直線x=0對稱B.“X）的圖象關(guān)于直線X=（對稱

C./（X）的圖象關(guān)于直線x對稱D./（x）的圖象關(guān)于直線》=燈對稱

【答案】C

【分析】利用x）=,f（a+x）等價于f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱”或反例逐項檢驗后可得正

確的選項.

71

【詳解】對于A,因為，故A錯.

對于B,因為

冗乃7171

故/—+一,故B錯.

4~12412

711

對于C,f~~xCOSX+----

cosx

1COSX+—^―=/71

sinfy+x1+y-X

sinf+xcosx

故〃x）的圖象關(guān)于宜線x=］對稱，故C正確.

7T=2,小+f=_2川若

對于D,f7T------

2

故D錯.故選：C.

【點睛】結(jié)論點睛：⑴如果函數(shù)“X）滿足/（a—x）=〃a+x）,則的圖象關(guān)于直線x=。對稱,

反之也成立；⑵如果函數(shù)滿足/?（a-x）+〃a+x）=?,則/（X）的圖象關(guān)于點（a,b）對稱，反

之也成立.

3.（2020?上海高三專題練習）設(shè)0<Q<〃,sina+cosa='，則cos2a的值為（）

2

A百a幣「qan_1

44-44

【答案】B

337r3it

【分析】先求出sin2a=-[,再求出一<。<二，所以冗<2a<，，再利用平方關(guān)系求解.

4242

13

【詳解】由題得l+sin2a=—,二.sin2a=——.

44

當0<a<]時，sina+cosa-41sin(6z+-^),

因為f<a+f<~7"，所以~~<sin(a+—)<1,

44424

所以sina+cosa=V^sin(a+?)

.1,.?,I

sina+cos。=一，所以一<a<〃，

22

sina+cosa=—>0,所以一<a<—，

224

所以兀<2a(二，

2

所以cos2a--.11——=—-

V164

故選：B.

【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系求值，考查二倍角公式和輔助角公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的圖

象和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

4.（2020.上海長寧區(qū).高三二模）在直角坐標系xQy中，角a的始邊為x軸的正半軸，頂點為坐標原點0,

已知角a的終邊/與單位圓交于點A（0.6,m）,將/繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)]與單位圓交于點8（x,y）,若

4

tana=—,則（）

3

A.0.6B.0.8C.-0.6D.-0.8

【答案】B

【分析】已知角a的終邊/與單位圓交于點A（0.6,m）,且tana=-g,利用三角函數(shù)的定義，求出

加=-0.8,得出A（0.6,-0.8）在第四象限，/繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)^與單位圓交于點3（x,y）,

可知點5（x,y）在第一象限，則N80x=]+a,再利用三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式進行化簡計算，即可求

出x的值.

【詳解】解：已知角a的終邊/與單位圓交于點A（0.6,m）,且tana=—g,

m4

則tana=--=—,解得：m=-0.8,

0.63

所以A（0.6,-0.8）在第四象限，角a為第四象限角，

/繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)'與單位圓交于點B（x,y）,

可知點8（x,y）在第一象限，則NBOx=5+a,

所以（：05/33=（：0§（2+11=-§1111,即：—=-\

解得：x=0.8.

故選：B.

【點睛】本題考查單位圓中任意角的三角函數(shù)的定義的應(yīng)用以及運用誘導(dǎo)公式化簡，考查計算能力.

二、填空題

5.(2020.上海交通大學附屬中學浦東實驗高中高三期中)在半徑為2米的圓形彎道中，?角所對應(yīng)的彎道

為.

【答案】y

【分析】根據(jù)扇形的弧長公式，即可求解.

【詳解】由題意，根據(jù)扇形的弧長公式，可得所對應(yīng)的彎道為"X2=——.

63

故答案為：

7T

6.(2020?上海市五愛高級中學高三期中)若角a的終邊經(jīng)過點尸(-5,12),則Sin(——a)=

2

【答案】

13

【分析】由三角函數(shù)的定義求出cosa的值，由誘導(dǎo)公式即可得結(jié)果.

-55

【詳解】因為角a的終邊經(jīng)過點P(—5,12),所以cos==]_研+點=一行，

JI5

所以sin('-a)=cosa=--,

故答案為：—一.

13

7

7.(2020?上海市奉賢區(qū)曙光中學高三期中)已知sina+cosa=，y,?！?0,%)，則tana=.

【答案】—1

【分析】根據(jù)已知條件求得sina,cose的值，由此求得tana的值.

7

【詳解】依題意sina+cosa=—,兩邊平方得

17

49240

l+2sinacosa=---,2sinacosa=-----<0,

289289

而aw(O,;r),所以sina>0,cosa<0,

所以sina-cosaa-cosay=Vl-2sinacoscz=

-

7

sina+cosa=

17.158

由“cc解得sina二二一，cosa二

231717

sina-cosa=—

17

sina_15

所以tana二

cosa8

15

故答案為：

【點睛】sine土cosa,sinacosa知道其中一個，可通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得另外兩個，在求

解過程中要注意角的范圍.

8.（2020.上海市進才中學高三期中）在A6C中，tanA=l,tan6=2,則tanC=.

【答案】3

【分析】由已知和正切和角公式求得tan（A+B）,再利用三角形的內(nèi)角和公式和誘導(dǎo)公式可得答案.

【詳解】ABC中，有A+B+C=萬，所以11。=1211[%-（4+8）]=-1211（4+8）,

tanA+tanB_1+2

tan（A+B）—3,所以tanC=3，

1—tanAtanB1—1x2

故答案為：3.

三、解答題

9.（2020?上海大學附屬中學高三三模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表.其中《方田》章給出

計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積=1（弦'矢+矢2）.弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，公

2

式中“弦''指圓弧所對弦長，“矢'’等于半徑長與圓心到弦的距離之差.

按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差,現(xiàn)有圓心角為27三r，弦長等于9米的弧比

3

（1）計算弧田的實際面積；

（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗公式計算所得結(jié)果與（1）中計算的弧田實際面積相差多少平方

米？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

【答案】(1)9萬一2座(加2)：(2)少1.52,/

4

試題分析：(1)本題比較簡單，就是利用扇形面積公式S=1/r=1a戶來計算弧田面積，弧田面積等于扇形

22

面積一對應(yīng)三角形面積.(2)由弧田面積的經(jīng)驗計算公式計算面積與實際面積相減即得.

試題解析：(1)扇形半徑廠=3J5，

扇形面積等于3射？=」x竺x(3后>=9打

223

弧田面積=」劭z—l^sin絲=9開一生巨(m2)

2234

(2)圓心到弦的距離等于工廠，所以矢長為按照上述弧田面積經(jīng)驗公式計算得

22

小弦'矢+矢2”夢￥+爭斗如》

c27027-7327

yH-----------—?,=1.51664798&1.52平方米

448

按照弧田面積經(jīng)驗公式計算結(jié)果比實際少1.52平米.

考點：(1)扇形面積公式；(2)弧田面積的經(jīng)驗計算公式.

10.(2020?上海市南洋模范中學高三期中)己知函數(shù)y=/(x),xe[a,b]的圖像為曲線C,兩端點為

“,,、、D/.、上心5一八一a+Ahf\a)+Af(b),八

A(a,7(a)),B(b,f(b)),點Mg,%)為線段AB上的一點，其中％=---—,yQ=-~~/——，4>0,

1+A1+九

點憶Q均在曲線C上，且點P的橫坐標等于飛,點Q的縱坐標為為?

(1)設(shè)/(幻=011%%€[0,々-],/1=3,求點P,。的坐標；

(2)設(shè)/(x)=Lxwt，2],求MPQ的面積的最大值及相應(yīng)；I的值.

x2

【答案】(1)pfpl,3GQ1

,。arcsin---,--;-(-2)>1=1時，最大值為---.

88)800

【分析】(1)/(x)=sinx,xe0,—,2=3,由題設(shè)知a=0,/?=3-,進而算出不，兒,再代入函數(shù)中

求出點P的縱坐標，點。的橫坐標，即可求出點P,。的坐標.

(2)由/(x)=Lxe

-,2,得

x

,-+222+5

i22

ci——、b=2>Ak—,No-

2°1+401+A七%

].If1[1](1

=-x|A/P|x|M2|=-x%——-x0——=--------2再用換元法和基本不等

22(無(Jl2(MNo)

式求最值.

【詳解】(1)/(x)=sinx,xe0,—,4=3,其兩端點為A(a,/(a)),8(仇/(份)

00+3X—sinO+3sing3G

八八2萬371

.\a=0,b=——,x=---------=一，％=

301+32°1+38

則點尸的縱坐標sin[=1，點Q的橫坐標sinx=?①,x=arcsin之叵

288

71八J.3G3后)

』，Qarcsin———

)I)

?4+2/l2+』4

(2)

/(X)=-,XG25=-、b=2,x()—,VM-

Xp2°1+401+4

由題得：IMP|=y0-----,\MQ\=x0------,

%為

j?i1)1(1

■■SR,VMPQ=-x|MP|x|A/e|=-x%——"x0——=-/%+-------2,

22l尤。八y())2(方為)

1117Q

+2%2d—AH—2+1

_一一

又與%2___x_24iI4

1+41+%+2A+1a+1+2

I

19

<

-4-

乂/1>0,AH---F2>41<1+—7—<—(當且僅當；1=1時取等)，即

A2+-+22+1+216

2

2

f.25

5%

令1=*0%￡[1，記，,SA/MPQ=51+;-2j，

i(25"

下面證y=x+—在1,7T上是遞增函數(shù)，

xV16_

(25nr.,1(1)(X,-%2)(%,%2-1)

任取￡h—，且*<%，則y—%----x2—=---------=——

I16王I^2)XyX2

1[25

Qx,-x9<0,x,x2-l>0,即丫=乂+—在上是遞增函數(shù),

x\16

(\

25,12518]

t=—時,y取最大值2而+至-2=—1

16

I16>

Q]

=MPQ的最大值為——

800

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件:

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)

成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是

所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方

11.（2020?上海市建平中學高三月考）某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD內(nèi)舉行機器人攔截挑戰(zhàn)

賽，在E處按燈方向釋放機器人甲，同時在A處按某方向釋放機器人乙，設(shè)機器人乙在。處成功攔截機

器人甲.若點。在矩形區(qū)域ABC。內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.已知AB=18米，E為AB

中點，機器人乙的速度是機器人中的速度的2倍，比賽中兩機器人均按勻速直線運動方式行進，記與EB

的夾角為"

TT

（1）若。=—,A。足夠長，則如何設(shè)置機器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功？

3

（2）如何設(shè)計矩形區(qū)域A8CD的寬AO的長度，才能確保無論。的值為多少，總可以通過設(shè)置機器人乙的

釋放角度使機器人乙在矩形區(qū)域A3CO內(nèi)成功攔截機器人甲？

【答案】（1）機器人乙按與的夾角為arccos姮的角度釋放才能挑戰(zhàn)成功；（2）寬AO至少為6米.

4

【分析】（1）由題意可知AQ=2EQ,設(shè)EQ=x,則AQ=2x,利用余弦定理可求得x的值，進而利用

余弦定理可求得cosa的值，由此可求得結(jié)果；

x9

（2）設(shè)=則AQ=2EQ=2x,利用余弦定理以及誘導(dǎo)公式可求得cos6=上—二，可計算出

62x

xsinB=『得卜2_45丫+36,求得xsin。的最大值，可得出仞小而瞑，進而可得出結(jié)論.

【詳解】（1）由于機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍，故AQ=2EQ,

設(shè)￡Q=x,ZQAB=a,易知xe（3,9）,

由余弦定理可得cos（萬—。）=cos2萬=9f⑷-=一L，

,732x9x%2

整理得J—3x—27=0,解得x=3+3而.

2

92+（2%）2-X2%9V13V13

cosa=-----------------=—+—=-----=>a=arccos------，

2x9x2%124x44

答：機器人乙按與AB的夾角為arccos姮的角度釋放才能挑戰(zhàn)成功：

(2)設(shè)EQ=x,則AQ=2fQ=2x,易知xw(3,9),

92+X2-(2X)29x9

=?.cos0=—

由余弦定理可得C0S（7T-~2x

2x9xx2x66

22■如2-45『

xsin6二^x(l-cos^)=+36,

由題意得AD>xsin0對任意xe（3,9）恒成立,

故AD2（xsin69,w=6,當且僅當x=3有時取到等號.

答：矩形區(qū)域A3CO的寬至少為6米時，才能確保無論。的值為多少，總可以通過設(shè)置機器人乙的釋

放角度使機器人乙在矩形區(qū)域ABC。內(nèi)成功攔截機器人甲.

【點睛】本題考查解三角形的綜合應(yīng)用，考查余弦定理、反三角以及二次函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算

能力，屬于中等題.

12.（2020?上海市南洋模范中學高三期中）已知函數(shù)〃x）=Asin卜+?）,XGR,且/［得7）=|.

（1）求H的值；

（2）若求/@）一。］

【答案】（1）A=6（2）型.

4

【分析】（1）將％代入函數(shù)/（X）的解析式求出A的值；

（2）先利用已知條件/（。）+/（-。）=|,結(jié)合兩角和與差的正弦公式求出。的某個三角函數(shù)值，然后將

x=多-8代入函數(shù)f（x）的解析式，并結(jié)合誘導(dǎo)公式對）一。）進行化簡，最后利用同角三角函數(shù)的

基本關(guān)系求出萬一e)的值.

【詳解】(1)/(2%)=Asin—+—=Asin-=Asin7r-^-\=Asin—=-A=—,

112J<124)3<3)322

所以A=V5，.,?/(x)=6sin(x+￡)；

(2)

/'(e)+/(_e)=Gsin(e+?)+^sin(_e+?)

=力(sindcos?+cos6sin?)+百(一sin6cos?+cos8sin今)=V6cos3-,

:.cos8=國

4

=Gsin(兀-8)=也sin9=6x-當。.

【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和的三角函數(shù)，綜合考查：.角函數(shù)的求值

問題，屬于中等題.

境弓。＞三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

一、單選題

1.(2020?上海高三專題練習)設(shè)函數(shù)/(x)=sin3x+Mn3x|,則f(x)為()

A.周期函數(shù)，最小正周期為：B.周期函數(shù)，最小正周期為?

33

C.周期函數(shù)，最小正周期為2%D.非周期函數(shù)

【答案】B

【分析】化簡三角函數(shù)，畫出圖像，根據(jù)圖像得到答案.

.27t2

2sin3元,一&乃<x<—卜一k7C,kGZ

333

［詳解］/(x)=sin3x+|sin3x|=<畫出函數(shù)圖像，如圖所示:

C42,2乃277r

0,—l—kji<x<----1—kjr、kwZ

3333

根據(jù)圖像知：函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期為《-.

故選：B.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)周期，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?上海高三專題練習）若函數(shù)/（幻=豆112%-；（％6/?）,則/（幻是（）

A.T=g的奇函數(shù)B.T=乃的奇函數(shù)C.T=2〃的偶函D.T=不的偶函數(shù)

【答案】D

【分析】將函數(shù)/（幻化簡為余弦型函數(shù)，可求出周期，再利用函數(shù)的奇偶性定義判斷奇偶性，即可得出結(jié)

論.

,￡/、.21l-cos2x11c

【詳解】f(x)=sinx—=----------------=—cos2x,

2222

/⑶周期為T-s

f(-x)=-^cos(-2x)=-^cos2x=f(x)

/（X）是偶函數(shù).

故選：D.

【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，三角恒等變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

71

3.（2020?上海高三專題練習）在區(qū)間-,7T上，下列說法正確的是（）.

A.y=sinx是增函數(shù),且y=<^。5］是減函數(shù)

B.y=sinx是減函數(shù),且y=<^^是增函數(shù)

C.y=sinx是增函數(shù),且丁=<?5%是增函數(shù)

D.y=sinx是減函數(shù),且y=cosx是減函數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項.

JTITTTSTT

【詳解】y=sinx的增區(qū)間為2k兀--,2k兀+—,keZ、減區(qū)間為22%+—,2Z;TH------、keZ、

2222

丁=?05%的增區(qū)間為［2%乃一》,2%句,左62,減區(qū)間為［2%乃,2%乃+句,%€2,

7171

因此y=sinx在-,7i上為減函數(shù)，y=COSX在上為減函數(shù)，

1_2」1.2」

故選：D.

【點睛】本題考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，熟記兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是關(guān)鍵，本題屬于容易題.

二、填空題

cos3x+--sin3x+一

4.(2020?上海高三專題練習)函數(shù)y=-j——式——7——1的定義域是,最小正周期是

一

cos[3x4+—+sin{3x+4

—，值域是.

【答案】卜|光力子+看,左€21yR

【分析】利用兩角和差的正弦、余弦公式化簡函數(shù)為y=-tan2x,根據(jù)正切函數(shù)的定義域、最小正周期和

值域，即可得出結(jié)論.

cos3x+--sin3x+—

[詳解]y=-7——彳——7——-

cos(3x+(J+sin[3x+(

^-cos3x-V2sin3x-交

sin3x-—cos3x

2222

&os3x—gin3x+夜sin3x+也cos3x

2222

sin3x.

=-------=-tanJX，

cos3x

函數(shù)的定義域，需滿足

jrKTC7T

——,keZ、即xw---1——,keZ，

236

k兀

所以函數(shù)的定義域為JXIXHeZ卜

7T

函數(shù)的周期T=—,值域為/?.

3

故答案為：{1IX工程?+[?，攵￡z}；y；R.

【點睛】本題考查三角恒等變換、正切型函數(shù)的性質(zhì)，熟記函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2020?上海高三專題練習）使函數(shù)y=sin（2x+0）+Gcos（2x+0）為奇函數(shù)，且在0弓是減函數(shù)的

夕的一個值可以是.

【答案】y（答案不唯一，只要滿足。=與+2版^￡Z）即可）

【分析】利用輔助角公式進行化簡，根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，即可得解.

【詳解】y=sin（2x+e）+&cos（2x+0）=2sin[2x+0+（）,

函數(shù)y=5抽（21+9）+6以）5（2%+0）為奇函數(shù)，

：.（p+1=k7i（keZ）,解得°=一§+攵?（攵￡Z）,

若夕為斗，則y=2sin（2x+*^+?]=2sin（2x+乃）=-2sin2x,

TTTT

由04x4一,得042x4一,此時y=12sin2x為減函數(shù)，滿足題意.

42

故答案為：y（答案不唯一，只要滿足/=杏+2"（左WZ）即可）.

【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及輔助角公式，考查學生對這些知識的掌握能力，屬于中

檔題.

三、解答題

6.（2020?上海高三專題練習）（1）aG（0,7r）,sin6Z+cos6Z,求cos2。；

(2)ae(4,27r),cosa-sina=g,求cos2a.

【答案】（1）一姮；（2）—叵

99

乃）.所以（肛）再利用平方關(guān)系求解;

【分析】（1）先求出疝2。=—,再求出a￡7132aeg"

24

（2）先求出sin2a=[,再求出a5）3■乃）,2ae[■5|乃,3）），再利用平方關(guān)系求解.

422

1Q

【詳解】（1）由（sina+cosa）2=§可知疝20=-5

sina+cosa=?sin(a+匹),

4

TT兀乃3乃友

當0<a<一時,—<a+—<————<sin(a+—)<1,

244424

所以sina+cosa=V^sin(a+?),

1(4

由于sina+cosa=-e(0,l),所以,萬|；此時sina>0,cosa<0,

3

而sina+cosa=1>0,所以|sina|>|cosa|,

3

71,彳3萬）.所以乃,[萬

于是ae2?€[

24J

cos1a--

8

(2)由題得awQr,2;r),sina-cosa--,所以sin2a

39

sina-cosa=V^sin(a-J,

“3)小「5"7t7乃

當—<a<27r時，—<CL----<—，

2444

所以sina-cosa=

1,3%

aG(肛2")，sina-cosa一,所.以乃<a<—.

32

sin。-cos。=一一<0,所以a,2ae一萬，37r

3142；12

【點睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查二倍角的正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用，考查三

角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

7.(2020?上海高三專題練習)已知函數(shù)/,(幻=45皿2(口龍+。)[4>0,。>0,0<8<^|),且y=/(x)的

最大值為2,其圖像相鄰兩對稱軸間的距離為2,并過點(1,2).

(1)求夕;

(2)計算/⑴+/(2)+/(3)++/(2016)的值.

【答案】⑴-：(2)2016

4

AAjr

【分析】(1)變換了(乃=,一,以%(28+28),根據(jù)函數(shù)最值得到A=2,根據(jù)周期得到(y=z，代入

點(1,2)得到答案.

(2)計算/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,根據(jù)函數(shù)周期得到答案.

AA

【詳解】(l)/(x)=Asin2(cox+(p)=---cos(2tyx+2<p],y=/(x)的最大值為2,則A=2,圖像

相鄰兩對稱軸間的距離為2,則T=2=4,a)=-,

2a)4

/(x)過(1,2),則/⑴二1-85(1+29)=2,即sin2e=l7171

0<^?<—,故。=~4

71

(2)/(x)=l+sin-x,/(l)+/(2)+/(3)+/(4)=2+l+0+l=4,

又y=/(x)的周期為4,故/⑴+/(2)++/(2016)=4x5()4=2016.

【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的最值，周期，過點求參數(shù)，三角函數(shù)周期的應(yīng)用，意在考查學生的計算能

力和應(yīng)用能力.

8.(2020?上海高三專題練習)求函數(shù)y=sin?x+二+cos?X-=-1的最小正周期與最大值、最小值.

【答案】T=7r,ymm=pymin=—1

【分析】利用降幕公式和兩角和差余弦公式，將函數(shù)化簡為正弦型函數(shù)，應(yīng)用周期公式和正弦函數(shù)的有界

性，即可求解.

【詳解】丁=sin~(x+丘)+c°s~日—1

TTTT

1-cos(2x+—)1+cos(2x---)

cos2x+-sin2A：+—cos2x+-sin2x)

22222

=—sin2x,

2

.??函數(shù)的最小正周期丁=2^4=?，最大值1

最小值Vmin=一

【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，三角恒等變換是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

使可善解三角形

一、單選題

1.(2020.上海高三專題練習)用長度分別為2,3,4,5,6(單位：cm)的5根細木棒圍成一個三角形(允許連

接，但不允許折斷)，能夠得到的三角形的最大面積為().

A.8\/5cm2B.6V10cm2C.3V55cm2D.20cm2

【答案】B

【分析】利用海倫面積公式確定三角形面積的最大取法：三角形三邊長最接近時面積最大，再確定三邊長

最接近的情況，最后求出對應(yīng)三角形面積.

【詳解】設(shè)三角形的三邊分別為",仇c,令p=”1+￡,則〃=2+3+4+5+6=IO

22

由海倫公式得三角形的面積為S=[p(p-aKp-b)(p-c)=J10(10_a)(10_b)(10_c)

4J10x(l^~+lO;b+lO]=^^當且僅當q=b=c=與時取等號，顯然等于號取不到，

所以5＜些叵，故當瓦c三邊長最接近時面積最大，此時三邊長為7,7,6,用2,5連接，3,4連接各為

一邊，

第三邊長為7組成三角形，此三角形面積最大，面積為1x6x572-32=6加0?

2

故選：B.

【點睛】本題考查三角形中的面積問題、基本不等式應(yīng)用，考查綜合分析求解能力，屬較難題.

2.（2020.上海高三專題練習）直三棱柱ABC—4AG中，AA=1,A5=4,BC=3,乙46c=90°，

設(shè)平面A/G與平面ABC的交線為/，則4a與/的距離為（）.

A.1B.5C.17D.2.6

【答案】D

【分析】將直三棱柱ABC—44cl補成直四棱柱ADBC-AA4G，且四邊形AD3C為平行四邊形，則

平面\BC,即為平面AQBG,所以直線I為BD,則AG與I的距離即為則AG與3。的距離，在VA^G

中求A6邊上的高即可.

【詳解】如圖，將直三棱柱48C-A4G補成直四棱柱AD5C-4D4G,且四邊形AD5c為平行四邊

形，則平面4BG即為平面4DBG,所以直線/為則4G與/的距離即為則4G與的距離，設(shè)

為h,

由已知可得：在三角形中,

BCi=[cc；+=J1+32=而,%=Jw+Bl=Jl+42=Vi7，

2222

AiCl=AC=>JAB+BC=73+4=5，

府+史―電；10+17-251

cosZ/AjBC)=

2A.BBQ2V170-V170

SABG=2AB?BC/sinABCt=—AtCi-h,

_____13

VFTXA/IOx---=5h,得〃=26

V170

故選：D.

【點睛】本題考查空間中兩平行線的距離，可轉(zhuǎn)化為三角形的高來解決，是中檔題.

二、填空題

3.(2020?上海高三專題練習)已知a,4c分別為ABC三個內(nèi)角A,8,。的對邊，。=2,且

(2+Z?)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則ABC面積的最大值為.

【答案】百

【分析】先利用正弦定理將條件(。+。)(5皿4一4118)=9一份豆11。中的角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再利用余弦

定理求解出角A的值，再利用邊〃的余弦定理和均值不等式求出he的最大值后即可求解出面積的最大值.

【詳解】因為(a+b)(sinA-sin8)=(c-b)sinC.

所以根據(jù)正弦定理得：(a+b)(a-0)=(c-b)c,

化筒可得：〃+c?-/=be>

172,2_21

即cosA=幺",(A為三角形內(nèi)角)，解得：4=60°，

=2b「c2

又〃+一=42be，(b=c時等號成立)

故5AABC=gbcsinA4J3.故答案為：￡

【點睛】本題考查J'正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題目，解題的關(guān)鍵有兩點，首先

是利用正余弦定理實現(xiàn)邊角之間的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形邊的乘積的最大值.

4.(2020?上海高三專題練習)設(shè)a*,c分別是A3C的三個內(nèi)角A￡C所對的邊，則/="6+。)是

4=28的條件.

【答案】充要

【分析】先根據(jù)余弦定理化筒，再根據(jù)正弦定理化邊為角，最后根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系以及兩角和正弦公式

化簡得A=23,即證得充分性；逆推可得必要性成立.

【詳解】a2=b(b+c)a2-b2=hec2-2hccosA=hcc-2bcosA=b

由正弦定理得sinC—2sinBcosA=sinB/.sin(A+B)—2sin3cosA=sin3

/.sinAcosB-sinBcosA=sinBsin(A-B)=sinB

(一肛兀),A5w(0,乃)??.A-3=3,A=28,即充分性成立；

QA=2B.\A-B=B.\sin(A-B)=sinB

sinAcosB-sinBcosA=sinB

/.sin(A+3)—2sinBcosA=sinB

/.sinC-2sinBcosA=sin3/.c-20cosA=b

c2—2/?ccosA=hc^「.a2—b2=beer=b(b+c)，即必要性成立

所以"二伙匕+④是A=28的充要條件、故答案為：充要

【點睛】本題考查充要關(guān)系判斷、正弦定理與余弦定理應(yīng)用、兩角和正弦公式，考查綜合分析論證與判斷

能力，屬中檔題.

三、解答題

5.(2020?上海高三專題練習)在AABC中，滿足sin2A-cos2B+V2sinAsinB=-cos2C-

(1)求C；

“、、幾,3五cos(a+A)cos(a+8)6生，…士

(2)設(shè)cosAcos3=U-,—------、—------L=y—求tan。的值.

5cos-a5f

3兀

【答案】(1)—(2)1或4

4

【分析】(1)先利用平方關(guān)系將余弦化為正弦，再結(jié)合正余弦定理化簡可得C.

(2)由(1)結(jié)合兩角和與差的余弦公式及同角基本關(guān)系式將已知化簡整理成關(guān)于正切的二次方程，解之

即可.

【詳解】(1)cos2B=X—sitvB,cos2C=\—siirC^sin2A—cos?B+\/2sinAsinB=—cos2C變形

為sin2A-(1-sin2B)+CsinAsinB=-(1-sirrC),

即sin2A-^-sin2B+yjlsinAsinB=siirC，

利用正弦定理可得：a2+b2+>/2ab=c2'由余弦定理可得cosC=—變，即C=型.

24

(2)由(1)可得cos(A+B)=叵，A+B=-,

24

f.cos(A+8)+cos(A—8)3>/2寸汨D、7>/2

又cosAcosDB=——--------------------------=------,可fVcostA-B)=-------，

2510

￡772

同時cos(a+A)cos(a+B)=cos(2a+A+B)4-cos(A-B)_cos^a+410，

2―2

s」兀、」及及。?。J近

?/,A、/.cos(2ad—)d---------------cos2a—sin2aH--------

..cos(a+A)cos(a+B)_'4，JO_210

2cos2a2cos2a2cos2a

>/22-2g.7\/2,2.?2\

——cosa-sin。一2sinacosa+-----(cosa+sina)

=2