2021年上海高考數(shù)學沖刺直通車04 三角函數(shù)與解三角形（專練）

考點04三角函數(shù)與解三角形

一、單選題

1.（2020?上海高三專題練習）已知e,4角的始邊都在x軸的正半軸上，則匕=p是。與￡的終邊互為

反向延長線的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【分析】當a-b=P時.，可判斷兩角的終邊互為反向延長線，從而證明其充分性；當a與夕的終邊互為

反向延長線時，通過舉特例可證明a-。=p不一定成立，從而證明非必要性.

【詳解】解：當時、a=p+b,此時兩角的終邊互為反向延長線；

當a與夕的終邊互為反向延長線時，不妨設a=0/=3萬，

所以a-8=P是。與夕的終邊互為反向延長線的充分非必要條件，

故選:A.

【點睛】本題考查了角的概念，考查了命題的充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

2.（2020.上海市進才中學高三期中）關于函數(shù)f（x）=sinx+—!一,下列觀點正確的是（）

smx

A./（X）的圖象關于直線x=0對稱B.“X）的圖象關于直線X=（對稱

C./（X）的圖象關于直線x對稱D./（x）的圖象關于直線》=燈對稱

【答案】C

【分析】利用x）=,f（a+x）等價于f（x）的圖象關于直線x=a對稱”或反例逐項檢驗后可得正

確的選項.

71

【詳解】對于A,因為，故A錯.

對于B,因為

冗乃7171

故/—+一,故B錯.

4~12412

711

對于C,f~~xCOSX+----

cosx

1COSX+—^―=/71

sinfy+x1+y-X

sinf+xcosx

故〃x）的圖象關于宜線x=］對稱，故C正確.

7T=2,小+f=_2川若

對于D,f7T------

2

故D錯.故選：C.

【點睛】結論點睛：⑴如果函數(shù)“X）滿足/（a—x）=〃a+x）,則的圖象關于直線x=。對稱,

反之也成立；⑵如果函數(shù)滿足/?（a-x）+〃a+x）=?,則/（X）的圖象關于點（a,b）對稱，反

之也成立.

3.（2020?上海高三專題練習）設0<Q<〃,sina+cosa='，則cos2a的值為（）

2

A百a幣「qan_1

44-44

【答案】B

337r3it

【分析】先求出sin2a=-[,再求出一<。<二，所以冗<2a<，，再利用平方關系求解.

4242

13

【詳解】由題得l+sin2a=—,二.sin2a=——.

44

當0<a<]時，sina+cosa-41sin(6z+-^),

因為f<a+f<~7"，所以~~<sin(a+—)<1,

44424

所以sina+cosa=V^sin(a+?)

.1,.?,I

sina+cos。=一，所以一<a<〃，

22

sina+cosa=—>0,所以一<a<—，

224

所以兀<2a(二，

2

所以cos2a--.11——=—-

V164

故選：B.

【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關系求值，考查二倍角公式和輔助角公式的應用，考查三角函數(shù)的圖

象和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

4.（2020.上海長寧區(qū).高三二模）在直角坐標系xQy中，角a的始邊為x軸的正半軸，頂點為坐標原點0,

已知角a的終邊/與單位圓交于點A（0.6,m）,將/繞原點逆時針旋轉]與單位圓交于點8（x,y）,若

4

tana=—,則（）

3

A.0.6B.0.8C.-0.6D.-0.8

【答案】B

【分析】已知角a的終邊/與單位圓交于點A（0.6,m）,且tana=-g,利用三角函數(shù)的定義，求出

加=-0.8,得出A（0.6,-0.8）在第四象限，/繞原點逆時針旋轉^與單位圓交于點3（x,y）,

可知點5（x,y）在第一象限，則N80x=]+a,再利用三角函數(shù)的定義和誘導公式進行化簡計算，即可求

出x的值.

【詳解】解：已知角a的終邊/與單位圓交于點A（0.6,m）,且tana=—g,

m4

則tana=--=—,解得：m=-0.8,

0.63

所以A（0.6,-0.8）在第四象限，角a為第四象限角，

/繞原點逆時針旋轉'與單位圓交于點B（x,y）,

可知點8（x,y）在第一象限，則NBOx=5+a,

所以（：05/33=（：0§（2+11=-§1111,即：—=-\

解得：x=0.8.

故選：B.

【點睛】本題考查單位圓中任意角的三角函數(shù)的定義的應用以及運用誘導公式化簡，考查計算能力.

二、填空題

5.(2020.上海交通大學附屬中學浦東實驗高中高三期中)在半徑為2米的圓形彎道中，?角所對應的彎道

為.

【答案】y

【分析】根據(jù)扇形的弧長公式，即可求解.

【詳解】由題意，根據(jù)扇形的弧長公式，可得所對應的彎道為"X2=——.

63

故答案為：

7T

6.(2020?上海市五愛高級中學高三期中)若角a的終邊經(jīng)過點尸(-5,12),則Sin(——a)=

2

【答案】

13

【分析】由三角函數(shù)的定義求出cosa的值，由誘導公式即可得結果.

-55

【詳解】因為角a的終邊經(jīng)過點P(—5,12),所以cos==]_研+點=一行，

JI5

所以sin('-a)=cosa=--,

故答案為：—一.

13

7

7.(2020?上海市奉賢區(qū)曙光中學高三期中)已知sina+cosa=，y,?！?0,%)，則tana=.

【答案】—1

【分析】根據(jù)已知條件求得sina,cose的值，由此求得tana的值.

7

【詳解】依題意sina+cosa=—,兩邊平方得

17

49240

l+2sinacosa=---,2sinacosa=-----<0,

289289

而aw(O,;r),所以sina>0,cosa<0,

所以sina-cosaa-cosay=Vl-2sinacoscz=

-

7

sina+cosa=

17.158

由“cc解得sina二二一，cosa二

231717

sina-cosa=—

17

sina_15

所以tana二

cosa8

15

故答案為：

【點睛】sine土cosa,sinacosa知道其中一個，可通過同角三角函數(shù)的基本關系式求得另外兩個，在求

解過程中要注意角的范圍.

8.（2020.上海市進才中學高三期中）在A6C中，tanA=l,tan6=2,則tanC=.

【答案】3

【分析】由已知和正切和角公式求得tan（A+B）,再利用三角形的內角和公式和誘導公式可得答案.

【詳解】ABC中，有A+B+C=萬，所以11。=1211[%-（4+8）]=-1211（4+8）,

tanA+tanB_1+2

tan（A+B）—3,所以tanC=3，

1—tanAtanB1—1x2

故答案為：3.

三、解答題

9.（2020?上海大學附屬中學高三三模）《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表.其中《方田》章給出

計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積=1（弦'矢+矢2）.弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，公

2

式中“弦''指圓弧所對弦長，“矢'’等于半徑長與圓心到弦的距離之差.

按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差,現(xiàn)有圓心角為27三r，弦長等于9米的弧比

3

（1）計算弧田的實際面積；

（2）按照《九章算術》中弧田面積的經(jīng)驗公式計算所得結果與（1）中計算的弧田實際面積相差多少平方

米？（結果保留兩位小數(shù)）

【答案】(1)9萬一2座(加2)：(2)少1.52,/

4

試題分析：(1)本題比較簡單，就是利用扇形面積公式S=1/r=1a戶來計算弧田面積，弧田面積等于扇形

22

面積一對應三角形面積.(2)由弧田面積的經(jīng)驗計算公式計算面積與實際面積相減即得.

試題解析：(1)扇形半徑廠=3J5，

扇形面積等于3射？=」x竺x(3后>=9打

223

弧田面積=」劭z—l^sin絲=9開一生巨(m2)

2234

(2)圓心到弦的距離等于工廠，所以矢長為按照上述弧田面積經(jīng)驗公式計算得

22

小弦'矢+矢2”夢￥+爭斗如》

c27027-7327

yH-----------—?,=1.51664798&1.52平方米

448

按照弧田面積經(jīng)驗公式計算結果比實際少1.52平米.

考點：(1)扇形面積公式；(2)弧田面積的經(jīng)驗計算公式.

10.(2020?上海市南洋模范中學高三期中)己知函數(shù)y=/(x),xe[a,b]的圖像為曲線C,兩端點為

“,,、、D/.、上心5一八一a+Ahf\a)+Af(b),八

A(a,7(a)),B(b,f(b)),點Mg,%)為線段AB上的一點，其中％=---—,yQ=-~~/——，4>0,

1+A1+九

點憶Q均在曲線C上，且點P的橫坐標等于飛,點Q的縱坐標為為?

(1)設/(幻=011%%€[0,々-],/1=3,求點P,。的坐標；

(2)設/(x)=Lxwt，2],求MPQ的面積的最大值及相應；I的值.

x2

【答案】(1)pfpl,3GQ1

,。arcsin---,--;-(-2)>1=1時，最大值為---.

88)800

【分析】(1)/(x)=sinx,xe0,—,2=3,由題設知a=0,/?=3-,進而算出不，兒,再代入函數(shù)中

求出點P的縱坐標，點。的橫坐標，即可求出點P,。的坐標.

(2)由/(x)=Lxe

-,2,得

x

,-+222+5

i22

ci——、b=2>Ak—,No-

2°1+401+A七%

].If1[1](1

=-x|A/P|x|M2|=-x%——-x0——=--------2再用換元法和基本不等

22(無(Jl2(MNo)

式求最值.

【詳解】(1)/(x)=sinx,xe0,—,4=3,其兩端點為A(a,/(a)),8(仇/(份)

00+3X—sinO+3sing3G

八八2萬371

.\a=0,b=——,x=---------=一，％=

301+32°1+38

則點尸的縱坐標sin[=1，點Q的橫坐標sinx=?①,x=arcsin之叵

288

71八J.3G3后)

』，Qarcsin———

)I)

?4+2/l2+』4

(2)

/(X)=-,XG25=-、b=2,x()—,VM-

Xp2°1+401+4

由題得：IMP|=y0-----,\MQ\=x0------,

%為

j?i1)1(1

■■SR,VMPQ=-x|MP|x|A/e|=-x%——"x0——=-/%+-------2,

22l尤。八y())2(方為)

1117Q

+2%2d—AH—2+1

_一一

又與%2___x_24iI4

1+41+%+2A+1a+1+2

I

19

<

-4-

乂/1>0,AH---F2>41<1+—7—<—(當且僅當；1=1時取等)，即

A2+-+22+1+216

2

2

f.25

5%

令1=*0%￡[1，記，,SA/MPQ=51+;-2j，

i(25"

下面證y=x+—在1,7T上是遞增函數(shù)，

xV16_

(25nr.,1(1)(X,-%2)(%,%2-1)

任取￡h—，且*<%，則y—%----x2—=---------=——

I16王I^2)XyX2

1[25

Qx,-x9<0,x,x2-l>0,即丫=乂+—在上是遞增函數(shù),

x\16

(\

25,12518]

t=—時,y取最大值2而+至-2=—1

16

I16>

Q]

=MPQ的最大值為——

800

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件:

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構

成積的因式的和轉化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是

所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方

11.（2020?上海市建平中學高三月考）某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD內舉行機器人攔截挑戰(zhàn)

賽，在E處按燈方向釋放機器人甲，同時在A處按某方向釋放機器人乙，設機器人乙在。處成功攔截機

器人甲.若點。在矩形區(qū)域ABC。內（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.已知AB=18米，E為AB

中點，機器人乙的速度是機器人中的速度的2倍，比賽中兩機器人均按勻速直線運動方式行進，記與EB

的夾角為"

TT

（1）若。=—,A。足夠長，則如何設置機器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功？

3

（2）如何設計矩形區(qū)域A8CD的寬AO的長度，才能確保無論。的值為多少，總可以通過設置機器人乙的

釋放角度使機器人乙在矩形區(qū)域A3CO內成功攔截機器人甲？

【答案】（1）機器人乙按與的夾角為arccos姮的角度釋放才能挑戰(zhàn)成功；（2）寬AO至少為6米.

4

【分析】（1）由題意可知AQ=2EQ,設EQ=x,則AQ=2x,利用余弦定理可求得x的值，進而利用

余弦定理可求得cosa的值，由此可求得結果；

x9

（2）設=則AQ=2EQ=2x,利用余弦定理以及誘導公式可求得cos6=上—二，可計算出

62x

xsinB=『得卜2_45丫+36,求得xsin。的最大值，可得出仞小而瞑，進而可得出結論.

【詳解】（1）由于機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍，故AQ=2EQ,

設￡Q=x,ZQAB=a,易知xe（3,9）,

由余弦定理可得cos（萬—。）=cos2萬=9f⑷-=一L，

,732x9x%2

整理得J—3x—27=0,解得x=3+3而.

2

92+（2%）2-X2%9V13V13

cosa=-----------------=—+—=-----=>a=arccos------，

2x9x2%124x44

答：機器人乙按與AB的夾角為arccos姮的角度釋放才能挑戰(zhàn)成功：

(2)設EQ=x,則AQ=2fQ=2x,易知xw(3,9),

92+X2-(2X)29x9

=?.cos0=—

由余弦定理可得C0S（7T-~2x

2x9xx2x66

22■如2-45『

xsin6二^x(l-cos^)=+36,

由題意得AD>xsin0對任意xe（3,9）恒成立,

故AD2（xsin69,w=6,當且僅當x=3有時取到等號.

答：矩形區(qū)域A3CO的寬至少為6米時，才能確保無論。的值為多少，總可以通過設置機器人乙的釋

放角度使機器人乙在矩形區(qū)域ABC。內成功攔截機器人甲.

【點睛】本題考查解三角形的綜合應用，考查余弦定理、反三角以及二次函數(shù)基本性質的應用，考查計算

能力，屬于中等題.

12.（2020?上海市南洋模范中學高三期中）已知函數(shù)〃x）=Asin卜+?）,XGR,且/［得7）=|.

（1）求H的值；

（2）若求/@）一。］

【答案】（1）A=6（2）型.

4

【分析】（1）將％代入函數(shù)/（X）的解析式求出A的值；

（2）先利用已知條件/（。）+/（-。）=|,結合兩角和與差的正弦公式求出。的某個三角函數(shù)值，然后將

x=多-8代入函數(shù)f（x）的解析式，并結合誘導公式對）一。）進行化簡，最后利用同角三角函數(shù)的

基本關系求出萬一e)的值.

【詳解】(1)/(2%)=Asin—+—=Asin-=Asin7r-^-\=Asin—=-A=—,

112J<124)3<3)322

所以A=V5，.,?/(x)=6sin(x+￡)；

(2)

/'(e)+/(_e)=Gsin(e+?)+^sin(_e+?)

=力(sindcos?+cos6sin?)+百(一sin6cos?+cos8sin今)=V6cos3-,

:.cos8=國

4

=Gsin(兀-8)=也sin9=6x-當。.

【點睛】本題考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系以及兩角和的三角函數(shù)，綜合考查：.角函數(shù)的求值

問題，屬于中等題.

境弓。＞三角函數(shù)的圖像及其性質

一、單選題

1.(2020?上海高三專題練習)設函數(shù)/(x)=sin3x+Mn3x|,則f(x)為()

A.周期函數(shù)，最小正周期為：B.周期函數(shù)，最小正周期為?

33

C.周期函數(shù)，最小正周期為2%D.非周期函數(shù)

【答案】B

【分析】化簡三角函數(shù)，畫出圖像，根據(jù)圖像得到答案.

.27t2

2sin3元,一&乃<x<—卜一k7C,kGZ

333

［詳解］/(x)=sin3x+|sin3x|=<畫出函數(shù)圖像，如圖所示:

C42,2乃277r

0,—l—kji<x<----1—kjr、kwZ

3333

根據(jù)圖像知：函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期為《-.

故選：B.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)周期，畫出函數(shù)圖像是解題的關鍵.

2.（2020?上海高三專題練習）若函數(shù)/（幻=豆112%-；（％6/?）,則/（幻是（）

A.T=g的奇函數(shù)B.T=乃的奇函數(shù)C.T=2〃的偶函D.T=不的偶函數(shù)

【答案】D

【分析】將函數(shù)/（幻化簡為余弦型函數(shù)，可求出周期，再利用函數(shù)的奇偶性定義判斷奇偶性，即可得出結

論.

,￡/、.21l-cos2x11c

【詳解】f(x)=sinx—=----------------=—cos2x,

2222

/⑶周期為T-s

f(-x)=-^cos(-2x)=-^cos2x=f(x)

/（X）是偶函數(shù).

故選：D.

【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質，三角恒等變換是解題的關鍵，屬于基礎題.

71

3.（2020?上海高三專題練習）在區(qū)間-,7T上，下列說法正確的是（）.

A.y=sinx是增函數(shù),且y=<^。5］是減函數(shù)

B.y=sinx是減函數(shù),且y=<^^是增函數(shù)

C.y=sinx是增函數(shù),且丁=<?5%是增函數(shù)

D.y=sinx是減函數(shù),且y=cosx是減函數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質可得正確的選項.

JTITTTSTT

【詳解】y=sinx的增區(qū)間為2k兀--,2k兀+—,keZ、減區(qū)間為22%+—,2Z;TH------、keZ、

2222

丁=?05%的增區(qū)間為［2%乃一》,2%句,左62,減區(qū)間為［2%乃,2%乃+句,%€2,

7171

因此y=sinx在-,7i上為減函數(shù)，y=COSX在上為減函數(shù)，

1_2」1.2」

故選：D.

【點睛】本題考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調性，熟記兩個函數(shù)的單調區(qū)間是關鍵，本題屬于容易題.

二、填空題

cos3x+--sin3x+一

4.(2020?上海高三專題練習)函數(shù)y=-j——式——7——1的定義域是,最小正周期是

一

cos[3x4+—+sin{3x+4

—，值域是.

【答案】卜|光力子+看,左€21yR

【分析】利用兩角和差的正弦、余弦公式化簡函數(shù)為y=-tan2x,根據(jù)正切函數(shù)的定義域、最小正周期和

值域，即可得出結論.

cos3x+--sin3x+—

[詳解]y=-7——彳——7——-

cos(3x+(J+sin[3x+(

^-cos3x-V2sin3x-交

sin3x-—cos3x

2222

&os3x—gin3x+夜sin3x+也cos3x

2222

sin3x.

=-------=-tanJX，

cos3x

函數(shù)的定義域，需滿足

jrKTC7T

——,keZ、即xw---1——,keZ，

236

k兀

所以函數(shù)的定義域為JXIXHeZ卜

7T

函數(shù)的周期T=—,值域為/?.

3

故答案為：{1IX工程?+[?，攵￡z}；y；R.

【點睛】本題考查三角恒等變換、正切型函數(shù)的性質，熟記函數(shù)性質是解題的關鍵，屬于基礎題.

5.（2020?上海高三專題練習）使函數(shù)y=sin（2x+0）+Gcos（2x+0）為奇函數(shù)，且在0弓是減函數(shù)的

夕的一個值可以是.

【答案】y（答案不唯一，只要滿足。=與+2版^￡Z）即可）

【分析】利用輔助角公式進行化簡，根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性及單調性，即可得解.

【詳解】y=sin（2x+e）+&cos（2x+0）=2sin[2x+0+（）,

函數(shù)y=5抽（21+9）+6以）5（2%+0）為奇函數(shù)，

：.（p+1=k7i（keZ）,解得°=一§+攵?（攵￡Z）,

若夕為斗，則y=2sin（2x+*^+?]=2sin（2x+乃）=-2sin2x,

TTTT

由04x4一,得042x4一,此時y=12sin2x為減函數(shù)，滿足題意.

42

故答案為：y（答案不唯一，只要滿足/=杏+2"（左WZ）即可）.

【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、單調性及輔助角公式，考查學生對這些知識的掌握能力，屬于中

檔題.

三、解答題

6.（2020?上海高三專題練習）（1）aG（0,7r）,sin6Z+cos6Z,求cos2。；

(2)ae(4,27r),cosa-sina=g,求cos2a.

【答案】（1）一姮；（2）—叵

99

乃）.所以（肛）再利用平方關系求解;

【分析】（1）先求出疝2。=—,再求出a￡7132aeg"

24

（2）先求出sin2a=[,再求出a5）3■乃）,2ae[■5|乃,3）），再利用平方關系求解.

422

1Q

【詳解】（1）由（sina+cosa）2=§可知疝20=-5

sina+cosa=?sin(a+匹),

4

TT兀乃3乃友

當0<a<一時,—<a+—<————<sin(a+—)<1,

244424

所以sina+cosa=V^sin(a+?),

1(4

由于sina+cosa=-e(0,l),所以,萬|；此時sina>0,cosa<0,

3

而sina+cosa=1>0,所以|sina|>|cosa|,

3

71,彳3萬）.所以乃,[萬

于是ae2?€[

24J

cos1a--

8

(2)由題得awQr,2;r),sina-cosa--,所以sin2a

39

sina-cosa=V^sin(a-J,

“3)小「5"7t7乃

當—<a<27r時，—<CL----<—，

2444

所以sina-cosa=

1,3%

aG(肛2")，sina-cosa一,所.以乃<a<—.

32

sin。-cos。=一一<0,所以a,2ae一萬，37r

3142；12

【點睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)關系的應用，考查二倍角的正弦公式和輔助角公式的應用，考查三

角函數(shù)的圖象和性質的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

7.(2020?上海高三專題練習)已知函數(shù)/,(幻=45皿2(口龍+。)[4>0,。>0,0<8<^|),且y=/(x)的

最大值為2,其圖像相鄰兩對稱軸間的距離為2,并過點(1,2).

(1)求夕;

(2)計算/⑴+/(2)+/(3)++/(2016)的值.

【答案】⑴-：(2)2016

4

AAjr

【分析】(1)變換了(乃=,一,以%(28+28),根據(jù)函數(shù)最值得到A=2,根據(jù)周期得到(y=z，代入

點(1,2)得到答案.

(2)計算/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,根據(jù)函數(shù)周期得到答案.

AA

【詳解】(l)/(x)=Asin2(cox+(p)=---cos(2tyx+2<p],y=/(x)的最大值為2,則A=2,圖像

相鄰兩對稱軸間的距離為2,則T=2=4,a)=-,

2a)4

/(x)過(1,2),則/⑴二1-85(1+29)=2,即sin2e=l7171

0<^?<—,故。=~4

71

(2)/(x)=l+sin-x,/(l)+/(2)+/(3)+/(4)=2+l+0+l=4,

又y=/(x)的周期為4,故/⑴+/(2)++/(2016)=4x5()4=2016.

【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的最值，周期，過點求參數(shù)，三角函數(shù)周期的應用，意在考查學生的計算能

力和應用能力.

8.(2020?上海高三專題練習)求函數(shù)y=sin?x+二+cos?X-=-1的最小正周期與最大值、最小值.

【答案】T=7r,ymm=pymin=—1

【分析】利用降幕公式和兩角和差余弦公式，將函數(shù)化簡為正弦型函數(shù)，應用周期公式和正弦函數(shù)的有界

性，即可求解.

【詳解】丁=sin~(x+丘)+c°s~日—1

TTTT

1-cos(2x+—)1+cos(2x---)

cos2x+-sin2A：+—cos2x+-sin2x)

22222

=—sin2x,

2

.??函數(shù)的最小正周期丁=2^4=?，最大值1

最小值Vmin=一

【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質，三角恒等變換是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于基礎題.

使可善解三角形

一、單選題

1.(2020.上海高三專題練習)用長度分別為2,3,4,5,6(單位：cm)的5根細木棒圍成一個三角形(允許連

接，但不允許折斷)，能夠得到的三角形的最大面積為().

A.8\/5cm2B.6V10cm2C.3V55cm2D.20cm2

【答案】B

【分析】利用海倫面積公式確定三角形面積的最大取法：三角形三邊長最接近時面積最大，再確定三邊長

最接近的情況，最后求出對應三角形面積.

【詳解】設三角形的三邊分別為",仇c,令p=”1+￡,則〃=2+3+4+5+6=IO

22

由海倫公式得三角形的面積為S=[p(p-aKp-b)(p-c)=J10(10_a)(10_b)(10_c)

4J10x(l^~+lO;b+lO]=^^當且僅當q=b=c=與時取等號，顯然等于號取不到，

所以5＜些叵，故當瓦c三邊長最接近時面積最大，此時三邊長為7,7,6,用2,5連接，3,4連接各為

一邊，

第三邊長為7組成三角形，此三角形面積最大，面積為1x6x572-32=6加0?

2

故選：B.

【點睛】本題考查三角形中的面積問題、基本不等式應用，考查綜合分析求解能力，屬較難題.

2.（2020.上海高三專題練習）直三棱柱ABC—4AG中，AA=1,A5=4,BC=3,乙46c=90°，

設平面A/G與平面ABC的交線為/，則4a與/的距離為（）.

A.1B.5C.17D.2.6

【答案】D

【分析】將直三棱柱ABC—44cl補成直四棱柱ADBC-AA4G，且四邊形AD3C為平行四邊形，則

平面\BC,即為平面AQBG,所以直線I為BD,則AG與I的距離即為則AG與3。的距離，在VA^G

中求A6邊上的高即可.

【詳解】如圖，將直三棱柱48C-A4G補成直四棱柱AD5C-4D4G,且四邊形AD5c為平行四邊

形，則平面4BG即為平面4DBG,所以直線/為則4G與/的距離即為則4G與的距離，設

為h,

由已知可得：在三角形中,

BCi=[cc；+=J1+32=而,%=Jw+Bl=Jl+42=Vi7，

2222

AiCl=AC=>JAB+BC=73+4=5，

府+史―電；10+17-251

cosZ/AjBC)=

2A.BBQ2V170-V170

SABG=2AB?BC/sinABCt=—AtCi-h,

_____13

VFTXA/IOx---=5h,得〃=26

V170

故選：D.

【點睛】本題考查空間中兩平行線的距離，可轉化為三角形的高來解決，是中檔題.

二、填空題

3.(2020?上海高三專題練習)已知a,4c分別為ABC三個內角A,8,。的對邊，。=2,且

(2+Z?)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則ABC面積的最大值為.

【答案】百

【分析】先利用正弦定理將條件(。+。)(5皿4一4118)=9一份豆11。中的角轉化為邊的關系，再利用余弦

定理求解出角A的值，再利用邊〃的余弦定理和均值不等式求出he的最大值后即可求解出面積的最大值.

【詳解】因為(a+b)(sinA-sin8)=(c-b)sinC.

所以根據(jù)正弦定理得：(a+b)(a-0)=(c-b)c,

化筒可得：〃+c?-/=be>

172,2_21

即cosA=幺",(A為三角形內角)，解得：4=60°，

=2b「c2

又〃+一=42be，(b=c時等號成立)

故5AABC=gbcsinA4J3.故答案為：￡

【點睛】本題考查J'正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題目，解題的關鍵有兩點，首先

是利用正余弦定理實現(xiàn)邊角之間的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形邊的乘積的最大值.

4.(2020?上海高三專題練習)設a*,c分別是A3C的三個內角A￡C所對的邊，則/="6+。)是

4=28的條件.

【答案】充要

【分析】先根據(jù)余弦定理化筒，再根據(jù)正弦定理化邊為角，最后根據(jù)三角形內角關系以及兩角和正弦公式

化簡得A=23,即證得充分性；逆推可得必要性成立.

【詳解】a2=b(b+c)a2-b2=hec2-2hccosA=hcc-2bcosA=b

由正弦定理得sinC—2sinBcosA=sinB/.sin(A+B)—2sin3cosA=sin3

/.sinAcosB-sinBcosA=sinBsin(A-B)=sinB

(一肛兀),A5w(0,乃)??.A-3=3,A=28,即充分性成立；

QA=2B.\A-B=B.\sin(A-B)=sinB

sinAcosB-sinBcosA=sinB

/.sin(A+3)—2sinBcosA=sinB

/.sinC-2sinBcosA=sin3/.c-20cosA=b

c2—2/?ccosA=hc^「.a2—b2=beer=b(b+c)，即必要性成立

所以"二伙匕+④是A=28的充要條件、故答案為：充要

【點睛】本題考查充要關系判斷、正弦定理與余弦定理應用、兩角和正弦公式，考查綜合分析論證與判斷

能力，屬中檔題.

三、解答題

5.(2020?上海高三專題練習)在AABC中，滿足sin2A-cos2B+V2sinAsinB=-cos2C-

(1)求C；

“、、幾,3五cos(a+A)cos(a+8)6生，…士

(2)設cosAcos3=U-,—------、—------L=y—求tan。的值.

5cos-a5f

3兀

【答案】(1)—(2)1或4

4

【分析】(1)先利用平方關系將余弦化為正弦，再結合正余弦定理化簡可得C.

(2)由(1)結合兩角和與差的余弦公式及同角基本關系式將已知化簡整理成關于正切的二次方程，解之

即可.

【詳解】(1)cos2B=X—sitvB,cos2C=\—siirC^sin2A—cos?B+\/2sinAsinB=—cos2C變形

為sin2A-(1-sin2B)+CsinAsinB=-(1-sirrC),

即sin2A-^-sin2B+yjlsinAsinB=siirC，

利用正弦定理可得：a2+b2+>/2ab=c2'由余弦定理可得cosC=—變，即C=型.

24

(2)由(1)可得cos(A+B)=叵，A+B=-,

24

f.cos(A+8)+cos(A—8)3>/2寸汨D、7>/2

又cosAcosDB=——--------------------------=------,可fVcostA-B)=-------，

2510

￡772

同時cos(a+A)cos(a+B)=cos(2a+A+B)4-cos(A-B)_cos^a+410，

2―2

s」兀、」及及。?。J近

?/,A、/.cos(2ad—)d---------------cos2a—sin2aH--------

..cos(a+A)cos(a+B)_'4，JO_210

2cos2a2cos2a2cos2a

>/22-2g.7\/2,2.?2\

——cosa-sin。一2sinacosa+-----(cosa+sina)

=2