與圓有關(guān)的位置關(guān)系【考點(diǎn)精講】-【中考高分導(dǎo)航】2022年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總復(fù)習(xí)（解析版）

考點(diǎn)34與圓有關(guān)的位置關(guān)系

c知識導(dǎo)航

與圓有關(guān)的位置關(guān)系

考點(diǎn)］:點(diǎn).直線和畫的位置關(guān)系考點(diǎn)2:切線的性質(zhì)與判定考點(diǎn)3:三角形的內(nèi)心和外心

I可知識精講

考點(diǎn)I:點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系

1.如果圓的半徑為r,某一點(diǎn)到圓心的距離為d,那么：

（1）點(diǎn)在圓外?>廠；（2）點(diǎn)在圓上c/=r；（3）點(diǎn)在圓內(nèi)T<r。

2.直線與圓的位置關(guān)系有三種:相離、相切和相交

位置關(guān)系相離相切相交

圖形?

公共點(diǎn)個數(shù)012

數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r

【例1】（2021.浙江嘉興市）已知平面內(nèi)有。。和點(diǎn)A,B,若O。半徑為2cm,線段

Q4=：3cm,OB=2cm,則直線AB與0。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【答案】D

【分析】

根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：QO的半徑為2cm,線段OA=3cm,線段OB-2cm,

即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心。的距離等于圓的半徑，

...點(diǎn)4在。。外.點(diǎn)8在。。上，

直線48與。。的位置關(guān)系為相交或相切，

故選：D.

【例2】（2021?上海）如圖，已知長方形ABC。中，AB=4,AO=3,圓B的半徑為1,

圓A與圓8內(nèi)切，則點(diǎn)C,。與圓A的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)C在圓4外，點(diǎn)。在圓A內(nèi)B.點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)。在圓A外

C.點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)。在圓A內(nèi)D.點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)。在圓A外

【答案】C

【分析】

根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點(diǎn)。、點(diǎn)E到圓心的距離即可

【詳解】

?..圓A與圓8內(nèi)切，AB=4,圓8的半徑為1

...圓A的半徑為5

AD=3<5

...點(diǎn)。在圓A內(nèi)

在心△ABC中，AC=y]AB2+BC2=A/42+32=5

...點(diǎn)C在圓A上

故選：C

,方法技巧

厚握己知點(diǎn)的位置，可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心的距離

與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

孽針對訓(xùn)練

1.矩形ABC。中，48=10,BC=4近，點(diǎn)P在邊AB上，且BP：AP=4：1,如果。P是

以點(diǎn)P為圓心，長為半徑的圓，那么下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)B、C均在（DP外B.點(diǎn)B在。P外，點(diǎn)C在。P內(nèi)

C.點(diǎn)8在。P內(nèi)，點(diǎn)C在。戶外D.點(diǎn)B、C均在。P內(nèi)

【分析】先求出AP的長，然后利用勾股定理求得圓P的半徑的長，根據(jù)點(diǎn)8、C到

P點(diǎn)的距離判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系即可.

【解答】解：如圖，

???四邊形A8CO為矩形，

：.AD=BC=4y/2,

7/15=10,BP：AP=4：I,

：.AP=2,BP=8,

在RSADP中，\'AP=2,AC=4四,

:.DP=y/AD2+AP2=V4+32=6,

在RtAPBC中，CP=7BP2+BC2=764+32=476,

V8>6,4A/6>6,

.?.點(diǎn)B,點(diǎn)C均在。P外，

故選：A.

2.如圖，已知NBOA=30。，M為。8邊上一點(diǎn)，以M為圓心、2a〃為半徑作。M.點(diǎn)M

在射線08上運(yùn)動，當(dāng)OM=5cs時，與直線。4的位置關(guān)系是（）

【分析】作MHYOA于H,如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到MH=1OM=

I，則MH大于。M的半徑，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法求解.

【解答】解：作TH,如圖，

在RtAOMH中，ZHOM=30°,

：.MH=-OM=

22

的半徑為2,

：.MH>2,

...0M與直線OA的位置關(guān)系是相離.

故選：B.

3.（2021?青海中考真題）點(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到。。上的點(diǎn)的最小距離是4C7〃，

最大距離是9cm,則。。的半徑是.

【答案】6.50〃或2.5C、7〃

【分析】

分點(diǎn)P在。。外和內(nèi)兩種情況分析；設(shè)。。的半徑為XC加，根據(jù)圓的性質(zhì)列一元一次

方程并求解，即可得到答案.

【詳解】

設(shè)。。的半徑為我機(jī)

當(dāng)點(diǎn)P在。。外時，根據(jù)題意得：4+2x=9

x—2.5cm

當(dāng)點(diǎn)P在OO內(nèi)時，根據(jù)題意得：2x=9+4

x-6.5cm

故答案為：6.5c/%或2.5。〃.

考點(diǎn)2：切線的性質(zhì)與判定

1.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

2.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

3.*切線長定理

（1）切線長：經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.

（2）定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩

條切線的夾角.

【例3】（2021?山東臨沂市）如圖，PA>也分別與0。相切于A、B,ZP=70°,C為

。。上一點(diǎn)，則NAC8的度數(shù)為（）

C.125°D.130°

【答案】c

【分析】

由切線的性質(zhì)得出N04P=N08P=90。，利用四邊形內(nèi)角和可求NAO8=110。，再利用圓周角

定理可求/AO8=55。，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可求/AC8.

【詳解】

解：如圖所示，連接。4,OB,在優(yōu)弧A8上取點(diǎn)。，連接AQ,BD,

：AP、8P是切線，

，/OAP=NOBP=90°,

ZAOB=360o-900-90o-70°=l10°,

,ZADB=55°,

又?..圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ),

，NAC8=180°-ZADB=180°-55°=125°.

故選：C.

【例4】（2021?貴州貴陽市）如圖，。。與正五邊形A3SE的兩邊相切于4c兩

點(diǎn)，則NAOC的度數(shù)是（）

c

A.144°B.130°C.1290D.108°

【答案】A

【分析】

根據(jù)切線的性質(zhì)，可得/OAE=90。，ZOCD=90°,結(jié)合正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為108。,

即可求解.

【詳解】

解：VA￡,CQ切。。于點(diǎn)A、C,

：.ZOAE=90°,ZOCD=90°,

2X180

.?.正五邊形A8CQE的每個內(nèi)角的度數(shù)為：（1~）.=108O,

5

/AOC=540°-90°-90°-108°-108°=144。，

故選：A.

/方法技巧

與切線伺天網(wǎng)邀吊件的輔助線和解題思路

（1）連接圓心和直線與圓的公共點(diǎn)一一證明該半徑與已知直線垂直，則該直線為切線.

（2）過圓心作這條直線的垂線段一一證明這條垂線段和半徑相等，則該直線為切線.

（3）當(dāng)題中已有切線時，常連接圓心和切點(diǎn)得到半徑或90°角，由此可展開其他問題的計(jì)

Y針對訓(xùn)練

1.（2021?吉林長春市）如圖，AB是0。的直徑，BC是0。的切線，若NBAC=35°，則

NACB的大小為（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)切線的性質(zhì)，得/A3C=90。，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

解：是。。的直徑，3C是。。的切線，

：.AB±BC,即N4BC=90°,

,/ABAC=35°,

：.NACB=90°-35°=55°,

故選C.

2.（2021?湖南）如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形，AC是。。的直徑，點(diǎn)。是BC的

中點(diǎn)，O七〃3c交AC的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：直線。E與。。相切；

(2)若0。的直徑是10,NA=45°,求CE的長.

【答案】(1)見解析；(2)CE=50-5.

【分析】

(1)連接O。，由點(diǎn)〃是8C的中點(diǎn)得。CBC,由。E//8C得。O_LOE,由。。是半徑可

得DE是切線；

(2)證明△ODE是等腰直角三角形，可求出。E的長，從而可求得結(jié)論.

【詳解】

解：(1)連接。。交8c于點(diǎn)凡如圖，

.??點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，

：.OD±BC,

"CDEHBC

：.OD.LDE

；0。是。。的半徑

，直線。E與O。相切：

(2)：AC是。。的直徑，且45=10,

Z/lBC=90o,OC=OA=-AB=5

2

■:OD1.BC

：.ZOFC=90°

：.OD//AB

?.?NB4C=45°

ZDOE=45。

???NODE=90。

，NOED=45

，DE=0D=0C=5

由勾股定理得，OE=5\[2

???CE=OE-OC=5^-5.

3.(2021.甘肅武威市)如圖，內(nèi)接于是O。的直徑AB的延長線上一點(diǎn),

/DCB=ZOAC.過圓心0作BC的平行線交DC的延長線于點(diǎn)E.

A

(1)求證：CO是。。的切線；

(2)若C￡>=4,CE=6,求的半徑及tanNOCB的值；

【答案】(1)見解析；(2)半徑為3,tan/OC3=2

【分析】

(1)證明OC是。。的半徑，即證明ZOCD=90°，結(jié)合直徑所對圓周角是90°、等腰△OAC

和已知NQ4C=ZOCA即可求解；

EC

(2)由(1)中結(jié)論和3C〃0E可知，tanZOCB=tanZEOC=——，再由C。、CE和

OC

平行線分線段成比例，即可找至IJ8。、OB、BC、OE的關(guān)系，最后利用三邊的勾

股定理即可求解.

【詳解】

(1)證明：如圖，OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

?;4DCB=N0AC,

/OCA=/DCB,

QAB是。。的直徑，

:.ZACB=90°，

...NOC4+NOC3=90°，

ZDCB+ZOCB=90°，即NOCD=90°,

:.OC1DC,

乂是。。的半徑，

.?.CD是0。的切線.

(2)-.BC//OE,

BDCDBD42

----?即nri=———,

OBCEOB63

設(shè)BD=2x,則OB—OC=3x,OD-OB+BD=5x,

\OC±DC,

OC2+CD2^OD2

.?.(3x)2+42=(5x>,解得，％=1,

:.OC=3x=3.即O。的半徑為3,

?：BC//OE,

:.ZOCB=ZEOC,

EC6

在.RtAOCE111>tanNEOC=----=—=2,

OC3

/.tanZ.OCB=tanZEOC=2.

考點(diǎn)3：三角形的內(nèi)心和外心

（1）三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離都相等；

（2）三角形的外心到三角形的三個頂點(diǎn)的距離都相等.

【例5】（2021?浙江中考真題）如圖，已知點(diǎn)。是AABC的外心，ZA=40°,連結(jié)30,

CO,則N30C的度數(shù)是（）.

o

BK---------------------

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，作。。；再根據(jù)圓周角和圓心角的性質(zhì)分

析，即可得到答案.

【詳解】

△A3C的外接圓如卜圖

；NA=40。

/.NBOC=2ZA=80。

故選：C.

【例6】如圖，在AABC中，N8OC=140。，/是內(nèi)心，。是外心，則/8/C等于（）

【分析】根據(jù)圓周角定理求出/8OC=2N4,求出NA度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求

HlZABC+ZACB,根據(jù)三角形的內(nèi)心得出N/2C=（N4BC,ZICB=^ACB,求出

N/8C+N/C8的度數(shù)，再求出答案即可.

【解答】解：：在△48C中，ZBOC=140°,。是外心，

：.ZBOC=2ZA,

—70°,

：.ZABC+ZACB^\S00-ZA=110°,

:/為△A8C的內(nèi)心,

，

N1BC=2ZABC,2NICB=-zACB,

：.ZIBC+ZICB=%X110。=55°,

2

AZB/C=180°-（Z/BC+Z/CB）=125°,

故選：B.

y針對訓(xùn)練

1.（2021?山東濱州）如圖，。。是的外接圓，C。是。。的直徑.若CD=10,弦AC=6,

則cos/ABC的值為（）

【答案】A

【分析】

連接A。，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90。和勾股定理，可以求得AO的長，然后即可求得

NAOC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到N48C=NADC,從而可以得到

cosZABC的值.

【詳解】

解：連接AO,如右圖所示，

???C。是。。的直徑，C￡>=10,弦AC=6,

ZDAC=90°,

；?AD=yJcD2-AC2=8,

*/ZABC=ZADCf

4

."3乙48（7的值為不，

故選:A.

2.如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于。。，點(diǎn)/是△A8C的內(nèi)心，ZA/C=124°,點(diǎn)E在AO的延

長線上，則/CDE的度數(shù)為（）