幾何綜合題-2019-2020學(xué)年北京各區(qū)及京城初二年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷分類(lèi)匯編（解析版）

專(zhuān)題09幾何綜合題（18道）2019-2020學(xué)年北京各區(qū)及京城名校初二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷分

類(lèi)匯編

1.（2019-2020年西城初二下期末?第25題）在平行四邊形A3CD中，。是對(duì)角線(xiàn)5。的中點(diǎn).點(diǎn)E在

平行四邊形A3CD外，且NA￡D=90°.過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)ED的垂線(xiàn)，垂足為連接OE,OF.

（1）如圖1,當(dāng)平行四邊形A8C。為矩形，且/。4￡=45°時(shí)，畫(huà)出線(xiàn)段OE與OE,并直接寫(xiě)出這兩條

線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系；

（2）在圖2中，根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，寫(xiě)出線(xiàn)段OE與。b的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

（3）如圖3,當(dāng)平行四邊形A8C￡＞為正方形時(shí)，若AE=1,O0=J5,直接寫(xiě)出。尸的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出/0石/=/0~0=45。，則可得出結(jié)論;

（2）連接4C,延長(zhǎng)EO,FC,兩條延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G,證明△O4E=AOCG（A4S）,得出OE=OG,

有直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；

（3）證明A4DEMA/XT（AAS）,得出4石=。尸=1,求出。證明AE4O三AEDOGAS）,

得出OE=OF,ZAOE^ZDOF,證明AOEE為等腰直角三角形，則可求出答案.

連接AC,

■.-ZDAE=45°,ZAED=90°,

AE=ED,

?.?矩形ABC。中，OA=OD,

.?.OE垂直平分AO,

NOE。=45。，

同理NOEO=45°,

OE=OF■,

(2)如圖2,OE=OF,

連接AC,延長(zhǎng)EO,FC,兩條延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G,

E

?.?平行四邊形ABC。，。是對(duì)角線(xiàn)8。的中點(diǎn),

0A=0C

CF1EF

ZCFE=90°

：.OA=OC

CF±EF,

ZCFE=90P,

ZAED^90°,

ZCFE+ZAED=180P,

:.CF//AE,

:./AEO=4OGC,

在AOAE和AOCG中，

AAEO=Z.OGC

<ZAOE=ZCOG,

OA=OC

：.AO4E^AOG（A4S）,

:.OE=OG,

在R/AE/G中，ZEFG=90°,。/為斜邊EG的中線(xiàn),

OF^-EG,

2

OE=OF.

A/6+V2

?

2

解：?.?四邊形ABCD為正方形，

AD=DC,ZADC=90°,

?.?NA￡O=90。，CF±DF,

:.ZADE+ZCDF^90°,NCDF+NDCF=9伊,

:.ZADE=ZDCF,

又,：ZAED=ZDFC,

M.DE=^DCF(AAS),

AE=DF^\,

???。為對(duì)角線(xiàn)8D的中點(diǎn),

ZAOD=90°,OA^OD,

NEAO+/EDO=180

又ZEDO+ZODF=180°,

NEAO=NODF,

：.\EAO=/^FDO(SAS),

OE=OF,ZAOE=ZDOF,

ZEOF=ZAOD=90°,

：.AOEF為等腰直角三角形，

???OD=叵,

AD=叵OD=2,

DE=ylAlf-AE2=722-l2=V3,

:.EF=DE+DF=6+1,

CAV2V2//T\A/6+V2

OF=——EF=——IV3+11=-----------.

22V'2

2.(2019—2020年朝陽(yáng)初二下期末?第25題)已知菱形A8CD,ZBAD=60°,直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

。，點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)3H的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E,CE交直線(xiàn)8"于點(diǎn)P,連接AP.

(1)如圖1,當(dāng)直線(xiàn)3”經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E恰好在DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，則ZAEP=

線(xiàn)段EA與之間的數(shù)量關(guān)系為,；

(2)當(dāng)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且在菱形ABC。外部，NC8”<30°時(shí)，如圖2,

①依題意補(bǔ)全圖2；

②（1）中的結(jié)論是否發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)證明；若改變，說(shuō)明理由.

圖1

【答案】（1）60,EA=EP；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）證明AACE是等邊三角形即可解決問(wèn)題.

（2）①根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可.②結(jié)論不變.證明A4EP是等邊三角形即可.

【詳解】（1）如圖1中,

圖?

?.?四邊形ABCD是菱形，

OE垂直平分線(xiàn)段AC,

EA=EC>

???A,E關(guān)于8”對(duì)稱(chēng)，

/.8H垂直平分線(xiàn)段AE,

CA-CE，

AC=EC-AE,

AACE是等邊三角形，

ZAEP=60°,

故答案為：60,EA=EP.

(2)①圖形如圖所示：

②不改變.

理由：連接EB延長(zhǎng)EB交CD于點(diǎn)Q.

???四邊形48CD是菱形，ZBAD=60°,

.?.ZABC=120°,BA=BC,

?.?點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)BH對(duì)稱(chēng)，

:.PA=PE,BA=BE,

BE=BC>

:./BAE=ZBEA,ZBEC=ZBCE,

：.AABQ=2/BEA,NCBQ=2NBEC,

vZABC^ZABQ+ZCBQ,ZAEP=ZBEA+ABEC,

：.ZAEP--ZABC^6Q0,

2

AAEP是等邊三角形，

：.EA=EP.

3.(2019—2020年通州初二下期末?第25題)把一個(gè)含45。角的直角三角板和一個(gè)正方形ABC。

擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)8重合，聯(lián)結(jié)Ob,點(diǎn)M,N分別為DF,EF的中點(diǎn)，

聯(lián)結(jié)MA,MN.

(1)如圖1,點(diǎn)E,尸分別在正方形的邊CB,AB上，請(qǐng)判斷MA,的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，直接

寫(xiě)出結(jié)論；

(2)如圖2,點(diǎn)E,斤分別在正方形的邊CB,AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其他條件不變，那么你在(1)中得到

的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

【答案】

(1)MA=MN,MALMN,(2)成立，理由詳見(jiàn)解析

【詳解】

(1)解：連接OE,

?.?四邊形ABC。是正方形,

.-.AD=CD=AB=BC,ZDAB=ZDCE=90°,

?.?點(diǎn)M是O尸的中點(diǎn)，

AM=-DF.

2

ABEF是等腰直角三角形，

AF=CE,

AB=CD

在AADF與ACDE中，，Z.DAF=NDCE,

AF=CE

AADFsACDE(SAS),

;.DE=DF.

?.?點(diǎn)M,N分別為。/，ET7的中點(diǎn)，

;.MN是AEED的中位線(xiàn)，

：.MN=-DE,

2

???MN是AEEO的中位線(xiàn)，

MNIIDE,

：.ZFMN=ZFDE.

AM=MD,

ZMAD=ZADM,

NAME是△AOM的外角,

ZAMF=2ZADM.

■：MDF=ACDE,

ZADM=ZCDE,

ZADM+Z.CDE+NFDE=ZFMN+ZAMF=9Q°,

:.MA工MN.

：.MA=MN,MA工MN.

(2)成立.

理由：連接。E.

?.?四邊形ABC。是正方形，

.-.AB=BC=CD=DA,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°.

在RAAO歹中，

?.?點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn)，

:.MA=、DF=MD=MF,

2

Zl=Z3.

???點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，

二."N是ADEP的中位線(xiàn),

:.MN=>DE,MN11DE.

2

△BEE是等腰直角三角形，

：.BF=BF,NEBF=9伊.

?.?點(diǎn)E、b分別在正方形C6、AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,

：.AB+BF=CB+BE,即

AD=CD

在AADF與ACDE中，<ZDAF=ZDCE

AF=DE

：.MDF整ACDE,

:.DF=DE,N1=N2,

:.MA=MN,Z2=Z3.

?.?N2+N4=ZA5C=90°,N4=N5,

.-.Z3+Z5=90°,

Z6=180°-(Z3+Z5)=90°,

.?.Z7=Z6=90°,MA±MN.

4.（2019—2020年豐臺(tái)初二下期末?第28題）數(shù)學(xué)課上，李老師提出問(wèn)題：如圖1,在正方形A8CO中,

點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，44￡5=90°,且交EE正方形外角的平分線(xiàn)CF于點(diǎn)F.求證：AE=EF.

ffli圖2

經(jīng)過(guò)思考，小聰展示了一種正確的解題思路.取AB的中點(diǎn)H,連接則M/龍為等腰直角三角形,

這時(shí)只需證與AEC戶(hù)全等即可.在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：

（1）小穎提出：如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊8C的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊8C上（不含點(diǎn)3,C）的任意

一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論"=仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證

明過(guò)程，如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；

是否成立？（填“是”或“否”）；

（3）小麗提出：如圖4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)。與點(diǎn)5重合，正方形的邊長(zhǎng)為1,當(dāng)E為BC邊

上（不含點(diǎn)3,C）的某一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F恰好落在直線(xiàn)y=-2x+3上，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】（1）小穎的觀點(diǎn)正確，證明見(jiàn)解析；（2）是；（3）01,0

【分析】（1）在A8上截取=連接由“AS4”可證可得4七=￡/；

（2）在84的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)N,梗AN=CE,連接NE,由“ASA"可證\AHE^AECF，可得AE=EF：

（3）在R4上截取=連接HE,過(guò)點(diǎn)R作EM_Lx軸于M,設(shè)點(diǎn)E（a,O）,由等腰直角三角形

的性質(zhì)可得"七=億根據(jù)全等三角形的性質(zhì)等腰直角三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)尸坐標(biāo)，代入解析式可求a的

值，即可求解

【詳解】（1）小穎的觀點(diǎn)正確

如圖2,在AB上截取=連接

圖2

???四邊形ABC。是正方形，

AB=BC,ZABC=90°=ZGCD,

?.?CF平分NDCG,

:.ZDCF=45°,

.-.ZECF=135°,

vBH=BE,AB=BC,

：.4BHE=NBEH=45°,AH=CE,

ZAHE=NECF=135。,

?：AELEF,

ZAEB+ZFEC=90°,

ZAEB+ZBAE=90°,

:.ZFEC=ZBAE,

MHEsAECF(ASA),

AE=EF；

(2)如圖3,在3A的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)N,使AN=CE,連接NE.

圖3

vAB=BC,AN=CE,

：.BN=BE,

:.ZN=NFCE=45。,

?.?四邊形ABC。是正方形,

ADUBE,

:.ZDAE=ZBEA,

：.ZNAE=ZCEF,

在AANE和中,

NN=ZFCE

<AN=CE,

2NAE=NCEF

：.MNE三AECF(ASA)

：.AE=EF,

故答案是：是；

(3)如圖4,在區(qū)4上截取5H=BE,連接過(guò)點(diǎn)/作EM_Lx軸于M,

設(shè)點(diǎn)E（?,0）,

BE-a—BH，

HE=d2a，

由（1）可得AAHEuAECF,

CF=HE=41a,

???CR平分NDCM,

:.ZDCF=ZFCM=45°,

FM±CM,

NCFM=ZFCM=45°,

CM-FM——=a,

V2

/.BM=1+a,

二點(diǎn)F（l+a,a）,

???點(diǎn)F恰好落在直線(xiàn)y=—2x+3上,

a=-2（1+Q）+3,

1

a=—,

3

5.(2019-2020年門(mén)頭溝初二下期末?第27題)如圖，在正方形A88中，E是邊A8上的一動(dòng)點(diǎn)(不

與點(diǎn)A,6重合)，連接OE,將線(xiàn)段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EF,連接BE.

(1)按已知補(bǔ)全圖形；

(2)用等式表示線(xiàn)段8尸與AE的數(shù)量關(guān)系并證明.(提示：可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)的特征構(gòu)造全等三角形，從而可

以得到線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系，再去發(fā)現(xiàn)生成的特殊的三角形，問(wèn)題得以解決)

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)BF=42AE,理由見(jiàn)解析

【分析】

(1)根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可.

(2)結(jié)論：BE=CAE.過(guò)點(diǎn)F作"，AB,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于證明A/M77三△EH/(A45),

推出AD=EH,AB=EH,推出AE=B”=E"，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)

題即可.

【詳解】解：（1）圖形如圖所示.

(2)結(jié)論：BF=?AE.

理由：過(guò)點(diǎn)尸作交A3的延長(zhǎng)線(xiàn)于”.

???四邊形ABCO是正方形，

AD=AB,NA=90。，

?;NDEF=ZH=90。,

:.ZA=ZH=90°,

ZAED+ZFEH=90°,AFEH+Z.EFH=90°,

ZAED=ZAFH,

?;DE=EF,

\DAE=\EHF(AAS'),

：.AE=FH,AD=EH,

AB=EH,

AE=BH=FH,

/.BF=41FH=CAE.

6.(2019—2020年密云初二下期末?第27題)正方形ABCD中，將線(xiàn)段45繞點(diǎn)8颯時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(其中

0°<a<90°),得到線(xiàn)段BE,連接AE.過(guò)點(diǎn)C作CRLAE交AE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸，連接EC,DF.

(1)在圖1中補(bǔ)全圖形;

(2)求NAEC的度數(shù);

(3)用等式表示線(xiàn)段AF,DF,CE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

AD

B圖1

【答案】(1)補(bǔ)圖見(jiàn)詳解；(2)135°；(3)AF=叵DF+CF,證明見(jiàn)詳解.

【分析】

(1)將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)8颯町句■旋轉(zhuǎn)a角度，在NA8C任意轉(zhuǎn)動(dòng)a即可，連接AE并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)。作

C五_LAE交AE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,連接EC,。產(chǎn)即可補(bǔ)全圖形.

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)，可得AABE和3CE都為等腰三角形，ZABE=a,則N￡5C=90°-a,分別用a表

示NBEA和ZBEC,相加即可得到答案.

(3)在AE上取A”=C戶(hù)，然后證明AA"。豈ABO,可以得到證明N"0R=9O°,所

以△”￡>尸為等腰直角三角形，HF=42DF,根據(jù)圖可得AE=*+AH=JIOF+CE.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意，可以畫(huà)出圖形，如圖所示:

(22;AB旋轉(zhuǎn)到B￡

AA3E和ABCE都為等腰三角形

ZABE=a

:.ZEBC=90°-a

ZBEA=90°--a,ZBEC=45°+-a,

22

1

+

ZAEC=ZBEA+/BEC;.ZAEC=9Q°--a+45°2-=135°

2

(3)在AP上取A”=CF

ZAOD=ZCOF,ZADO=/LOFC=90°

..ZDAH^ZDCF

在A4/7Z)和△CFO中，

AH=CF

<ZDAH=ZDCF

AD=CD

：.^AHD=\CFD

/.ZADH=NCDF,DH=DF

ZADH+NHDO=90°

/CDF+ZHDO=90。

.?.△HD尸為等腰直角三角形

HF=41DF

AF=AH+HF

：.AF=CF+血DF

7.（2019—2020年延慶初二下期末?第27題）如圖，四邊形A8CD是正方形，點(diǎn)E是邊6C的任意一

點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)B做5/7J.AE,垂足為“，交C。于點(diǎn)P,將線(xiàn)段PC繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得

到線(xiàn)段PQ,連接EQ.

（1）補(bǔ)全圖形；

（2）寫(xiě)出AE與EQ的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）AE=EQ,理由詳見(jiàn)解析

【分析】

（1）利用幾何語(yǔ)言畫(huà)出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；

（2）先證明MBEsABCP得到BE=CP,AE=8尸,再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NCPQ=90°,CP=PQ,

接著判斷四邊形BEQP是平行四邊形，所以8P=EQ,從而得到AE=EQ.

【詳解】解：（1）如圖:

(2)AE^EQ.

理由如下：

?.?四邊形ABCD為正方形,

：.AB=BC=CD,ZABC=ZBCD=90P,

BHLAE

:.ZAHB=90°,

Zl+Z2=90°,

vZ2+Z3=90°,

N1=N3,

在ZVIBE和ABCP中

Z1=Z3

<AB=BC

NABC=NBCP

M.BE=ABCP(ASA),

BE=CP,AE=BP,

;CPP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至ijPQ,

.?.NCPQ=90。，CP=PQ,

PQ//BC,PQ=BE,

：.四邊形6EQP是平行四邊形，

BP=EQ

AE=EQ.

8.(2019—2020年101中學(xué)初二下期末?第28題)如圖，在正方形ABC。中，AB=6,M是CD邊

上一動(dòng)點(diǎn)(不與。點(diǎn)重合)，點(diǎn)。與點(diǎn)￡關(guān)于AM所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，連接AE,ME,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)F,

使得=連接EF,AF.

(1)當(dāng)0M=2時(shí)，依題意補(bǔ)全圖1；

(2)在(1)的條件下，求線(xiàn)段EE的長(zhǎng)：

(3)當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使A4Eb為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)OM與AO的數(shù)量關(guān)

系.

【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)2V13；(3)AO=DW或AO=2OM.

【分析】(1)根據(jù)題意作出圖形便可，

(2)連接先證明。。加三根⑶尸，再證明"ZEM&WAB,求得BM,便可得ER；

(3)設(shè)。0=x(x>0),求出AE、AF.EF,當(dāng)△AEF為等腰三角形，分兩種情況：AE=EF'或

AF=EF,列出方程求出x的值，進(jìn)而求得最后結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)題意作圖如下:

(2)連接3",如圖2,

D

■：點(diǎn)。與點(diǎn)E關(guān)于AM所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

AE=AD,ZMAD=ZMAE,

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.AD=AB,ZD=ZABC=ZABF=90。,

DM=BF

在AAOM和△ABE中<，

AD=AB

：.M.DMsAABF(SAS),

：.AF=AM,ZFAB=ZMAD,

ZFAB^ZMAE,

；.ZFAE=ZMAB,

AF=AM

在A77XE和AMA3中<NFAE=ZMAB

AE^AB

：.\FAE三AM4B(SAS),

：.EF=BM,

?.?四邊形ABC。是正方形,

.-.BC=CD=AB=6,

\DM=2,

CM=4,

.?.在R/AMC6中，BM=』BC?+CM。=府+42=2萬(wàn),

EF=2V13；

(3)設(shè)DW=x(x>0),則CM=6-x,在M40C8中

EF=BM=y/CM2+BC2=^(6-x)2+62=>/x2-12x+72,

vAE=AD^6,在RtMDM中A/=AM=ylDM2+AD2=ylx2+36，

/.AF>AE,

二當(dāng)AAE尸為等腰三角形時(shí)，只能有兩種情況：AE^EF,或4尸=￡尸，

①當(dāng)4/=七尸時(shí)，有五-12%+72=6,

解得x=6,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是所列方程的解，

:.DM=6,

AD=DM;

②當(dāng)AE=E/時(shí)，&-12%+72=&+36,

解得，x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=3是所列方程的解,

DM=3,

AD=6,

：.AD=2DM,

綜上，0M與AO的數(shù)量關(guān)系為A。=DM或AO=2OM.

故答案為：4。=。0或4。=2。0.

9.(2019—2020年北大附中初二下期末?第24題)在菱形A8CD中，NA5C=6()°,點(diǎn)尸是射線(xiàn)BO上

一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊AAPE,點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCO內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE,6P與CE的數(shù)量關(guān)系是,CE與AO

的位置關(guān)系是；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCO外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，

請(qǐng)說(shuō)明理由(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理).

(3)如圖4,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段8。的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連接若48=26,BE=2M，求四邊形ADPE

的面積.

圖1圖2

E

E

B

I)

【答案】(1)BP=CE；CE±AD-,(2)成立，理由見(jiàn)解析；(3)873.

【分析】(1)①連接AC,證明AABP三AACE,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得CE；②根

據(jù)菱形對(duì)角線(xiàn)平分對(duì)角可得NA3O=30°,再根據(jù)A48P=AAC￡,可得NACF=NA3D=30°,繼而

可推導(dǎo)得出NCED=9()。,即可證得CE_LAO；

(2)(1)中的結(jié)論：BP=CE,CEA.AD仍然成立，利用(1)的方法進(jìn)行證明即可；

(3)連接AC交5。于點(diǎn)O,CE,作E//LAP于//,由已知先求得30=6,再利用勾股定理求出CE

的長(zhǎng)，AP長(zhǎng)，由AAPE是等邊三角形，求得PH,E”的長(zhǎng)，再根據(jù)S四八分EMSSDP+SBPE，進(jìn)行計(jì)算

即可得.

【詳解】(D?BP=CE,理由如下：

連接AC,

?.?菱形ABC。，ZABC=60°,

.,.AA3C是等邊三角形，

AB=AC,NBAC=60。,

???AAPE是等邊三角形，

AP^AE,ZPAE=60°,

：.ZBAP=ZCAE,

:.MBP^MCE,BP=CE；

②CEJLAO,

???菱形對(duì)角線(xiàn)平分對(duì)角，

ZABD=30°,

?：N\BP=^ACE,

:.AACF=ZABD=30P,

-,-ZACD=ZADC=60°,

ZDCF=30°,

ZDCF+ZADC^90°,

ZCFD=90°,

CF±AD,即CE_LAO；

(2)(1)中的結(jié)論：BP=CE,CELAD仍然成立，理由如下:

連接AC,

?.?菱形ABC。，ZABC^60P,

AA8C和入48都是等邊三角形，

AB=AC,ZBAO=120°,

ABAP=n(T+ZDAP,

???AAPE是等邊三角形，

AP^AE,ZPAE=60°,

r.NC4E=60。=60。+ZZMP=120P+NZMP,

:.ZBAP=A.CAE,

:.^ABP=^ACE,:.BP=CE,NACE=NAB。=30。，

.-.ZDC￡=30°,vZADC=60°,

.?.ZDCE+ZADC=90°,:.CHD=90°,:.CE±AD,

；.(1)中的結(jié)論：BP=CE,CE_LA￡＞仍然成立；

(3)連接AC交8。于點(diǎn)。，CE,作E”_LAP于",

?.?四邊形ABC。是菱形，

:.AC±BD,平分ZA3C,

"ZABC=60°,AB=26,

.?.430=30。，：.AO=G,BO=DO=3,

BD=6,

由⑵知CELAO,

-,-AD//BC,：.CE±BC,

?;BE=2M,BC=AB=20,

CE=7（2V19）2-（2A/3）2=8,

由（2）知8P=CE=8,:.DP=2,:.OP=5,

：.AP=V52+（廚=277,

;MPE是等邊三角形，：.PH=6,EF=歷，

?S四"ME=S^40P+SMPE'

S四A0PE=-DPA0+—APEH,

=-x2xV3+-x2V7xV21

22

=V3+7V3

=86，

四邊形AOPE的面積是8月.

10.(2019-2020年北京二中初二下期末?第24題)在正方形ABC。中，M是8C邊上一點(diǎn)，點(diǎn)P在

射線(xiàn)AM上，將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段AQ,連接3尸，DQ.

(1)①依題意補(bǔ)全圖1；

②猜想線(xiàn)段。。與5P的關(guān)系是：:

(2)連接。P,若點(diǎn)P,Q,。恰好在同一條直線(xiàn)上，求證：DP2+DQ2=2AB2.

【答案】(1)①補(bǔ)全圖形如圖1,見(jiàn)解析；②BP=QD,BPyQD-,(2)見(jiàn)解析.

【分析】

(1)①根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可；②證A4QQ=A4PB(S4S),可得；

(2)連接BD,如圖2,只要證明AADQMA48P,ZDPB=90°,在RtABPD中,運(yùn)用勾股定理即可

解決問(wèn)題；

【詳解】（1）①補(bǔ)全圖形如圖1:

②如圖2,延長(zhǎng)。。交于點(diǎn)”，

?.?四邊形ABCD是正方形，

:.AD=AB,NDAB=90。,

???將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段A。,

：.AQ^AP,NQAP=ZDAB=90。，

ZQAD=ZBAP,

二A4QD三AAPB(SAS),

PB=QD,NAQD=ZAPB,

?/ZAPB+NAP”=180°,

：.ZAQD+ZAPH=ISO°,

ZQAP+ZAPH+ZAQD+ZQHP=360°,

NQHP=90°,

BPVQD,

(2)證明：連接5。，如圖3,

???線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段AQ,

:.AQ=AP,ZQAP=9Q°,

?.?四邊形ABC。是正方形，

AD=AB,NDAB=90°,

Z1=Z2.

/.AADQ=AABP(SAS),

：.DQ=BP,/g/3,

在Rt/^QAP中，ZQ+ZQPA=90°,

4BPD=N3+ZQPA=90°,

???在RABPD中，DP2+BP2=BD2,

又?；DQ=BP,BD2=2AB2,

DP2+DQ2=2AB2.

11.（2019—2020年北師大附中初二下期末?第24題）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M在CD邊上，在

正方形ABCD外部做一個(gè)等腰直角三角形CMN,且滿(mǎn)足NCMN=90°.連接AN,CN,取AN的中

點(diǎn)、E,連接BE,AC,交于F點(diǎn).

（1）①依題意補(bǔ)全圖形；

②求證：尸是4C中點(diǎn).

（2）請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段CD,CN,BE所滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（3）設(shè)=若點(diǎn)M沿著線(xiàn)段C。從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,則在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段EN所掃過(guò)

的面積為（直接寫(xiě)出答案）.

【答案】（1）①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析；（2）2BE=41CD+CN（3）-

2

【分析】

(1)①依照題意補(bǔ)全圖形即可;

②連接CE,證得AE=CE,推出點(diǎn)3、E在AC的垂直平分線(xiàn)上，從而證得結(jié)論；

(2)證得EF是AANC的中位線(xiàn)，推出8F=JCD,即可得到2BE=、歷。+CN；

2

(3)找出EN所掃過(guò)的圖形為四邊形。尸CN.根據(jù)正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出8O〃aV,

由此得出四邊形DFCN為梯形，再由A3=血，可算出線(xiàn)段CF、DF、CN的長(zhǎng)度，利用梯形的面積公

式即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)①依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示.

②證明：連接CE,如圖2所示.

?.?四邊形ABCD是正方形,

.?./BCD=90。，AB^BC,

：.ZACB=ZACD=-4BCD=45°,

2

vZCMN=9Q°,CM=MN,

:.ZMCN=45°,

ZACN=ZACD+ZMCN=90°,

?.?在azviov中，點(diǎn)七是AN中點(diǎn)，

AE=CE=-AN.

2

vAE=CE,AB=CB,

.?.點(diǎn)B、E在4c的垂直平分線(xiàn)上，

「.尸是AC中點(diǎn)；

(2)由②得5E是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，ZACN=90°f

:.EF±AC,R是AC中點(diǎn)，ZFBC^ZFBA=1x90°=45°,

2

:.EFHCN,且尸是AC中點(diǎn),

.?.￡/是AANC的中位線(xiàn),

EF^-CN,

2

vBF=CF=BCsm450=—CD,

2

V21

BE=BF+EF=—CD+-CN,

22

即25E=J^CO+CN；

(3)在點(diǎn)M沿著線(xiàn)段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的過(guò)程中，線(xiàn)段EN所掃過(guò)的圖形為四邊形OEC7V.

vZBDC=45°,NDCN=45°,

BD//CN,

，四邊形OECN為梯形.

?：AB=CD=41,

CD

.?.CF=￡>P=CDsin450=l,cn=——=2,

cos45°

i13

???S梯切FOV=-(r>F+C7V)-CF=-(lx2)xl=-.

12.（2019—2020年交大附中初二下期末?第27題）NA/CW=45°,點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上，點(diǎn)/,8在射

線(xiàn)ON上（點(diǎn)5與點(diǎn)。在點(diǎn)A的兩側(cè)），且AB=1,以點(diǎn)尸為旋轉(zhuǎn)中心，將線(xiàn)段A8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得

到線(xiàn)段C。（點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)。與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)）.

M

N

（1）如圖，若。4=1,OP=4i,依題意補(bǔ)全圖形

（2）OP=M,當(dāng)線(xiàn)段AB在射線(xiàn)ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段CD與射線(xiàn)有公共點(diǎn)，求OA的取值范圍.（要

寫(xiě)過(guò)程）

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）1<OA<2

【分析】

（1）由已知可得PA=1,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PC=PA=1,PC//OA,CD=AB=\,即

可根據(jù)旋轉(zhuǎn)畫(huà)出圖形.

（2）作PELOM交ON于點(diǎn)E,作EFLON交0M于點(diǎn)F,當(dāng)線(xiàn)段A3在射線(xiàn)ON上從左向右平移

時(shí)，線(xiàn)段CU在射線(xiàn)EF上從下向上平移，且。4=EC,即可求出。A的取值范圍.

【詳解】解：（1）???OA=1?.?曲=1,OP=6,AMON=45°,

:.PA±OA,PA=\

PC//OA,PC=\.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：PC_LCD,CD=AB=1,

，￡）正好落在OM上.

補(bǔ)全圖形，如圖1所示.

（2）如圖2,作交ON于點(diǎn)E,作EF上ON交OM于點(diǎn)F.

?：0P=叵,ZMON=45°,

:.OE=2.

由題意可知，當(dāng)線(xiàn)段AB在射線(xiàn)ON上從左向右平移時(shí)，線(xiàn)段CD在射線(xiàn)EF上從下向上平移,且EC.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)F重合時(shí)，OA取得最小值為1.

圖2

如圖3,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)尸重合時(shí)，0A取得最大值為2.

綜上所述，的取值范圍是1WQ4W2.

13.（2019—2020年北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校初二下期末?第25題）已知，點(diǎn)E在正方

形A88的A8邊上（不與點(diǎn)A,6重合），是對(duì)角線(xiàn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F,使6歹=AE,過(guò)點(diǎn)后作8。

的垂線(xiàn)，垂足為M,連接AM,CF.

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并證明=

（2）①用等式表示線(xiàn)段A"與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②用等式表示線(xiàn)段AM,BM,0M之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出即可）

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）叵AM=FC,DM2+BM2=2AM2

【分析】（1）證MEM是等腰直角三角形即可得；

（2）①先證得=由AE=3/知BC=AB,證AMERMAMBC得

/EMF=/BMC,FM=MC,由ZFMC=9Q°知"CM是等腰直角三角形，從而得

FC=叵MF=42AM；

②連接DE,證四邊形CDEF是平行四邊形得=b,由CF=-J1MF，〃歹=A〃知OE=MAM,

結(jié)合網(wǎng)=EM,NDME=90?！愕肈M2+EM2=DE?,從而得出答案.

【解答】解：（1）如圖所示，

?.?四邊形A3CD是正方形，3。是對(duì)角線(xiàn),

ZABD=45°,

.?.△BEM是等腰直角三角形，

:.MB=ME；

（2）①如圖所示，連接CM、FM,

???△BEM是等腰直角三角形，

：.MB=ME,ZABM=NBEM=45°,

ZAEM=NFBM=135°,

又?；AE=FB,

AAEM=/^FBM（SAS）,

:.AM=FM,

???AE=BF,

；.EF=BC=AB,

AMEF=AMBC(SAS),

:.NEMF=/BMC,FM=MC,

：.ZFMC^90°,

.?.△FCW是等腰直角三角形，

/.FC=41MF=42AM,

即叵AM=FC；

@DM2+BM2=2AM2,

如圖，連接OE,

???AE=BF,

AE+BE=BF+BE=EF,

又；。?！?3且￡＞。=48,

/.DC=EF,DC//EF,

：.四邊形COE廠是平行四邊形，

：.DE=CF,

?/CF=41MF,MF=AM,

DE=6AM,

又BM=EM,NOME=90°,

DM2+EM2=DE2,

貝|]￡>/+B“=2AM?.

14.(2019—2020年北京市海淀外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初二下期末?第24題)如圖，在AABO中，AB=AD,

將△ABD沿3。翻折，使點(diǎn)A翻折到點(diǎn)C.E是BD上一點(diǎn)，且BE>DE,連結(jié)CE并延長(zhǎng)交于F,

連結(jié)AE.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)判斷NE>￡C與N8AE的大小關(guān)系并加以證明；

(3)若NB4D=120°,A5=2,取40的中點(diǎn)G,連結(jié)EG,求EA+EG的最小值.

【答案】(D見(jiàn)解析；(2)ZDFC=ZBAC;(3)43

【分析】(1)將AABO沿翻折，使點(diǎn)A翻折到點(diǎn)C.E是BD上一點(diǎn),且BE>DE,連結(jié)CE并延

長(zhǎng)交AO于/，連結(jié)AE,據(jù)此畫(huà)圖即可；

(2)根據(jù)AABE=ACBE(S4S),可得NBAE=NBCE.再根據(jù)AZ)〃BC,可得NDFC=NBCE,進(jìn)

而得出NDRC=NBAC；

(3)連接CG,AC,根據(jù)EC+EGNCG可知，CG長(zhǎng)就是E4+EG的最小值，根據(jù)AACD為邊長(zhǎng)為

2的等邊三角形，G為4)的中點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理即可得出CG=B，進(jìn)而得到EA+EG的最小值.

【解答】解：(1)如圖所示:

(2)判斷：/DFC=4BAE.

證明：?.?將AABD沿翻折，使點(diǎn)A翻折到點(diǎn)C.

BC=BA=DA=CD.

二四邊形ABCD為菱形.

：.ZABD=ACBD,AD//BC.

又?：BE=BE,

M.BE=^CBE(SAS).

:"BAE=NBCE.

AD//BC,

NDFC=/BCE.

：.NDFC=ZBAE.

(3)如圖，連接CG,AC.

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，EA=EC,

:.EA+EG=EC+EG,

根據(jù)EC+EG>CG可知，CG長(zhǎng)就是EA+EG的最小值.

?.?N3AD=120°,四邊形ABCD為菱形，

ZC4￡>=60°.

CD為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

又為AO的中點(diǎn)，

DG=1,

.?.々△COG中，由勾股定理可得。。=百，

.?.EA+EG的最小值為J5.

15.（2019—2020年清華附中初二下期末?第26題）四邊形ABC。是正方形，AC是對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)￡是AC

上一點(diǎn)（不與AC中點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線(xiàn)，在垂線(xiàn)上取一點(diǎn)/，使并且點(diǎn)七和點(diǎn)產(chǎn)

在直線(xiàn)的同側(cè)，連結(jié)尸。并延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使FD=GD,連結(jié)GE.

（1）如圖1所示

①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形:

②求NCEG的度數(shù)，判斷線(xiàn)段GE和CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明.

（3）若點(diǎn)E是正方形內(nèi)任意一點(diǎn)，如圖2所示，判斷（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，給出證明；如

果不成立，說(shuō)明理由.

【答案】⑴①見(jiàn)解析；②NCEG=45。，GE=V2CE;（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）①根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可.

②想辦法證明AEGC是等腰直角三角形即可.

（2）如圖2中，結(jié)論成立.連接5E,CG.證明kCDG三ACBE（SAS），推出CG=CE,ZDCG=ZBCE,

推出NGCE=ZDCB=90°,推出AGCE是等腰直角三角形，可得結(jié)論.

【解答】解：（1）①圖象如圖所示:

G

②結(jié)論：EG=42EC,

連接EF,DE,CG.

?.?四邊形ABC。是正方形，

」.NDAC=45。，

vZEAF=90°,AE^AF,

:.ZDAF^45°,

:.ZDAE=ZDAF,

vDA=DA,AF=AE,

\DAF=AZME(SAS),

:.DF=DE,

DF=DG,

：.DE=DF=DG,

...ZF￡G=90°,

ZAEF=ZAO)=45°,

NC￡G=45。，

ZAEF=ZACD=45°,

：.EF//CD,

???EFLEG,

EG±CD,

■：DG=DE,

二OG垂直平分線(xiàn)段EG,

CG—CE,

NCEG=NCGE=45。,

r.NECG=90。，

GE=yplEC.

(2)如圖2,結(jié)論成立.

理由：連接BE,CG.

G

ZFAE=ADAB=90°,

NFAD="AB,

vFA=EA,DA=BA,

AEW=A￡AB(SAS),

:.DF=BE,NFDA=NABENFDA=NABE,

■：DG=DF,

DG=BE,

???ZAOC=ZA5C=90。，

ZFDA+ZCDG=90°,ZABE+NCBE=90°,

/./CDG=NCBE,

DC=BC,

ACDGsACBE(SAS),

CG=CE,ZDCG=4BCE,

NGCE=ZDCB=90°,

：.AGCE是等腰直角三角形，

GE=41EC.

16.(2019-2020年北京市第五十七中初二下期末?第26題)如圖①，已知正方形A8CO的邊長(zhǎng)為3,

點(diǎn)。是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)BQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)P,連接。尸、DP、CP、3P,設(shè)AQ=x.

(1)3P+OP的最小值是,此時(shí)x的值是；

(2)如圖②，若QP的延長(zhǎng)線(xiàn)交8邊于點(diǎn)M,并且/《/。=90°.

①求證：點(diǎn)M是。的中點(diǎn)；②求x的值.

(3)若點(diǎn)。是射線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)△CDP為等腰三角形時(shí)x的值.

【答案】(1)3&；3萬(wàn)5；(2)①見(jiàn)詳解；②x=l；(3)ACDP為等腰三角形時(shí)x的值為：6-373

或G或6+3G.

【分析】

(1)BP+OP為點(diǎn)3到。兩段折線(xiàn)的和.由兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短可知，連接。3,若P點(diǎn)落在80上，此時(shí)

和最短，且為3a.考慮動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，這種情形是存在的，由AQ=x,則QD=3—x,PQ=x.又

NPDQ=45。,所以QD=J^PQ,即3—x=Jir.求解可得答案;

（2）由已知條件對(duì)稱(chēng)分析，AB=BP=BC,則NBCP=N」BPC,由=90°,可得

ZMPC=ZMCP.那么若有A/P=MO,則結(jié)論可證.再分析新條件/〃。=90%易得①結(jié)論.②求

x的值，通常都是考慮勾股定理，選擇直角三角形QOM,發(fā)現(xiàn)QM，DM,。。都可用x來(lái)表示，進(jìn)而

易得方程，求解即可.

（3）若ACDP為等腰三角形，則邊C。比為改等腰三角形的一腰或者底邊.又尸點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于。8的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)，則以點(diǎn)8為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則P點(diǎn)只能在弧4B上.若CO為腰，以點(diǎn)C

為圓心，以CO的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交點(diǎn)即為使得ACDP為等腰三角形（CD為腰）的P點(diǎn).若CD為

底邊，則作C。的垂直平分線(xiàn)，其與弧AC的交點(diǎn)即為使得△CDP為等腰三角形（8為底）的P點(diǎn).則

如圖所示共有三個(gè)尸點(diǎn)，那么也共有3個(gè)。點(diǎn).作輔助線(xiàn)，利用直角三角形性質(zhì)求之即可.

【詳解】解：（1）連接08,若P點(diǎn)落在8。上，止匕時(shí)BP+0P最短，如圖：

由題意，?.?正方形A3CD的邊長(zhǎng)為3,

BD=y/32+32=372,

BP+OP的最小值是3也；

由折疊的性質(zhì)，PQ=AQ=x,則QD=3—x,

ZPDQ=45°,NQPD=90°,

AQP。是等腰直角三角形,

QD-y/2QP=\/2x,

/.3-x=\[lx,

解得：x=3&—3；

故答案為：3后；372-3；

(2)如圖2所示:

①證明：在正方形ABCD中，有

AB=BC,ZA=ZBCD=90P.

???尸點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于8。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

:.AB=PB,ZA=NQPB=90。,

PB=BC,ABPM=ABCM,

NBPC=ABCP,

ZMPC=ZMPB-ZCPB=ZMCB-APCB=ZMCP

MP=MC.

在RzAPOC中，

???ZPDM=90°-ZPCM,

ADPM=90°-ZMPC,

NPDM=/DPM,

/.MP=MD,

CM=MP=MD,即M為CO的中點(diǎn).

②解：；AQ=x,AD=3,

QD=3—x,PQ=x,CD=3.

在R/ADPC中，

???M為CD的中點(diǎn)，

3

DM=QM=CMJ,

3

QM=PQ+PM=x+~,

.…2=(37八(|),

解得：X=l.

(3)如圖，以點(diǎn)B為圓心，以A8的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)。為圓心，以8的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交

于耳，P3.此時(shí)△CQR,ACZJG都為以8為腰的等腰三角形.作的垂直平分線(xiàn)交弧AC于點(diǎn)八，

此時(shí)AC￡)P2以CD為底的等腰三角形.

\/

,史

①討論尸「如圖作輔助線(xiàn)，連接作，8［交4。于。，過(guò)點(diǎn)尸「作石尸_14。于￡：,交BC

于F.

\/

,史

為等邊三角形，正方形A8CO邊長(zhǎng)為3,