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-2025學(xué)年天津市濱海學(xué)校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷滿分:150分考試時(shí)間:100分鐘一、單選題(每題5分,共60分)1.直線的傾斜角為,則()A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由直線的傾斜角求直線的斜率,結(jié)合直線方程得的值.【詳解】直線傾斜角為,所以斜率為,即,解得.故選:B2.若方程表示圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.(0,+∞)【答案】B【解析】【分析】方程配方,左邊配成平方和的形式,右邊為正即可表示圓.【詳解】方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,有,∴..故選:B3.已知圓心為的圓與軸相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】圓的圓心為,半徑為,得到圓方程.【詳解】根據(jù)題意知圓心為,半徑為,故圓方程為:.故選:B.4.圓圓心到直線的距離為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo),再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.【詳解】由題意得,即,則其圓心坐標(biāo)為,則圓心到直線的距離為.故選:D.5.若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限,則直線的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合斜率、傾斜角之間的關(guān)系分析求解.【詳解】因?yàn)橹本€恒過(guò)點(diǎn),直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,直線的斜率,此時(shí)傾斜角為;直線的斜率不存在,此時(shí)傾斜角為;所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選:B.6.若與是兩條不同的直線,則“”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用兩直線平行解出的值即可.【詳解】由題意,若,所以,解得或,經(jīng)檢驗(yàn),或時(shí),,則“”是“”的充分不必要條件,故選:C.7.四棱錐中,,,,則頂點(diǎn)到底面的距離為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】先求出平面的法向量,再根據(jù)點(diǎn)到面的距離的向量公式求解即可.【詳解】設(shè)平面的法向量為,則有,令,則,所以,所以頂點(diǎn)到底面的距離為.故選:A.8.已知直線與直線間的距離為,則()A.或 B.C.或11 D.6或【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用兩條平行直線間距離公式計(jì)算即可.【詳解】直線可化為,所以,解得或.故選:A.9.已知直線l過(guò)定點(diǎn),且方向向量為,則點(diǎn)到l的距離為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算與的夾角的余弦值得出直線與直線的夾角的正弦值,再計(jì)算點(diǎn)到直線的距離.【詳解】由題意得,所以,又直線的方向向量為,則,所以,設(shè)直線與直線所成的角為,則,則,所以點(diǎn)到直線的距離為.故選:A.10.已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi),O是平面ABC外任意一點(diǎn),實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最小值為()A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面及二次函數(shù)的最值求解.【詳解】因?yàn)?,且四點(diǎn)共面,由空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)可知,即,所以,所以當(dāng)時(shí),有最小值.故選:D11.已知集合,,,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的元素以及求得的取值范圍.【詳解】集合表示直線,即上除去點(diǎn)的點(diǎn),集合表示直線上的點(diǎn).因?yàn)?,所以直線與相交,且交點(diǎn)不是點(diǎn),所以且,解得且.故選:C12.已知、為圓不同兩點(diǎn),且滿足,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出,題目轉(zhuǎn)化為、到直線的距離之和,變換得到,計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)锳x1,y1、所以,,,且,因?yàn)?,則,因?yàn)?,則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,表示、到直線的距離之和,原點(diǎn)到直線的距離為,如圖所示:,,是的中點(diǎn),作于,且,,,故在圓上,.故的最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是首先求出,再將題意轉(zhuǎn)化為表示、到直線的距離之和,最后利用中位線性質(zhì)和圓外點(diǎn)外圓上點(diǎn)距離最值問(wèn)題解決.二、填空題(每題5分,共40分)13.已知經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的直線l的方向向量為,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由已知得出,進(jìn)而根據(jù)已知條件、結(jié)合向量共線列出方程,求解即可得出答案.【詳解】由已知可得,.又直線l的方向向量為,所以,與共線,所以有,解得.故答案為:.14.直三棱柱中,,分別是的中點(diǎn),,則所成角的余弦值為_(kāi)__________【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的夾角即可求解.【詳解】依題意可知兩兩相互垂直,由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,設(shè)與所成角為,則.故答案為:15.已知直線的傾斜角為,且這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),則直線的一般式方程為_(kāi)_________.【答案】或【解析】【分析】先由傾斜角求直線的斜率,然后寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式方程,最后化為直線的一般式方程.【詳解】因?yàn)椋?,則,所以直線的斜率為,又因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn),則直線的方程為,所以直線的一般式方程為或.故答案為:或.16.如圖,在平行六面體中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,若,且,則的長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由,借助模長(zhǎng)公式得出的長(zhǎng).【詳解】因?yàn)樗约垂蚀鸢笧椋?7.如圖,已知A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過(guò)的路程是_________.【答案】2【解析】【分析】求出關(guān)于直線和的對(duì)稱點(diǎn),由兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)間距離得結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為,直線方程為,因此.解得,即,關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(-2,0),則光線所經(jīng)過(guò)的路程PMN的長(zhǎng)為CD=2.故答案為:.18.①坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)__________②過(guò)兩點(diǎn),且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________【答案】①.②.【解析】【分析】①設(shè)所求圓的一般方程為,將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的一般方程,可得出關(guān)于、、的方程組,解出這三個(gè)未知數(shù)的值,可得出圓的方程,進(jìn)而可求得圓心坐標(biāo)和半徑.②首先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,根據(jù)題意得到,再解方程即可.【詳解】①設(shè)所求圓的一般方程為,由題意可得,解得,所以,所求圓的方程為②設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題知:,所以標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為:,19.如圖,圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,O為底面中心,M為SO中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若AM⊥MP,則點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_______,點(diǎn)S與P距離的最小值是________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】建系,根據(jù)空間向量垂直關(guān)系可得點(diǎn)P的軌跡方程為.空1:根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式運(yùn)算求解;空2:根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則,設(shè),則,因?yàn)锳M⊥MP,則,解得,所以點(diǎn)P的軌跡方程為,空1:根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式,可得點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為;空2:因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),點(diǎn)S與P距離的最小,其最小值為.故答案為:;.20.已知圓,點(diǎn)的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn),則的取值范圍為_(kāi)_____【答案】.【解析】【分析】取中點(diǎn)為,連接,,確定點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓,根據(jù)得到答案.【詳解】取中點(diǎn)為,連接,如圖所示:則,又,,故點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓,圓心為,半徑為,因?yàn)?,,所以,即,則.故答案為:.三、解答題(前兩題每題12分,后兩題每題13分,共50分)21.已知點(diǎn),直線和(1)過(guò)點(diǎn)作的垂線,求垂足的坐標(biāo);(2)過(guò)點(diǎn)作分別于交于點(diǎn),若恰為線段的中點(diǎn),求直線的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由直線的位置關(guān)系求方程,再聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo),(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),由中點(diǎn)表示點(diǎn)坐標(biāo),分別代入直線方程聯(lián)立求解.【小問(wèn)1詳解】,即,則,直線為,即,聯(lián)立方程,解得,故.【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè),則,則,解得,故直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn),故直線方程為,即.22.如圖,在四棱錐中,四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形,平面,,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),點(diǎn)是棱上的一點(diǎn),且.(1)證明:平面平面;(2)求平面和平面夾角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【解析】【分析】(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量,從而可證明.(2)分別求出平面和平面的法向量,利用向量法可求解.【小問(wèn)1詳解】如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,所以,設(shè),則,解得,即.則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即令,解得,所以平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以即,令,解得,所以平面的一個(gè)法向量為,又,所以平面平面;【小問(wèn)2詳解】,所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以,即令,解得,所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即令,解得,所以平面的一個(gè)法向量為.,所以平面和平面夾角的大小為23.已知圓與直線相切于點(diǎn),圓心在軸上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線:與圓交于,兩點(diǎn),求弦的最短長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件,設(shè)出圓方程,再結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式,以及直線垂直的性質(zhì),即可求解.(2)先求出直線的定點(diǎn),再判斷定點(diǎn)在圓內(nèi),再結(jié)合垂徑定理,以及兩點(diǎn)之間的距離公式,即可求解.【小問(wèn)1詳解】依題意,圓心在軸上,可設(shè)圓的方程為,圓與直線相切于點(diǎn),,解得,,故圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】直線:,,令,解得,直線過(guò)定點(diǎn),又圓的方程為.所以圓心,半徑,,故定點(diǎn)在圓的內(nèi)部,當(dāng)直線與直線垂直時(shí),弦取得最小值,,,,弦的最短長(zhǎng)度為.24.如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與平面所成的角正弦值為,若存在求出的長(zhǎng),若不存在說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在求出長(zhǎng).【解析】【分析】(1)利用線面平行判定定理證明;(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求直線與平面的夾角的正弦值,
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