高考數(shù)學復習解答題提高第一輪專題復習專題02圓錐曲線中的中點弦問題(點差法+聯(lián)立法)(典型題型歸類訓練)(學生版+解析)

專題02圓錐曲線中的中點弦問題（點差法+聯(lián)立法）(典型題型歸類訓練)一、必備秘籍1、相交弦中點（點差法）直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，2、點差法設直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、典型題型題型一：求直線方程1．（2024上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線經(jīng)過點與交于兩點.若是線段的中點，則的方程為（

）A． B．C． D．2．（2024·全國·高二專題練習）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，且右頂點到該條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，求直線的斜率.3．（2024上·河北保定·高二統(tǒng)考期末）一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為，求直線l的方程．4．（2024·全國·高二專題練習）過點的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，且P為線段AB的中點，求直線l的方程．題型二：求離心率1．（2024上·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）橢圓，，，為橢圓過點E的一條弦，且，直線的斜率與的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）斜率為的直線分別與軸，軸交于兩點，且與橢圓，在第一象限交于兩點，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中學校聯(lián)考期末）斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點，為線段的中點，則橢圓的離心率為．4．（2024上·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）已知過點的直線與雙曲線：交于A、B兩點，若點P是線段的中點，則雙曲線C的離心率取值范圍是.題型三：求弦中點的軌跡方程1．（2023上·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習）已知橢圓.(1)求過點且被點平分的弦所在直線的方程；(2)過點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程.2．（2023上·江西南昌·高三南昌市外國語學校?？茧A段練習）已知拋物線，過其焦點作兩條相互垂直且不平行于軸的直線，分別交拋物線于點和點的中點分別為.(1)若直線的斜率為2，求直線的方程；(2)求線段的中點的軌跡方程.題型四：求曲線方程1．（2023·全國·高一專題練習）已知橢圓方程為，其右焦點為F（4，0），過點F的直線交橢圓與A，B兩點．若AB的中點坐標為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓G：，斜率為的直線l交橢圓于A，B兩點.若AB的中點坐標為，試寫出橢圓G的一個標準方程.3．（2022上·陜西銅川·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，直線交拋物線C于兩點，線段的中點為為坐標原點，且直線的斜率為．(1)求拋物線C的方程；(2)求實數(shù)m的值．題型五：處理存在性問題1．（2024上·上海·高二上海市育才中學?？计谀┮阎p曲線中，離心率為，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線左支有兩個交點，求的取值范圍；(3)過點是否能作直線與雙曲線交于、兩點，且使得是的中點，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．2．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預測）已知雙曲線()經(jīng)過點，其漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？請說明理由．3．（2023上·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學校校考階段練習）已知，，動圓與圓和圓都外切，圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)若過點的直線交曲線C于A，B兩點，點Q能否為線段的中點？為什么？題型六：確定參數(shù)的取值范圍1．（2024上·內蒙古錫林郭勒盟·高二統(tǒng)考期末）設橢圓C：（）的兩個焦點是和（），且橢圓C與圓有公共點．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若橢圓C上的點到焦點的最長距離為，求橢圓C的方程；(3)對（2）中的橢圓C，直線：（）與C交于不同的兩點M，N，若線段的垂直平分線恒過點，求實數(shù)的取值范圍．2．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：，A為橢圓的下頂點，設橢圓與直線相交于不同的兩點、，為弦的中點，當時，求的取值范圍.3．（2023上·河北邢臺·高三邢臺市第二中學?？计谀E圓，，，，四點中恰有三點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)橢圓上兩點、，若直線過點，且，線段的中點為，求直線的斜率的取值范圍.題型七：定值問題1．（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學校考階段練習）已知橢圓的右焦點為，右頂點為，上頂點為，點為坐標原點，線段的中點恰好為，點到直線的距離為．(1)求的方程；(2)設點在直線上，過作的垂線交橢圓于兩點．記與面積分別為，求的值．2．（2023上·山東青島·高二青島二中?？计谥校┮阎獮樽鴺嗽c，，，直線，的斜率之積為4，記動點的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線經(jīng)過點，與交于，兩點，線段中點在第一象限，且縱坐標為4，求.3．（2022上·陜西安康·高二?？计谀┮阎獧E圓E的中心在原點，焦點為，且離心率.(1)求橢圓E的方程；(2)過點的直線l與橢圓E相交于A，B兩點且P為AB的中點求弦長.三、專項訓練一、單選題1．（2024上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024上·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）橢圓，，，為橢圓過點E的一條弦，且，直線的斜率與的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024上·湖南·高二校聯(lián)考期末）過拋物線的焦點的直線與拋物線C相交于A，B兩點，若線段中點的坐標為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）斜率為的直線分別與軸，軸交于兩點，且與橢圓，在第一象限交于兩點，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024上·重慶·高二重慶八中校考期末）直線經(jīng)過橢圓的左焦點，且與橢圓交于兩點，若為線段中點，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知A，B為雙曲線上不同兩點，下列點中可為線段的中點的是（

）A． B． C． D．7．（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學考試）已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點為，則這條弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．8．（2023上·山東棗莊·高二滕州市第一中學新校校考階段練習）直線與拋物線交于兩點，中點的橫坐標為2，則為（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是二、解答題9．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學?？茧A段練習）直線與橢圓相交于不同的兩點，若的中點的橫坐標為，求：(1)的值；(2)弦長的值．13．（2022上·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學?？茧A段練習）已知雙曲線的右焦點為，虛軸長為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點為，求直線的方程．14．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）已知橢圓，，為C的左右焦點.點為橢圓上一點，且.過P作兩直線與橢圓C相交于相異的兩點A，B，直線PA、PB的傾斜角互補，直線AB與x，y軸正半軸相交.(1)求橢圓C的方程；(2)點M滿足，求M的軌跡方程.15．（2023下·福建·高二福建師大附中?？奸_學考試）已知雙曲線.(1)試問過點能否作一條直線與雙曲線交于，兩點，使為線段的中點，如果存在，求出其方程；如果不存在，說明理由；(2)直線：與雙曲線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于，兩點.當點運動時，求點的軌跡方程.專題02圓錐曲線中的中點弦問題（點差法+聯(lián)立法）(典型題型歸類訓練)一、必備秘籍1、相交弦中點（點差法）直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，2、點差法設直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、典型題型題型一：求直線方程1．（2024上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線經(jīng)過點與交于兩點.若是線段的中點，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】設點、，則，因為，兩式作差得，即，即，所以，因此直線的方程為，即.故選：D.2．（2024·全國·高二專題練習）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，且右頂點到該條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，求直線的斜率.【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)題意求出即可；（2）利用點差法求解即可.【詳解】（1）因為雙曲線的一條漸近線與直線垂直，且直線的斜率為，且雙曲線的漸近線為，則，可得，所以，雙曲線的漸近線方程為，即，因為右頂點到該條漸近線的距離為，所以，解得，所以，所以雙曲線的方程為；（2）設、，則，則，所以，化簡得，因為線段的中點為，所以，，所以，所以，即直線的斜率為，經(jīng)檢驗符合題意，所以直線的斜率為.3．（2024上·河北保定·高二統(tǒng)考期末）一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為，求直線l的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義和標準方程可以確定曲線C的方程.（2）利用點差法結合中點坐標公式和斜率公式求解.【詳解】（1）依題意得該動圓的圓心到點的距離到直線的距離相等．又點不在直線上，所以根據(jù)拋物線的定義可知該動圓圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以曲線C的方程為．（2）設，，則，兩式相減得，即．因為線段AB的中點坐標為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，經(jīng)檢驗，直線與曲線相交，滿足題意，所以直線l的方程為.4．（2024·全國·高二專題練習）過點的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，且P為線段AB的中點，求直線l的方程．【答案】【分析】由“點差法”求出直線的斜率，再由點斜式方程求解即可.【詳解】解：設，，則，，兩式相減得．∵P為線段AB的中點，∴，．∴，即所求直線l的斜率為1，∴直線l的方程為，即．經(jīng)檢驗符合題意．題型二：求離心率1．（2024上·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）橢圓，，，為橢圓過點E的一條弦，且，直線的斜率與的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取線段的中點為，可得，進而借助點差法求解的值，從而得解.【詳解】如圖，取線段的中點為，連接，

因為，所以為中點，又為中點，所以，直線的斜率與的斜率乘積為，所以．設，則，兩式相減可得，整理得，即，所以，所以，則．故選：B．2．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）斜率為的直線分別與軸，軸交于兩點，且與橢圓，在第一象限交于兩點，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，，根據(jù)題意得到，即，設直線的方程為，得，得，進而得，再根據(jù)求解即得.【詳解】設，，線段AB的中點為E，由，，兩式相減可得，即，又由，，則，設直線的方程為，（），可得，，又，所以線段AB的中點為E也就是線段MN的中點，得，所以，所以，即，得，故選：A3．（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中學校聯(lián)考期末）斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點，為線段的中點，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】令，應用點差法及直線斜率、中點坐標得，即可求離心率.【詳解】令，則，可得，所以，又為線段的中點，且直線斜率為，所以，則.故答案為：4．（2024上·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）已知過點的直線與雙曲線：交于A、B兩點，若點P是線段的中點，則雙曲線C的離心率取值范圍是.【答案】【分析】利用點差法得到，根據(jù)題意和漸近線方程得到，故，從而求出離心率的取值范圍.【詳解】設，則，兩式相減得，若，則的中點在軸上，不合要求，若，則的中點在軸上，不合要求，所以，因為為的中點，所以，故，因為的漸近線方程為，要想直線與雙曲線：交于A、B兩點，則，即，解得，所以離心率.故答案為：【點睛】直線與圓錐曲線相交涉及中點弦問題，常用點差法，該法計算量小，模式化強，易于掌握，若相交弦涉及的定比分點問題時，也可以用點差法的升級版—定比點差法，解法快捷.題型三：求弦中點的軌跡方程1．（2023上·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習）已知橢圓.(1)求過點且被點平分的弦所在直線的方程；(2)過點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）用“點差法”求出直線的斜率，利用點斜式求出直線方程，從而可得結論；（2）設過點的直線與橢圓截得的弦的中點，交點為，利用點差法分析求解.【詳解】（1）因為，所以在橢圓的內部，則所求弦必然存在，設這條弦與橢圓交于點，由中點坐標公式知，把代入，則，作差整理得，可得，所以這條弦所在的直線方程為，即.（2）由題意可知：過點引橢圓的割線的斜率存在且不為0，設割線方程為，聯(lián)立方程，消去得，則，解得，設過點的直線與橢圓截得的弦的中點，交點為，根據(jù)橢圓性質可知，則，令，則，可得，因為在上單調遞減，在上單調遞增，且，可知，則，所以，則，可得，把代入，則，兩式相減得，整理得，即，整理得.【點睛】方法點睛：弦中點問題的解決方法（1）用“點差法”求解弦中點問題的解題步驟；（2）對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關系”或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關系時，要注意使用條件，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交．2．（2023上·江西南昌·高三南昌市外國語學校?？茧A段練習）已知拋物線，過其焦點作兩條相互垂直且不平行于軸的直線，分別交拋物線于點和點的中點分別為.(1)若直線的斜率為2，求直線的方程；(2)求線段的中點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線和拋物線方程，求得中點坐標，即可求解直線的方程；（2）首先設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求得點的坐標，并利用直線與直線的關系，求得點的坐標，即可求解點，再通過消參求得點的軌跡方程.【詳解】（1）拋物線的焦點，，直線的方程為，設，聯(lián)立，得，，所以中點的橫坐標為，中點的縱坐標為，即，直線的方程為，設，聯(lián)立，得，，所以中點的橫坐標為，中點的縱坐標為，即，所以，直線的方程為，化簡為直線的方程為；（2）設直線的方程為，設，，聯(lián)立，得，得，所以中點的橫坐標為，縱坐標為，即，將換成得，得的中點的坐標為，即，得，題型四：求曲線方程1．（2023·全國·高一專題練習）已知橢圓方程為，其右焦點為F（4，0），過點F的直線交橢圓與A，B兩點．若AB的中點坐標為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，利用點差法求解即可．【詳解】設，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯(lián)立解得．∴橢圓的方程為：．故選：D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓G：，斜率為的直線l交橢圓于A，B兩點.若AB的中點坐標為，試寫出橢圓G的一個標準方程.【答案】（答案不唯一）【分析】設點，，利用點差法可得答案.【詳解】設點，，則，兩個等式作差得，整理可得，因為線段AB的中點為，可得，又，所以，所以，故可設，此時橢圓G的方程為.故答案為：.（答案不唯一）

3．（2022上·陜西銅川·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，直線交拋物線C于兩點，線段的中點為為坐標原點，且直線的斜率為．(1)求拋物線C的方程；(2)求實數(shù)m的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)焦點坐標即可求解，進而可得拋物線方程，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，得韋達定理，由中點坐標公式和斜率公式即可求解.【詳解】（1）拋物線C的焦點為，，即．∴拋物線C的方程為．（2）由消去得，此時，．．點M坐標為．，解得或．

題型五：處理存在性問題1．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ杏胖袑W?？计谀┮阎p曲線中，離心率為，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線左支有兩個交點，求的取值范圍；(3)過點是否能作直線與雙曲線交于、兩點，且使得是的中點，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關于、、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)已知條件結合韋達定理、判別式可得出關于實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍；（3）利用點差法求出直線的方程，再將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，計算，即可得出結論.【詳解】（1）解：因為雙曲線中，離心率為，且經(jīng)過點，則，解得，所以，雙曲線的方程為.（2）解：設直線交雙曲線于點、，聯(lián)立可得，因為直線與雙曲線左支有兩個交點，則，解得，故實數(shù)的取值范圍是.（3）解：若直線軸，則直線與雙曲線相切，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設點、，因為為線段的中點，則，將點、的坐標代入雙曲線的方程可得，作差可得，即，即，所以，直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，則，因此，不存在滿足題設條件的直線.2．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預測）已知雙曲線()經(jīng)過點，其漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？請說明理由．【答案】(1)；(2)不能，證明見解析；【分析】（1）由漸近線方程求得一個關系，再代入點的坐標，可解得得雙曲線方程；（2）設出交點坐標，若是線段的中點，利用點差法求出直線l方程，再聯(lián)直線與雙曲線查看是否有解，即可判斷.【詳解】（1）由題雙曲線()經(jīng)過點，其漸近線方程為，所以，，解得，所以雙曲線C的方程為：.（2）當直線l垂直x軸時，直線l的方程為，此時直線l與雙曲線只有一個交點，不滿足；當直線l不垂直x軸時，斜率存在，設，所以，兩式作差得，即，若是線段的中點，則，則，所以直線l的斜率，則直線l的方程為，將直線l與雙曲線聯(lián)立，得，，方程無解，所以這樣的直線不存在，即點P不能是線段的中點.3．（2023上·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學校校考階段練習）已知，，動圓與圓和圓都外切，圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)若過點的直線交曲線C于A，B兩點，點Q能否為線段的中點？為什么？【答案】(1)(2)能，理由見解析【分析】（1）畫出圖形，由圓的外切、圓心坐標、圓的半徑以及雙曲線的定義即可得解.（2）畫出圖形，中點弦問題用到中點坐標公式以及點差法來做稍微方便一些.【詳解】（1）如圖所示：

由題意，的圓心分別為，，且動圓與兩定圓分別外切與兩點，所以，，解得，所以圓心的軌跡是以為焦點，為實軸頂點的雙曲線但不包括實軸頂點，所以曲線C的方程為，（且）.（2）如圖所示：

過點的直線交曲線C于A，B兩點，點Q能為線段的為中點，理由如下：由題意設點在雙曲線上，且點為弦的中點，所以，又因為，所以，即，，存在過點且斜率為的直線：，即，且聯(lián)立，消去并整理得，,兩根均小于，滿足題意，綜上所述：存在過點且斜率為的直線交曲線C于A，B兩點，且點Q為線段的中點.題型六：確定參數(shù)的取值范圍1．（2024上·內蒙古錫林郭勒盟·高二統(tǒng)考期末）設橢圓C：（）的兩個焦點是和（），且橢圓C與圓有公共點．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若橢圓C上的點到焦點的最長距離為，求橢圓C的方程；(3)對（2）中的橢圓C，直線：（）與C交于不同的兩點M，N，若線段的垂直平分線恒過點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由橢圓及圓的性質可得，則，結合即可求得結果；（2）由題可知，又，求解即可；（3）設線段的中點為，由結合點差法求得的坐標，根據(jù)點P在橢圓內部得的范圍，又點P在直線上，代入得的關系式，從而得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）橢圓C的短半軸，圓的圓心為原點，半徑為，∵橢圓C與圓有公共點，∴，，則，又，從而解得，所以a的取值范圍為.

（2）由題可知，又，聯(lián)立解得，，所以橢圓的方程為.（3）設線段的中點為,∵，∴①，設，，則，，兩式作差得，即，即，即②，聯(lián)立①②解得，即，因為點P在橢圓內部，則，代入點P坐標化簡得，又點P在直線上，代入得，因此，實數(shù)的取值范圍是．

2．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：，A為橢圓的下頂點，設橢圓與直線相交于不同的兩點、，為弦的中點，當時，求的取值范圍.【答案】【分析】聯(lián)立直線和橢圓的方程，由判別式大于0可得，以及可得根與系數(shù)的關系，根據(jù)，可得，結合根與系數(shù)的關系化簡可得，解不等式即可求得答案.【詳解】由題設，聯(lián)立，得，由題設知，即①，設，則，因為為弦的中點，∴，從而，又由題意知,，∴，∵，則，即②，把②代入①得，解得，又，故的取值范圍是.3．（2023上·河北邢臺·高三邢臺市第二中學?？计谀E圓，，，，四點中恰有三點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)橢圓上兩點、，若直線過點，且，線段的中點為，求直線的斜率的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標準方程.（2）設出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關系，結合以及點差法求得直線的斜率的取值范圍.【詳解】（1）由于，，關于軸對稱，所以經(jīng)過，兩點，故不過，所以在上.由題意可得，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由題意知，直線的斜率存在且不為零，設其方程為，由，得，由，得，設，，則，，所以，因為，所以，得，所以，設直線的斜率為，因為，所以，化簡得，所以，所以，解得或，所以直線的斜率的取值范圍為題型七：定值問題1．（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學?？茧A段練習）已知橢圓的右焦點為，右頂點為，上頂點為，點為坐標原點，線段的中點恰好為，點到直線的距離為．(1)求的方程；(2)設點在直線上，過作的垂線交橢圓于兩點．記與面積分別為，求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)題意可得，又點到直線的距離為列式計算求得；（2）設線段的中點，利用點差法可得，三點共線，即直線過線段的中點，得解.【詳解】（1）設，則，由線段的中點恰好為，得，所以，整理得，由得直線方程為，所以點到直線的距離為，所以，橢圓的方程為．（2）設，線段的中點，則．由（1）知，直線的斜率，當時，直線的斜率．因為點在橢圓上，所以，兩式相減，整理得，又，所以，直線的斜率為，因為直線的斜率為，所以三點共線，即直線過線段的中點，當時，直線也過線段的中點，所以到直線的距離相等，即與等底等高．所以．【點睛】思路點睛：設，線段的中點，利用點差法可得，三點共線，即線段的中點在直線上，得解.2．（2023上·山東青島·高二青島二中校考期中）已知為坐標原點，，，直線，的斜率之積為4，記動點的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線經(jīng)過點，與交于，兩點，線段中點在第一象限，且縱坐標為4，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）設出動點坐標為，根據(jù)斜率之積為4列出等式，化簡即可.（2）首先直線斜率存在且經(jīng)過點，設出直線方程并將其與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達定理結合已知條件算出斜率，進而由弦長的計算公式直接計算即可.【詳解】（1）設點的坐標為，因為，，所以，化簡得：.所以的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；設，，直線方程為，與聯(lián)立得：，由且，解得且，由韋達定理得，因為線段中點在第一象限，且縱坐標為，所以，解得或（舍去），所以直線為，所以，所以.3．（2022上·陜西安康·高二?？计谀┮阎獧E圓E的中心在原點，焦點為，且離心率.(1)求橢圓E的方程；(2)過點的直線l與橢圓E相交于A，B兩點且P為AB的中點求弦長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由焦點坐標求出c，再根據(jù)離心率求出a，可得，可得橢圓方程；（2）設出A，B坐標，代入橢圓方程，兩式相減，利用平方差公式分解因式，轉化為斜率與中點坐標的關系式，可求出弦所在直線斜率和直線的方程，將直線方程代入橢圓方程，求出,坐標，求出弦長.【詳解】（1）由題意橢圓的焦點在軸上，，又，，，所以橢圓的方程為.（2）由題知直線的斜率不為0，設，，代入橢圓方程得，作差得，即，可得，所以直線的斜率，故直線的方程為即.聯(lián)立，消去得，解得或，所以，,所以弦長.三、專項訓練一、單選題1．（2024上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定點在橢圓內部，設交點為，代入橢圓方程做差，然后整理可得直線斜率，利用點斜式可得直線方程.【詳解】因為，故點在橢圓內部，過點的直線恒與橢圓有兩個交點，設交點為，則，又，兩式相減得，整理得，所以以點為中點的弦所在的直線方程為，即.故選：D.2．（2024上·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）橢圓，，，為橢圓過點E的一條弦，且，直線的斜率與的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取線段的中點為，可得，進而借助點差法求解的值，從而得解.【詳解】如圖，取線段的中點為，連接，

因為，所以為中點，又為中點，所以，直線的斜率與的斜率乘積為，所以．設，則，兩式相減可得，整理得，即，所以，所以，則．故選：B．3．（2024上·湖南·高二校聯(lián)考期末）過拋物線的焦點的直線與拋物線C相交于A，B兩點，若線段中點的坐標為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】利用點差法及中點與焦點坐標分別表示直線的斜率，可建立關于的方程，求解可得.【詳解】設，，則，兩式作差得，，當時，則中點坐標為焦點，不滿足題意；當時，得．設線段中點，因為坐標，且過焦點，所以，則的斜率，解得．故選：A.4．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）斜率為的直線分別與軸，軸交于兩點，且與橢圓，在第一象限交于兩點，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，，根據(jù)題意得到，即，設直線的方程為，得，得，進而得，再根據(jù)求解即得.【詳解】設，，線段AB的中點為E，由，，兩式相減可得，即，又由，，則，設直線的方程為，（），可得，，又，所以線段AB的中點為E也就是線段MN的中點，得，所以，所以，即，得，故選：A5．（2024上·重慶·高二重慶八中?？计谀┲本€經(jīng)過橢圓的左焦點，且與橢圓交于兩點，若為線段中點，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)得到，結合點差法相關知識計算求得，進而求得離心率.【詳解】如圖所示，因為，所以，所以，設，則，兩式相減得，則，因為直線，為線段中點，，所以，，代入上式得，則，所以橢圓的離心率.故選：D.6．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知A，B為雙曲線上不同兩點，下列點中可為線段的中點的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點差法結合選項得出方程，再與雙曲線方程聯(lián)立一一驗證是否有兩個不同交點即可.【詳解】設的中點，所以，易知，由點差法可得，若，此時，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線只有一個交點，故A錯誤；若，則此時，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線有兩個交點，故B正確；若，則此時，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線有一個交點，故C錯誤；若，則此時，與雙曲線聯(lián)立，顯然無解，即與雙曲線沒有交點，故D錯誤；故選：B7．（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學考試）已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點為，則這條弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】運用點差法，結合一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解判斷即可.【詳解】設該弦為，設，則有，兩式相減，得，因為雙曲線C的一條弦的中點為，所以，因此由，即這條弦所在直線的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因為，所以該弦存在，故選：D8．（2023上·山東棗莊·高二滕州市第一中學新校?？茧A段練習）直線與拋物線交于兩點，中點的橫坐標為2，則為（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是【答案】B【分析】設，得到，求得，再由，兩式相減，得到，得出方程，即可求解.【詳解】設，因為中點的橫坐標為，則，可得，又由，兩式相減得到，可得，可得，解得或，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以.故選：B.二、解答題9．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學?？茧A段練習）直線與橢圓相交于不同的兩點，若的中點的橫坐標為，求：(1)的值；(2)弦長的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用點差法構造關于的方程，即可求得的值；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得出和的值，利用弦長公式代入計算即可．【詳解】（1）設，中點為，因為在直線上，所以，由，得：，所以，即，解得．（2）由（1）得，直線方程為，由，得，則，，所以．10．（2023上·江西南昌·高三南昌市外國語學校?？茧A段練習）已知拋物線，過其焦點作兩條相互垂直且不平行于軸的直線，分別交拋物線于點和點的中點分別為.(1)若直線的斜率為2，求直線的方程；(2)求線段的中點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線和拋物線方程，求得中點坐標，即可求解直線的方程；（2）首先設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求得點的坐標，并利用直線與直線的關系，求得點的坐標，即可求解點，再通過消參求得點的軌跡方程.【詳解】（1）拋物線的焦點，，直線的方程為，設，聯(lián)立，得，，所