人教版八上數(shù)學(xué)整式的乘法及因式分解單元培優(yōu)

PAGEPAGE6第1講整式的乘法知識(shí)點(diǎn)梳理：復(fù)習(xí)回顧：整式的加減：同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)新課要點(diǎn)：（1）同底數(shù)冪的乘法：底數(shù)不變，指數(shù)相加。(、都是正整數(shù))注意公式逆用。（2）冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（、都是正整數(shù))注意公式逆用。（3）積的乘方：（是正整數(shù)）注意公式逆用。（4）整式的乘法：①單項(xiàng)式和單項(xiàng)式相乘：把它們的系數(shù)、相同的字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為積的一個(gè)因式。例如：=②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積再相加。即經(jīng)典例題例1．（1）-x3·x5（2）xm·x3m+1（3）2×24×23（4）（5）例2．計(jì)算：①②例3.計(jì)算：⑴⑵⑶⑷（5）（6）例4.計(jì)算：⑴⑵（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）例5．若，則代數(shù)式的值為。例6若(x2＋ax－b)(2x2－3x＋1)的積中，x3的系數(shù)為5，x2的系數(shù)為－6，求a，b．經(jīng)典練習(xí)：1.填空：（1）8×4=2x，則x=；3×27×9=3x，則x=；（2）=（3）若,則=________。（4）=（5）=（6）=（7）=（8）(ｘ-ｙ)6·(ｙ-ｘ)5=_______________。（9）10m·10m-1·100=__________________。2.下列各式的計(jì)算中，正確的是（）A.B.C.D.3、(-10)3·10+100·(-102)的運(yùn)算結(jié)果是()A.108B.-2×104C.0D.-1044、a與b互為相反數(shù)且都不為0，n為正整數(shù)，則下列兩數(shù)互為相反數(shù)的是()A..與B.與C.與D.與5.計(jì)算(-2)1999+(-2)2000等于()A.-23999B.-2C.-21999D.219996.，則（）A.8B.9C.10D.無法確定7、計(jì)算⑴⑵（3）（4）（5）（6）8．已知，求的值。9．若，求x的值.10.已知，求的值。能力提高1、計(jì)算(ａ-ｂ)n·(ｂ-ａ)n-1等于()A.(ａ-ｂ)2n-1B.(ｂ-ａ)2n-1C.(ａ-ｂ)2n-1D.非以上答案2、（1）若，則____（2）若，則____（3）若，則3、已知，求的值。4、已知：，求證：。5、（1），當(dāng)時(shí)，求的值.（2）已知，求的值。鞏固練習(xí)1.計(jì)算等于()A.;B.-2;C.;D.2.下列說法中正確的是()A.和一定是互為相反數(shù)B.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),和相等C.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),和相等D.和一定不相等3計(jì)算（1）。（2）（3）（4）(5)(6)4小明和小剛共同解一道題由于粗心，小明抄錯(cuò)了第一個(gè)多項(xiàng)式中前面的符號(hào)，得到的結(jié)果是小剛漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中的系數(shù)，得到的結(jié)果是。（1）求、的值；（2）計(jì)算出正確的結(jié)果第2講整式的除法知識(shí)點(diǎn)梳理：（1）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。（、是正整數(shù)，且）（2）任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。（）（3）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。（4）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。經(jīng)典例題例1．計(jì)算（1）（2）（3）（4）(5)(12a3-6a2+3a)÷3a；(6)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y).[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x.(8)例2.已知x=32m+2,y=5+9m,請你用含x的代數(shù)式表示y.例3.已知、滿足求[4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]÷xy的值例4.（1）已知8m=12,4n=6,求26m-2n+1的值.（2）已知9m·27m-1÷32m的值為27,求m的值.經(jīng)典練習(xí)：1.計(jì)算：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3（4）5（2a+b）4÷（2a+b）2 （5）-x9÷(-x)3÷2x2.（6）（7）(15x2y-10xy2)÷5xy（8）(8a2-4ab)÷(-4a)（9）(25x3+15x2-20x)÷(-5x)（10）（11）2.3.一顆人造衛(wèi)星的速度是一駕噴氣飛機(jī)的速度是這顆人造地球衛(wèi)星的速度是這駕噴氣式飛機(jī)的速度的多少倍？4.已知812x÷92x÷3x=81,求x的值.5.已知，，，求的值。鞏固練習(xí)：1.計(jì)算：（1）（2）（3）（4）（3）（4）（5）（6）(7)(8)(9)(10)（11）（12）2.填空（1）(2)(6a3+4a)÷2a=+=；(3)(12x3-8x2+16x)÷(-4x)=++=.第3講乘法公式知識(shí)點(diǎn)梳理：（1）平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和乘這兩個(gè)數(shù)的差，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。即注：平方差公式中的、既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式（2）完全平方公式：兩數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍即：經(jīng)典例題例1．計(jì)算（1）=（2）=（3）=（4）=(5)(6)解：原式=解：原式===（）+例2.先化簡，再求值：，其中x=，y=解：原式=當(dāng)x=，y=時(shí)原式=例3.已知求的值。例4.(1)若是完全平方式，求的值等于__________________。(2)若是完全平方式，則M=_______________。（3）多項(xiàng)式加上一個(gè)單項(xiàng)式后能成為一個(gè)整式的完全平方，請你寫出符合條件的這個(gè)單項(xiàng)式是________________________．（4）已知，，則________________例5.已知，求的值經(jīng)典練習(xí)：1、選擇題（1）下列計(jì)算結(jié)果是的是（）A．B．C．D．（2）下列各式中不能用平方差公式計(jì)算的是（）A．B．C．D．（3）下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（）,不能用平方差公式的，能否用其他公式,請?jiān)跈M線上寫上正確公式的代號(hào).A．可選用公式B．可選用公式C．可選用公式D．可選用公式2、判斷下列各題是否正確，并將錯(cuò)誤的在“修正意見”欄中改正。原題選擇正誤修正意見○對○錯(cuò)○對○錯(cuò)○對○錯(cuò)○對○錯(cuò)○對○錯(cuò)○對○錯(cuò)3、計(jì)算（直接寫出計(jì)算結(jié)果）：（1）=（2）=（3）=（4）=（5）=（6）=4、計(jì)算：（1）（2）解：原式=解：原式=（3）(4)解：原式=解：原式=(5)（6）解：原式=解：原式=（7）(8)解：原式=解：原式=5、利用簡便的方法計(jì)算(1)(2)1022=（3）提高練習(xí)1．計(jì)算（a+b）(-a-b）的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2-b2B．-a2-b2C．a(chǎn)2-2ab+b2D．-a2-2ab-b22．設(shè)（3m+2n）2=（3m-2n）2+P，則P的值是（）A．12mnB．24mnC．6mnD．48mn3．若x2-kxy+9y2是一個(gè)完全平方式，則k值為（）A．3B．6C．±6D．±814、要使x－６x＋a成為形如（x－b）的完全平方式，則a，b的值（）Ａ.a＝9，b＝9Ｂ.a＝9，b＝3Ｃ.a＝3，b＝3Ｄ.a＝－3，b＝－25、若x＋mx＋4是一個(gè)完全平方公式，則m的值為（）Ａ.2Ｂ.2或－2Ｃ.4Ｄ.4或－46、一個(gè)長方形的面積為x－y(x>0,y>0)，以它的長邊為邊長的正方形的面積為（）Ａ.x＋yＢ.x＋y－2xyＣ.x＋y＋2xyＤ.以上都不對7、若（x－y）＋Ｎ＝x＋xy＋y，則Ｎ為（）Ａ.xyＢ.0Ｃ.2xyＤ.3xy8．計(jì)算：（-x-y）2=__________；（-2a+5b）2=_________．9．__________=10、觀察下列各式：1×3=22-1，3×5=42-1，5×7=62-1，……請你把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含n（n為正整數(shù)）的等式表示為_________.11.計(jì)算（1）（a+2b-c）(a-2b-c）（2）（a+b+c）2（3）（a+b）2（a2-2ab+b2）（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）12．已知：a+b=10，ab=20，求下列式子的值：①a2+b2；②（a-b）213．若a2+b2+4a-6b+13=0，試求ab的值．鞏固練習(xí)1、下列可以用平方差公式計(jì)算的是()A、(x－y)(x+y)B、(x－y)(y－x)C、(x－y)(－y+x)D、(x－y)(－x+y)2、下列各式中，運(yùn)算結(jié)果是的是()A、B、C、D、3、若，括號(hào)內(nèi)應(yīng)填代數(shù)式()A、B、C、D、4、等于()A、B、C、D、5、的運(yùn)算結(jié)果是()A、B、C、D、6、運(yùn)算結(jié)果為的是()A、B、C、D、7、已知是一個(gè)完全平方式，則N等于()A、8B、±8C、±16D、±328、如果，那么M等于()A、2xyB、－2xyC、4xyD、－4xy9．計(jì)算(1)(a+2b-1)2(2)(2x+y+z)(2x-y-z)10、已知a＋b＝5，ab＝－2，求a＋b的值第4講因式分解知識(shí)點(diǎn)梳理：(1)因式分解的概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式。(2)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算(3)提公因式法分解因式的過程中，找公因式的一般步驟是：首先找各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，接著找各項(xiàng)含有的相同字母，相同的字母指數(shù)取次數(shù)最低的。（4）運(yùn)用平方差公式分解因式：（5）運(yùn)用完全平方公式分解因式：，★(6)分組法分解因式的關(guān)鍵是分組之后要有公因式可提歸納點(diǎn)撥:因式分解的一般步驟可歸納為一“提”、二“套”、三“分”、四“查”：經(jīng)典例題例1．下列由左邊到右邊的變形，是分解因式嗎？為什么？(1)(a+3)(a-3)=a2-9(2)m2-4=(m+2)(m-2)(3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)2(4)2mR+2mr=2m(R+r)(5)x2+x=x2(1+)小結(jié)：1．分解因式的結(jié)果是的形式．2．分解后的每個(gè)因式必須是式．3．分解因式必須分解到每個(gè)因式都不能再分為止．例2.已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式3x2+mx-n=(x+3)(3x-5)，求m、n的值．例3.分解因式（1）9x2-6xy+3xz(2)-10x2y-5xy2+15xy(3)4a2+6ab+2a(4)-8amb3+12am+1b2+16am+2b（5）2x(y+z)-3(y+z)(6)6(x-y)3-9y(x-y)2(7)x(x-y)+y(y-x)(8)x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a)小結(jié)：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)（x-y)2n=(y-x)2n,(x-y)2n-1=-(y-x)2n-1例4.分解因式（1）16x2-25y2(2)9a2-b2(3)(a+b)2-9(4)9(m+n)2-(m-n)2(5)2x3-8x（6）9x2-12xy2+4y4(7)(x+y)2+4(x+y)+4(8)-6a-a2-9(9)3ax2+6axy+3ay2(10)(x2+4)2+8x(x2+4)+16x2★（11）★（12）例5.已知,求的值.經(jīng)典練習(xí):1．下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（）（A）（B）(（C）（D）2.下列各式，分解因式正確的是（）A．a(chǎn)3+b2=(a+b)2B．xy+xz+x=x(y+z)C．x2+x3=x3·(+1)D．a(chǎn)2-2ab+b2=(a-b)23．多項(xiàng)式的公因式是（）（A）（B）（C）（D）4、若是一個(gè)完全平方式，那么的值是（）（A）10（B）-10（C）（D）5.把下列各式分解因式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)-(7)(8)(9)(10)6.用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算：（1）（2）（3）（4）7.在分解因式時(shí)時(shí)，甲看錯(cuò)了a的值，分解的結(jié)果是；乙看錯(cuò)了b的值，分解的結(jié)果是。那么分解因式正確的結(jié)果是多少？為什么？能力提高1.關(guān)于x的多項(xiàng)式6x2-11x+m分解因式后有一個(gè)因式是2x-3，試求m的值．2.n為整數(shù)，n2+n能被2整除嗎？鞏固練習(xí)1、提公因式法因式分解（1）＝(2)4x2+6xy==（3）＝(4)=___________________（5）=(6)2、利用平方差公式因式分解（1）＝（2）＝（2）＝(4)=________________________(5)=__________________(6)=____________________3、利用完全平方公式因式分解（1）＝（2）=（3）＝（4）＝（5）（6）=_______________4.把下列各式分解因式（1）（a2+4)2-16a2;(2)x3+2x2-9x-18（3）4x3-4x2-9x+9(4)x2-2xy+y2-z25、已知，求的值課題學(xué)習(xí)十字相乘法分解因式型的二次三項(xiàng)式是分解因式中的常見題型，那么此類多項(xiàng)式該如何分解呢？觀察=，可知=。這就是說，對于二次三項(xiàng)式，如果常數(shù)項(xiàng)b可以分解為p、q的積，并且有p+q=a，那么=。這就是分解因式的十字相乘法。下面舉例具體說明怎樣進(jìn)行分解因式。例1、因式分解。分析：因?yàn)?/p>

7x

+

(-8x)=-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、因式分解。分析：因?yàn)?/p>

-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）例3、

因式分解。分析：該題雖然二次項(xiàng)系數(shù)不為1，但也可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解。

因?yàn)?/p>

9y+

10y=19y解：原式=（2y+3）（3y+5）例4、因式分解。分析：因?yàn)?/p>

21x+(-18x)=3x解：原式=（2x+3）（7x-9）練習(xí):利用十字相乘法因式分解（1）=（2）=（3）=（4）=(5)8x2+6x－35=(6)4x2+15x+9=(7)18x2－21x+5=(8)20－9y－20y2=(9)2x2+3xy+=(10)2y2+y－6=(11)(12)☆(13)(14)=第6講因式分解的方法—配方法和拆添項(xiàng)法知識(shí)要點(diǎn)：拆項(xiàng)或添項(xiàng)是將原多項(xiàng)式配上某些需要的項(xiàng)，創(chuàng)造能因式分解的條件。配方法則是通過拆項(xiàng)或添項(xiàng)，把一個(gè)式子寫成完全平方式或幾個(gè)完全平方式和的形式。補(bǔ)充公式：A卷一、填空題1、分解因式：.（拆項(xiàng)法）2、分解因式：.（添項(xiàng)法）3、分解因式：.（添項(xiàng)法）4、（“希望杯”初二試題）分解因式：.5、（天津市競賽試題）已知，則.6、（“希望杯”初二競賽試題）已知，（），且，則或.（配方法）二、選擇題7、（“五羊杯”競賽試題）若x是自然數(shù)，設(shè)，則（）A、y一定是完全平方數(shù)B、存在有限個(gè)x，使y是完全平方數(shù)C、y一定不是完全平方數(shù)D、存在無限個(gè)x，使y是完全平方數(shù)8、若a、b、c滿足，則代數(shù)式的最大值是（）A、27B、18C、15D、12B卷一、填空題9、（全國聯(lián)賽）已知，且，則.（配方法）10、整數(shù)a、b滿足，則.（拆項(xiàng)法）11、正數(shù)a、b、c滿足，則，，.二、選擇題12、（“五羊杯”競賽試題）a、b、c、d都是正數(shù)，則在以下命題中，錯(cuò)誤的是（）A、若，則B、若，則C、若，則