復(fù)變函數(shù)第二章

提問(wèn)：

1、復(fù)數(shù)的三角表示式、指數(shù)表示式

2、求模，輻角的主值

3、乘法、除法（）、求方根

4、區(qū)域，簡(jiǎn)單（閉）曲線（Jordan）

5、函數(shù)連續(xù)的概念、充要條件

1Chap.2.

解析函數(shù)2§2.1.復(fù)變函數(shù)31、復(fù)變函數(shù)的概念

2、復(fù)變函數(shù)的極限上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性1、復(fù)變函數(shù)的定義4·復(fù)變函數(shù):如無(wú)特別聲明以后討論的函數(shù)均為單值函數(shù)。例1例2·集合G

稱為f(z)

的定義集合（定義域）

·對(duì)應(yīng)于所有z

的一切w

值所成的集合稱為函數(shù)值集合（值域）6·復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系:7復(fù)變函數(shù)w=f(z)與實(shí)二元函數(shù)關(guān)系8例：

或

利用三角表示式：

令z=rei

,則w=f(z)=u(r,)+iv(r,)2、映射（復(fù)變函數(shù)的幾何意義）9復(fù)變函數(shù)是兩個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn)集間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱為z平面和w平面。2、映射（復(fù)變函數(shù)的幾何意義）1011·兩個(gè)特殊的映射:1213且是全等圖形.1415根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知,16·反函數(shù)：17根據(jù)反函數(shù)的定義,當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí),今后不再區(qū)別函數(shù)與映射.18例1·補(bǔ)充例題：19做題方法：已知映射w=f(z)，求把一些特定的點(diǎn)映成什么點(diǎn)？20解21解22解仍是扇形域.23例224例2解25所以象的參數(shù)方程為復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1、函數(shù)的極限27回憶（實(shí)變）函數(shù)極限定義:1、函數(shù)的極限281-1.定義:30

1-2.極限計(jì)算的性質(zhì)(兩個(gè)定理！)·定理1證明：根據(jù)極限的定義(1)必要性（）【直角邊<斜邊】復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部的極限的關(guān)系：二元函數(shù)極限：32(2)充分性（）【三角不等式】二元函數(shù)極限：3334·定理2

注：與實(shí)變函數(shù)的極限性質(zhì)類似，證明類似；

定理成立前提，倆極限存在！35·例：考察36·例：考察根據(jù)定理1可知,解：37解法2（三角）：38根據(jù)定理1可知,·例(補(bǔ)充)：

解：2、函數(shù)的連續(xù)性

2-1.定義39（1）

f(z)在z0處有定義

（2）f(z)在z0處有極限

（3）f(z)在z0處的極限值等于函數(shù)值連續(xù)的三要素:402-2.性質(zhì)定理3例：41定理4例：42

在閉曲線或包括曲線端點(diǎn)在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)f(z)，在曲線上是有界的。即：·有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（補(bǔ)充）

設(shè)D是有界閉集，f(z)

C(D),則有：

（1）

f(z)在D上有界：

M>0，

zD，

有|f(z)|<M（2）

|f(z)|在D上有最值：

z1,z2DzE|f(z)|<|f(z1)|,|f(z)|>|f(z2)|

（3）

f(z)在D上一致連續(xù)：

>0,

>0，當(dāng)z1,z2D且|z1-z2|<時(shí)，

有|f(z1)-f(z2)|<43例45例：試證：f(z)在原點(diǎn)無(wú)極限，從而在原點(diǎn)不連續(xù)證明：46例：47例：證明：§2.2.解析函數(shù)的概念481、導(dǎo)數(shù)與微分

2、解析函數(shù)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)1、導(dǎo)數(shù)與微分491-1.導(dǎo)數(shù)的定義50注:（1）（*）式表明（連續(xù)！），

（2）※51這就是用定義求導(dǎo)方法！判斷可導(dǎo)否？求導(dǎo)數(shù)？解析否?(下文)52例1

解:53例2

解：54551-2.可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系：

證明：可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)57例解：

(1)f(z)=

z的連續(xù)性顯然58例解：59601-3.求導(dǎo)法則——實(shí)數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣例解復(fù)變函數(shù)w=f(z)與實(shí)二元函數(shù)關(guān)系w=f(z)的極限、連續(xù)w=f(z)的導(dǎo)數(shù)：651-4.微分（一元實(shí)變）

※注：求dw不要忘了寫△z！66特別地,※※※671-1.定義·在z0解析：2、解析函數(shù)·f解析：·奇點(diǎn)例如:以z=0為奇點(diǎn):記作：f(z)

A(D)求函數(shù)f(z)=u+iv的奇點(diǎn)——不解析的點(diǎn)方法：(1)不連續(xù)點(diǎn)；(2)u，v不可微的點(diǎn)；(3)不可導(dǎo)的點(diǎn)；(4)不滿足C-R條件的點(diǎn)；(5)不滿足解析定義的點(diǎn)。例：見課本P3869注：·區(qū)域?yàn)殚_集，故f在D內(nèi)解析

與可導(dǎo)等價(jià)·但在一點(diǎn)解析要求高于可導(dǎo)70例3

解：717273例4解：兩個(gè)重要例子：結(jié)論：它們?cè)谠c(diǎn)都不解析。75例解：7677練習(xí)答案處處不可導(dǎo),處處不解析.78

1-2.

性質(zhì)（四則運(yùn)算、復(fù)合）79根據(jù)定理可知:（重要！?。?1)所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.即：求有理分式的奇點(diǎn)，就是分母為零的點(diǎn)！函數(shù)解析的充要條件

柯西-黎曼方程高數(shù)中：

二元函數(shù)z=f(x,y)可微：定義：如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全增量可表示為其中A,B不依賴于而僅與x,y有關(guān)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分，而稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分。821、柯西—黎曼方程問(wèn):

函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，實(shí)部虛部應(yīng)滿足什么條件？83f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)假設(shè)下面全部展開成實(shí)部、虛部：1、柯西—黎曼方程問(wèn):

函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，實(shí)部虛部應(yīng)滿足什么條件？

※柯西-黎曼方程（C-R方程）

----是可導(dǎo)的必要條件！1.但凡一個(gè)式子不滿足，就不可導(dǎo)；2.哪些點(diǎn)(x,y)成立？86例87例證明：88

設(shè)函數(shù)定義在區(qū)域D內(nèi)，則函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是：⑴

與

在

可微．

⑵

條件(*)常稱為柯西—黎曼條件（C.—R.條件）．(*)定理1

(可導(dǎo)的充要條件)高數(shù)中：

二元函數(shù)z=f(x,y)可微：（充分條件）：如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。93證明：（1）必要性已證。

（2）下證充分性。9495[證畢]定理2(函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件)※判斷是否解析：1、求出u(x,y),v(x,y)2、求出3、判斷以上偏導(dǎo)是否連續(xù)4、判斷2是否滿足C-R方程5、求導(dǎo)：注：僅在個(gè)別點(diǎn)可導(dǎo)，則在區(qū)域里不解析98例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:99例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解:不滿足柯西－黎曼方程,100四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)指數(shù)函數(shù)101四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)※已知解析，抽象證明：1、將給出的條件轉(zhuǎn)化為u,v

的表達(dá)式2、針對(duì)1，兩邊同時(shí)分別對(duì)x,y

求偏導(dǎo)，得到

滿足的式子3、寫出C-R方程4、2、3聯(lián)立104105例106例證明：107例

解：例3證109例110解：例111練習(xí)答案例4證明：可導(dǎo)、解析和連續(xù)的關(guān)系f(z)在D內(nèi)解析f(z)在D內(nèi)可導(dǎo)f(z)在點(diǎn)z0解析f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)f(z)在點(diǎn)z0連續(xù)§2.4.初等函數(shù)1141、指數(shù)函數(shù)

2、對(duì)數(shù)函數(shù)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)3、冪函數(shù)4、三角函數(shù)5、反三角函數(shù)定義、性質(zhì)（解析性）、計(jì)算1、指數(shù)函數(shù)115·定義注·性質(zhì)116(4)加法定理(6)ez是以2

i為基本周期的周期函數(shù)類似實(shí)變指數(shù)函數(shù)見P36例7117(4)證明加法定理證明：118因?yàn)椋寒?dāng)z沿實(shí)軸趨于+∞時(shí)ez

∞;

當(dāng)z沿實(shí)軸趨于-∞時(shí),ez0.119例解：120例解：求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:1211221232、對(duì)數(shù)函數(shù)2-1.定義說(shuō)明：w=Lnz是指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù)Lnz一般不能寫成lnz124由于Argz的多值性導(dǎo)致w=Lnz是一個(gè)具有無(wú)窮多值的多值函數(shù)規(guī)定：2-2.w計(jì)算公式及多值性說(shuō)明：125特殊地,說(shuō)明：1、一個(gè)復(fù)數(shù)z(z≠0)的對(duì)數(shù)仍為復(fù)數(shù)，它的實(shí)部是z的模的實(shí)自然對(duì)數(shù)；它的虛部是z的輻角的一般值，即虛部無(wú)窮多，其任意兩個(gè)相異值相差2π的整數(shù)倍。

2、3、w=Lnz不僅對(duì)正數(shù)有意義，對(duì)一切非零復(fù)數(shù)都有意義。(負(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù))4、

指數(shù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致了對(duì)數(shù)函數(shù)的多值性，這與實(shí)函數(shù)不同。127例1

解：注:

在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù),而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.128例解：129例解：1301312-3.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)3.

冪函數(shù)定義142例解：143例解：144·冪函數(shù)的解析性它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,145它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,4、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)146·復(fù)變量的正弦與余弦函數(shù)147·定義·性質(zhì):(2)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).(3)148(5)遵循通常的三角恒等式，如(4)149記好，常用！雙曲函數(shù)150注：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的sinz的零點(diǎn)(i.e.sinz=0的根)為z=n

cosz的零點(diǎn)(i.e.cosz=0的根)為z=(n+1/2)

n=0,1,2,···,n,···(6)(7)sinz,cosz在復(fù)數(shù)域內(nèi)均是無(wú)界函數(shù)151例解：152·

其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義153例解:154·定義·雙曲函數(shù)·性質(zhì)155·它們的導(dǎo)數(shù)分別為并有如下公式:·它們都是以為周期的周期函數(shù),156例解：1575、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)·反三角函數(shù)定義兩端取對(duì)數(shù)得158

同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù),重復(fù)以上步驟,可以得到