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2022-2023學(xué)年山東省青島市平度第三中學(xué)高三下學(xué)期質(zhì)量抽測(5月)數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的實部與虛部相等,其中為虛部單位,則實數(shù)()A.3 B. C. D.2.直三棱柱中,,,則直線與所成的角的余弦值為()A. B. C. D.3.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,4.已知集合,,則()A. B.C. D.5.已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是()A. B. C. D.6.若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.207.已知滿足,則()A. B. C. D.8.已知為非零向量,“”為“”的()A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件9.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.10.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.11.若集合,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.12.公比為2的等比數(shù)列中存在兩項,,滿足,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格,從地移動到地,每次只移動一個單位長度,則亮亮從移動到最近的走法共有____種.14.設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為____________.15.已知,則_____.16.不等式的解集為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉.若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸福”.(Ⅰ)求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸?!钡母怕?;(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?!钡娜藬?shù),求的分布列及.18.(12分)數(shù)列滿足,,其前n項和為,數(shù)列的前n項積為.(1)求和數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求的前n項和,并證明:對任意的正整數(shù)m、k,均有.19.(12分)新高考,取消文理科,實行“”,成績由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對新高考的了解情況,隨機(jī)調(diào)查50人(把年齡在稱為中青年,年齡在稱為中老年),并把調(diào)查結(jié)果制成下表:年齡(歲)頻數(shù)515101055了解4126521(1)分別估計中青年和中老年對新高考了解的概率;(2)請根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表,是否有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?了解新高考不了解新高考總計中青年中老年總計附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若從年齡在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查,記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為,求的分布列以及.20.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,四邊形為正方形,點為線段上的點,過三點的平面與交于點.將①,②,③中的兩個補充到已知條件中,解答下列問題:(1)求平面將四棱錐分成兩部分的體積比;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為,向量,,且.(1)求角的大小;(2)若,求的值22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,解關(guān)于x的不等式;(2)當(dāng)時,若對任意實數(shù),都成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
利用乘法運算化簡復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知,,所以,解得.故選:B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.2.A【解析】
設(shè),延長至,使得,連,可證,得到(或補角)為所求的角,分別求出,解即可.【詳解】設(shè),延長至,使得,連,在直三棱柱中,,,四邊形為平行四邊形,,(或補角)為直線與所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.
故選:A.【點睛】本題考查異面直線所成的角,要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可,屬于中檔題.3.B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.4.A【解析】
根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運算可得.故選:A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡單運算,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
畫出函數(shù),將方程看作交點個數(shù),運用圖象判斷根的個數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個,2個解,故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選:D【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用,分類思想的運用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.6.B【解析】
化簡得到,再計算模長得到答案.【詳解】,故.故選:.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算,復(fù)數(shù)的模,意在考查學(xué)生的計算能力.7.A【解析】
利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結(jié)果.【詳解】,.故選:A.【點睛】本題考查三角求值,涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】
由數(shù)量積的定義可得,為實數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷;再根據(jù)判斷,由等價法即可判斷兩命題的關(guān)系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以;若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.9.A【解析】
用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當(dāng)時,,,所以,故可排除B,C;當(dāng)時,,故可排除D.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎(chǔ)題.10.C【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知,雙曲線的漸近線方程是.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意雙曲線的簡單性質(zhì)的合理運用.11.D【解析】
由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關(guān)系,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項公式,求出關(guān)系,即可求解.【詳解】,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式,注意為正整數(shù),如用基本不等式要注意能否取到等號,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
分三步來考查,先從到,再從到,最后從到,分別計算出三個步驟中對應(yīng)的走法種數(shù),然后利用分步乘法計數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】分三步來考查:①從到,則亮亮要移動兩步,一步是向右移動一個單位,一步是向上移動一個單位,此時有種走法;②從到,則亮亮要移動六步,其中三步是向右移動一個單位,三步是向上移動一個單位,此時有種走法;③從到,由①可知有種走法.由分步乘法計數(shù)原理可知,共有種不同的走法.故答案為:.【點睛】本題考查格點問題的處理,考查分步乘法計數(shù)原理和組合計數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.14.【解析】
根據(jù)漸近線得到,,計算得到離心率.【詳解】,一條漸近線方程為:,故,,.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,意在考查學(xué)生的計算能力.15.【解析】
對原方程兩邊求導(dǎo),然后令求得表達(dá)式的值.【詳解】對等式兩邊求導(dǎo),得,令,則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式,考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件,考查賦值法,屬于中檔題.16.【解析】
通過平方,將無理不等式化為有理不等式求解即可?!驹斀狻坑傻?,解得,所以解集是。【點睛】本題主要考查無理不等式的解法。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人,可以先計算其逆事件,即人都認(rèn)為不很幸福的概率,再用減去人都認(rèn)為不很幸福的概率即可;(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機(jī)變量,列出分布列,根據(jù)公式求出期望即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸?!钡模瑒t表示人都認(rèn)為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機(jī)變量,的可能的取值為;;;所以隨機(jī)變量的分布列為:所以的期望【點睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列,數(shù)學(xué)期望的求解,概率分布中的二項分布問題,屬于常規(guī)題型.18.(1),;(2),證明見解析【解析】
(1)利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項公式.(2)利用裂項相消法求出數(shù)列的和,進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論.【詳解】(1),,得是公比為的等比數(shù)列,,,當(dāng)時,數(shù)列的前項積為,則,兩式相除得,得,又得,;(2),故.【點睛】本題考查的知識要點:數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項和的應(yīng)用,裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于中檔題.19.(1);(2)見解析,有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián);(3)分布列見解析,.【解析】
(1)分別求出中青年、中老年對高考了解的頻數(shù),即可求出概率;(2)根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表,求出的觀測值,對照表格,即可得出結(jié)論;(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,可能取值為0,1,2,分別求出概率,列出隨機(jī)變量分布列,根據(jù)期望公式即可求解.【詳解】(1)由題中數(shù)據(jù)可知,中青年對新高考了解的概率,中老年對新高考了解的概率.(2)列聯(lián)表如圖所示了解新高考不了解新高考總計中青年22830老年81220總計302050,所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián).(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)可能取值為0,1,2,則;;.所以的分布列為012.【點睛】本題考查概率、獨立性檢驗及隨機(jī)變量分布列和期望,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.20.(1);(2).【解析】
若補充②③根據(jù)已知可得平面,從而有,結(jié)合,可得平面,故有,而,得到,②③成立與①②相同,①③成立,可得,所以任意補充兩個條件,結(jié)果都一樣,以①②作為條件分析;(1)設(shè),可得,進(jìn)而求出梯形的面積,可求出,即可求出結(jié)論;(2),以為坐標(biāo)原點,建立空間坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),由(1)得為平面的法向量,根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【詳解】第一種情況:若將①,②作為已知條件,解答如下:(1)設(shè)平面為平面.∵,∴平面,而平面平面,∴,又為中點.設(shè),則.在三角形中,,由知平面,∴,∴梯形的面積,,,平面,,,∴,故,.(2)如圖,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,由(1)得為平面的一個法向量,因為,所以直線與平面所成角的正弦值為.第二種情況:若將①,③作為已知條件,則由知平面,,又,所以平面,,又,故為中點,即,解答如上不變.第三種情況:若將②,③作為已知條件,由及第二種情況知,又,易知,解答仍如上不變.【點睛】本題考查空間點、線、面位置關(guān)系,以及體積、直線與平面所成的角,考查計算求解能力,屬于中檔題.21.(1)(2)【解析】
利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的余弦公式得到關(guān)于的方程,解方程即可求解;由知,在中利用余弦定理得到關(guān)于的方程,與方程聯(lián)立求出,進(jìn)而求出,利用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意得,,由二倍角的余弦公式可得,,又因為,所以,解得或,∵,∴.在中,由余弦定理得,即①又因為,把代入①整理得,,解得,,所以為等邊三角形,,∴,即.【點睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和余弦定
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