題型突破：分式和分式方程（解析版）

分式和分式方程題型突破題型一分式的識(shí)別例題：（2023上·山東濰坊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在，，，，，中分式的個(gè)數(shù)有（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題主要考查分式的定義，判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】解：在，，，，，中，，，中分母是字母，屬于分式，共3個(gè)，故選：A．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列各式中，是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了分式，熟練掌握分母整式中含有字母是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得是分式，其余都不是，故B正確．故選：B．2．（2023上·重慶開州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在代數(shù)式中，屬于分式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題考查了分式的定義，根據(jù)分式的定義，可以判斷出題中六個(gè)代數(shù)式有個(gè)為分式，由此得出結(jié)論，解題的關(guān)鍵是正確理解分式的定義，形如：且為整式，中含有字母，這樣的代數(shù)式是分式．【詳解】根據(jù)分式的定義可知：為分式，共個(gè)，故選：．題型二分式有無意義的條件例題：（2023上·湖南永州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若分式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】D【分析】本題考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義的條件可得，求解即可得到答案，熟練掌握分式有意義的條件是分母不等于零是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，解得：，的取值范圍是，故選：D．鞏固訓(xùn)練1．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考二模）要使分式有意義，則的取值范圍為____．【答案】【分析】根據(jù)分式有意義，分母不等于0列不等式求解即可．【詳解】解：由題意得，，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．2．（2023秋·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）當(dāng)滿足條件___________時(shí)，分式?jīng)]有意義．【答案】【分析】根據(jù)分式無意義的條件可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由分式?jīng)]有意義，可得，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式無意義的條件，熟練掌握分式不成立的條件是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）要使分式無意義，則x的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據(jù)分式無意義的條件是分母為0進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵分式無意義，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式無意義的條件，熟知分式無意義的條件是分母不為0是解題的關(guān)鍵．題型三判斷分式變形是否正確例題：（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不為零的數(shù)，分式的值不變，逐個(gè)判斷即可解答．【詳解】解：，故A正確；與不一定相等，故B錯(cuò)誤；與不一定相等，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟知該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行約分判斷即可.【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)變形錯(cuò)誤；B、，故本選項(xiàng)變形正確；C、，故本選項(xiàng)變形錯(cuò)誤；D、，故本選項(xiàng)變形錯(cuò)誤；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的約分，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2．（2023春·安徽六安·七年級(jí)六安市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列變形中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：A.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；B.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型四利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化例題：（2023春·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如果把中x，y的值都擴(kuò)大2倍，那么這個(gè)分式的值（

）A．不變 B．縮小到原來的 C．?dāng)U大4倍 D．?dāng)U大2倍【答案】D【分析】先用代替分式中的x、y進(jìn)行計(jì)算，再比較大小即可．【詳解】解：用代替分式中的x、y得．那么這個(gè)分式的值擴(kuò)大2倍．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意分式的基本性質(zhì)的使用，以及整體代入．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定十三中校考階段練習(xí)）當(dāng)，時(shí)，若、都擴(kuò)大為原來的10倍，則分式的值（

）A．縮小到原來的 B．?dāng)U大到原來的10倍C．縮小到原來的 D．?dāng)U大到原來的100倍【答案】A【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)（無論是把分式的分子和分母擴(kuò)大還是縮小相同的倍數(shù)，分式的值不變）解答．【詳解】解：根據(jù)題意，得：，即分式的值縮小到原來的，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)，解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．2．（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若把分式中的和都擴(kuò)大2倍，那么分式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大2倍 C．縮小為原來值 D．縮小為原來值的【答案】A【分析】根據(jù)題意，分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，則，即可解答．【詳解】解：由題意，分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，∴，∴分式的值不變，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．題型五最簡(jiǎn)分式例題：（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)分式的概念：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式，逐一判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；B、，是最簡(jiǎn)分式，符合題意；C、，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；D、，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查最簡(jiǎn)分式的概念，理解最簡(jiǎn)分式的概念是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了最簡(jiǎn)分式，根據(jù)最簡(jiǎn)分式的定義“一個(gè)分式的分子與分母沒有非零次的公因式時(shí)(即分子與分母互素)叫最簡(jiǎn)分式”，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，故A不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；B、，故B不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；C、是最簡(jiǎn)分式，符合題意；D、，故D不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；故選：C．2．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）下列分式是最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)為(

)①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)分式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①是最簡(jiǎn)分式；②是最簡(jiǎn)分式；③，不是最簡(jiǎn)分式；④，不是最簡(jiǎn)分式；綜上分析可知，最簡(jiǎn)分式有2個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)分式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡(jiǎn)分式定義，分子、分母中沒有公因式的分式是最簡(jiǎn)分式．題型六最簡(jiǎn)公分母例題：（2023春·廣東佛山·八年級(jí)佛山市惠景中學(xué)?？计谥校┓质脚c的最簡(jiǎn)公分母是______．【答案】【分析】先將分式的分母進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的定義即可得出結(jié)論．【詳解】∵，∴分式與的最簡(jiǎn)公分母是．故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)公分母的定義，熟練掌握最簡(jiǎn)公分母的定義是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）分式，，的最簡(jiǎn)公分母是_______．【答案】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的定義即可解答．【詳解】解：分式、、的最簡(jiǎn)公分母是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)公分母，最簡(jiǎn)公分母的找法為：數(shù)字取最小公倍數(shù)，相同字母取最高次冪，只在一個(gè)分母中出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的一個(gè)因式．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)校考周測(cè)）的最簡(jiǎn)公分母是_________【答案】【分析】三個(gè)分式的分母均為多項(xiàng)式，故先將各個(gè)分母因式分解，然后再結(jié)合最簡(jiǎn)公分母的知識(shí)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：的最簡(jiǎn)公分母是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是最簡(jiǎn)公分母的概念，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母．題型七已知分式恒等式，確定分子或分母例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若，則_________，_________．【答案】21【分析】根據(jù)同分母分式的加減計(jì)算，再按對(duì)應(yīng)項(xiàng)相同可得答案．【詳解】解：∴A=2，B=1故答案為：2，1．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減，解題關(guān)鍵是掌握分式加法的運(yùn)算法則．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，則_________________．【答案】7【分析】根據(jù)題意可進(jìn)行通分，即，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，①+②得：；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加法，熟練掌握分式的加法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）若恒成立，則A-B=__________．【答案】2【分析】已知等式右邊通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再根據(jù)分式相等的條件即可求出所求．【詳解】解：等式整理得，∴∴A-B＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減，解題的關(guān)鍵是通分，對(duì)等式進(jìn)行整理，轉(zhuǎn)化為分母相同的形式，從而求解．題型八分式加減混合運(yùn)算例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)1；(2)【分析】（1）根據(jù)同分母分式的加法法則求出即可；（2）先把異分母的分式轉(zhuǎn)化成同分母的分式，再根據(jù)同分母分式的減法法則求出即可．【詳解】（1）解：，===1；（2）解：.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法則，能靈活運(yùn)用分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）分式的分母相同，直接相減進(jìn)行計(jì)算；（2）分式的公分母為，先通分，在進(jìn)行計(jì)算；（3）直接進(jìn)行通分，在進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減，找公分母，通分是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）互為相反數(shù)，第二項(xiàng)的分母提取負(fù)號(hào)，化為同分母，直接根據(jù)同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算：分母不變，分子相加減；（2）最簡(jiǎn)公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）把看成是一項(xiàng)，為，再通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（4）最簡(jiǎn)公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加減混合運(yùn)算，熟練掌握分式的加減混合運(yùn)算法則及因式分解是解題的關(guān)鍵．題型九分式乘除混合運(yùn)算例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)分式乘除法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查了分式乘除法運(yùn)算，熟練掌握分式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】2【分析】根據(jù)平方差公式和分式乘除法則求解即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算以及分式乘除混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等進(jìn)行分解因式，再計(jì)算；（2）根據(jù)平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等進(jìn)行分解因式，再計(jì)算．【詳解】（1）原式．（2）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算，正確分解因式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．題型十含乘方的分式乘除混合運(yùn)算例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】先計(jì)算乘方運(yùn)算，再把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，然后約分即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了含乘方的分式乘除法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握其運(yùn)算法則．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可得出答案；（2）先利用完全平方公式整理，將除法化為乘法，最后約分即可得出答案．【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）；（3）?÷；（4）．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）【分析】（1）先計(jì)算乘方，同時(shí)將除法化為乘法，再計(jì)算乘法；（2）先計(jì)算乘方，將除法化為乘法，再計(jì)算乘法；（3）先將除法化為乘法，將分子與分母分解因式，再計(jì)算乘法；（4）將分子與分母分解因式，除法化為乘法，計(jì)算乘法即可．【詳解】解：（1）原式=）=；（2）原式==1；（3）原式==；（4）原式==．【點(diǎn)睛】此題考查分式的計(jì)算，掌握分式的乘方計(jì)算法則，乘除法計(jì)算法則，因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．題型十一分式化簡(jiǎn)求值例題：（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．鞏固訓(xùn)練1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）先化簡(jiǎn)，再求值：其中滿足方程．【答案】，【分析】運(yùn)用乘法公式，分式的性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再變形得，，代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，掌握乘法公式與分式混合運(yùn)算的綜合，方程的變形，代入求值等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中：【答案】；【分析】運(yùn)用因式分解，約分等化簡(jiǎn)，后代入求值即可．【詳解】解：；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握因式分解，約分等化簡(jiǎn)技能是解題的關(guān)鍵．題型十二分式方程的定義例題：（2023上·河北衡水·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義對(duì)各小題進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】①的分母中含有未知數(shù)，是分式方程；②是整式方程；③是整式方程；④的分母中含有未知數(shù)，是分式方程．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的定義，熟知分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解答此題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了分式方程的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．直接利用分式方程的定義分析得出答案．【詳解】解：A、是一元一次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，是一元一次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是一元二次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，是分式方程，正確．故選：D．2．（2024上·山東聊城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解題的關(guān)鍵；根據(jù)分式方程的定義逐個(gè)分析判斷即可．【詳解】分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；關(guān)于x的方程分母b是常數(shù)，分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；關(guān)于x的方程分母a是常數(shù)，分母中不含有未知數(shù)，不是分式方程；分母中是常數(shù)，不含有未知數(shù)，故不是分式方程；綜上所述：是分式方程的有1個(gè)；故選：A．題型十三解分式方程例題：（2023上·廣西桂林·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．求出解后的檢驗(yàn)是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．（1）方程兩邊同時(shí)乘以，去掉分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最簡(jiǎn)公分母進(jìn)行檢驗(yàn)即可解答；（2）方程兩邊同時(shí)乘以，去掉分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最簡(jiǎn)公分母進(jìn)行檢驗(yàn)即可解答．【詳解】（1）解：方程兩邊同時(shí)乘以，得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，原方程的解為：；（2）解：方程兩邊同時(shí)乘以，得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，原方程的解為：．鞏固訓(xùn)練1．（2024下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．（1）按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1），，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是原方程的根；（2），，，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是原方程的增根，原方程無解．2．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)原方程無解(2)【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）方程兩邊同時(shí)乘，化為整式方程，求出方程的解后再檢驗(yàn)即可得出答案；（2）方程兩邊同時(shí)乘，化為整式方程，求出方程的解后再檢驗(yàn)即可得出答案．【詳解】（1）解：原方程去分母得：，整理得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，則是分式方程的增根，故原方程無解；（2）原方程去分母得：，整理得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，故原方程的解為．題型十四解分式方程錯(cuò)解復(fù)原問題例題：（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）下面是小云同學(xué)解分式方程的部分過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成以下各題：解分式方程：解：……第一步……第二步………第三步……(1)第二步的解題依據(jù)是______；A．分式的性質(zhì)

B．等式的性質(zhì)

C．單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則(2)以上解方程步驟中，第______步開始錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤原因是______；(3)請(qǐng)寫出該分式方程的正確解答過程．【答案】(1)B(2)三；去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是負(fù)號(hào)的，去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)沒有變號(hào)(3)見解析【分析】本題主要考查了解分式方程．解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的基本步驟，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)去分母的基本原理進(jìn)行解答即可；（2）查找方程出錯(cuò)的步驟，分析其原因即可；（3）按照正確的解法求出方程的解，寫出正確的結(jié)果即可．【詳解】（1）解：第二步的解題依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，故B正確；故選：B．（2）解：以上解方程步驟中，第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是：括號(hào)前面是負(fù)號(hào)的，去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)沒有變號(hào)．（3）解：，整理得：，去分母得：去括號(hào)得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，檢驗(yàn)：把代入得：，∴是原方程的解．鞏固訓(xùn)練1．（2024·寧夏銀川·二模）下面是某同學(xué)解分式方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：解：去分母，得

…………第一步去括號(hào)，得

…………第二步移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得

…………第三步解得，…………第四步則原分式方程的解為…………第五步(1)第一步的依據(jù)是________________________________；(2)上面的解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是__________．【答案】(1)等式的基本性質(zhì)(2)五，沒有對(duì)分式方程的根進(jìn)行檢驗(yàn)【分析】本題主要考查了解分式方程：（1）根據(jù)題意可知，第一步的依據(jù)是等式的性質(zhì)；（2）觀察可知，分式方程的解為原方程的增根，即在第五步錯(cuò)誤，沒有對(duì)分式方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)．【詳解】（1）解：觀察解題過程可知，第一步的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，故答案為：等式的基本性質(zhì)；（2）解：觀察可知，上面的解題過程從第五步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是沒有對(duì)分式方程的根進(jìn)行檢驗(yàn)，故答案為：五；沒有對(duì)分式方程的根進(jìn)行檢驗(yàn)．2．（23-24九年級(jí)下·江西宜春·期中）以下是小明同學(xué)解分式方程的過程：解：……第一步，……第二步，……第三步，，……第四步，經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的解．(1)以上解題過程中，第一步變形的依據(jù)是（

）A．不等式的基本性質(zhì)

B．等式的基本性質(zhì)

C．分式的基本性質(zhì)(2)從第＿＿＿＿步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是＿＿＿＿；(3)請(qǐng)求出該方程的正確解．【答案】(1)B(2)一；去分母時(shí)，第二項(xiàng)沒有乘以(3)【分析】（1）在等式兩邊同時(shí)乘以，等式不變，依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，（2）第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，去分母時(shí)，第二項(xiàng)沒有乘以，（3）根據(jù)解分式方程的方法，即可求解，本題考查了，解分式方程，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握解分式方程的方法．【詳解】（1）解：在等式兩邊同時(shí)乘以，等式不變，依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，故答案為：B，（2）解：第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，去分母時(shí)，第二項(xiàng)沒有乘以，故答案為：一；去分母時(shí)，第二項(xiàng)沒有乘以，（3）解：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，故答案為：．3．（2024·廣西南寧·三模）閱讀下面解方程的過程，完成后面的問題：解方程．解：……第一步……第二步……第三步……第四步……第五步檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，所以，是原方程的根．問題一：①以上解題過程中，第一步是依據(jù)進(jìn)行變形的；A．等式的基本性質(zhì)

B．不等式的基本性質(zhì)

C．分式的基本性質(zhì)②從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；問題二：該方程的正確解是；問題三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解分式方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．【答案】問題一：①A；②二，去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒有乘以2；問題二：該方程的正確解是；問題三：除糾正上述錯(cuò)誤外，根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，解分式方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)是分式方程注意要檢驗(yàn)【分析】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握解分式方程的方法．問題一：①在等式兩邊同時(shí)乘以，等式不變，依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；②第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒有乘以2；問題二：根據(jù)解分式方程的方法解方程即可；問題三：根據(jù)解分式方程時(shí)常見的錯(cuò)誤解答即可．【詳解】解：?jiǎn)栴}一：①在等式兩邊同時(shí)乘以，等式不變，依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，故答案為：A；②第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒有乘以2；故答案為：二；去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒有乘以2問題二：方程兩邊同乘，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得：；檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原分式方程的解．故答案為：?jiǎn)栴}三：除糾正上述錯(cuò)誤外，根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，解分式方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)是分式方程注意要檢驗(yàn)．題型十五列分式方程例題：（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考三模）已知甲廠燒100噸煤與乙廠燒120噸煤所用的天數(shù)相同，已知甲、乙兩廠每天一共燒煤33噸，求甲、乙兩廠每天分別燒煤多少噸？若設(shè)甲廠每天燒噸煤，則根據(jù)題意列方程為___________．【答案】【分析】設(shè)甲廠每天燒噸煤，則乙廠每天燒噸煤，根據(jù)甲廠燒100噸煤與乙廠燒120噸煤所用的天數(shù)相同列出方程即可．【詳解】解：設(shè)甲廠每天燒噸煤，則乙廠每天燒噸煤，根據(jù)題意得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列分式方程，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系式，并用未知數(shù)表示出等量關(guān)系式．鞏固訓(xùn)練1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）某地開展建設(shè)綠色家園活動(dòng)，活動(dòng)期間，計(jì)劃每天種植相同數(shù)量的樹木，該活動(dòng)開始后，實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹40棵，實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹320棵所需時(shí)間相同．設(shè)實(shí)際每天植樹x棵，則可列方程為______．【答案】【分析】設(shè)實(shí)際每天植樹棵，則原計(jì)劃每天植樹棵，根據(jù)“實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹320棵所需時(shí)間相同”列出分式方程即可．【詳解】解：設(shè)實(shí)際每天植樹棵，則原計(jì)劃每天植樹棵，根據(jù)題意，得．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問題列分式方程，關(guān)鍵在尋找相等關(guān)系，列出方程．2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢馬送，需要的時(shí)間比規(guī)定的時(shí)間多1天；如果用快馬送，需要的時(shí)間比規(guī)定的時(shí)間少3天．已知快馬的速度是慢馬速度的2倍，求規(guī)定的時(shí)間．設(shè)規(guī)定的時(shí)間為天，則可列方程為______．【答案】【分析】根據(jù)題意，先得到慢馬和快馬送的時(shí)間，再根據(jù)快馬的速度是慢馬速度的2倍列方程即可．【詳解】解：設(shè)規(guī)定的時(shí)間為天，則慢馬送的時(shí)間為天，快馬送的時(shí)間為天，根據(jù)題意，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查列分式方程，理解題意，找到等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．題型十六分式方程的實(shí)際應(yīng)用例題：（2023·吉林白山·校聯(lián)考三模）第5代移動(dòng)通信技術(shù)簡(jiǎn)稱5G，某地已開通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測(cè)試5G下載速度是4G下載速度的16倍，小明和小強(qiáng)分別用5G與4G下載一部960兆的公益片，小明比小強(qiáng)所用的時(shí)間快150秒，求該地4G與5G的下載速度分別是每秒多少兆？【答案】該地4G的下載速度是每秒6兆，則該地5G的下載速度是每秒96兆【分析】首先設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒兆，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：4G下載960兆所用時(shí)間-5G下載960兆所用時(shí)間