專題訓(xùn)練：尺規(guī)作圖三種?？碱}型（解析版）

尺規(guī)作圖?？碱}型題型01作角的平分線【典例分析】【例1-1】求證：全等三角形對(duì)應(yīng)角的角平分線相等．（要求在給出的兩個(gè)全等三角形中畫出一組對(duì)應(yīng)角的角平分線，并寫出已知、求證和證明過程）

【答案】見解析【分析】本題主要考查了學(xué)生對(duì)全等三角形的性質(zhì)及判定的理解及運(yùn)用能力，注意命題的證明的格式和步驟是正確解題的前提．作出圖形，結(jié)合圖形寫出已知、求證，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，得，，，由、分別是和的平分線，可得，根據(jù)角邊角可以判定，即可得出結(jié)論．【詳解】已知：如圖所示，，、分別是和的平分線．

求證：證明：∵，∴，，，∵、分別是和的平分線．，∴，在和中，∴()，∴【例1-2】．已知：如圖，是的角平分線．(1)在邊求作點(diǎn)E，使得（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，請(qǐng)畫出的平分線，點(diǎn)F在上，并證明：．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析，證明見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，平行線的尺規(guī)作圖：（1）根據(jù)平行線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）先根據(jù)題意作圖，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明，即可證明．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)E即為所求；（2）解：如圖所示，點(diǎn)F即為所求，∵，∴，∵是的角平分線，平分，∴，∴，∴．【例1-3】．如圖，已知點(diǎn)、、在一條直線上，．(1)利用直尺和圓規(guī)作的平分線；(2)如果，求的大?。敬鸢浮?1)見解析(2)【分析】本題考查尺規(guī)作角平分線、角平分線的定義、解一元一次方程，正確作出角平分線是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的作圖方法即可；（2）設(shè)，則，，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)已知條件結(jié)合角的運(yùn)算得到關(guān)于x的方程，然后求解x值即可．【詳解】（1）解：如圖，射線即為所求作；（2）解：∵，∴設(shè)，則，∴，∵射線是的平分線，∴，∵，∴，解得，即【變式演練】【變式1-1】如圖，已知三角形，，，在上求作一點(diǎn)D，使得．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】根據(jù)，，得到是等腰直角三角形，作的平分線，交于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可得，解得即可．本題考查了角的平分線的基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖，靈活應(yīng)用等腰三角形的三線合一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)，，得到是等腰直角三角形，故的平分線，交于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可得，作圖如下：則點(diǎn)D即為所求．【變式1-2】已知，請(qǐng)?jiān)谶吷洗_定一點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離相等．（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析【分析】題目主要考查角平分線的作法及性質(zhì)，根據(jù)題意點(diǎn)到的距離相等得出作角平分線，然后作圖即可，熟練掌握作圖方法是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)P即為所求．

【變式1-3】．如圖，中，，．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線；（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若，直接寫出的面積為：．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的作法即可完成作圖；（2）作于，由角平分線的性質(zhì)定理得出，再由三角形面積公式計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，角平分線即為所作，；（2）解：如圖，作于，，∵平分，，∴，∴題型02作線段的垂直平分線【典例分析】【例2-1】如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B以及直線l．(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線上求作一點(diǎn)，使．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）；(2)在（1）中所作的圖中，若，，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用線段垂直平分線的尺規(guī)作圖法，作出的垂直平分線得出即可；（2）利用全等三角形的判定方法以及利用其性質(zhì)得出即可．此題主要考查了基本作圖以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：在和中，【例2-2】（2023秋?桂林期末）綜合與實(shí)踐（1）【實(shí)踐操作】：已知：線段，如圖1，作圖：用尺規(guī)作圖，作線段的垂直平分線，與交于點(diǎn)．（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）發(fā)現(xiàn)：在直線上任取一點(diǎn)（點(diǎn)除外），連接、后發(fā)現(xiàn)是等腰三角形．（2）【類比探究】：已知：如圖2，在中，，作圖：在線段上求作點(diǎn)，連接，使得和都是等腰三角形．（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）（3）【推理證明】：在（2）所作的圖2中，求證：和都是等腰三角形．【分析】（1）利用基本作圖作的垂直平分線得到直線，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定方法進(jìn)行判斷；（2）作的垂直平分線得到點(diǎn)；（3）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得到，從而可判斷和都是等腰三角形．【解答】（1）解：如圖1，直線為所作，直線垂直平分，，為等腰三角形；故答案為：等腰；（2）解：如圖，點(diǎn)為所作；（3）證明：點(diǎn)為的垂直平分線與的交點(diǎn)，，，為斜邊邊的中線，，和都是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定．【例2-3】（2023秋?鎮(zhèn)平縣期末）如圖，已知點(diǎn)、以及直線，于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）在直線上求作一點(diǎn)，使（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母，保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）在所作的圖中，連接、，若，求證：．【分析】（1）作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求作；（2）首先推導(dǎo)出，，結(jié)合證得．【解答】（1）解：如圖所示：（2）證明：，，，，，，，，．在和，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式演練】【變式2-1】（2024春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)等于．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，則，進(jìn)而可得的周長(zhǎng)為，則點(diǎn)即為所求．【解答】解：如圖，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，則，的周長(zhǎng)為，則點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋?遂平縣期末）如圖，已知點(diǎn)、以及直線，，垂足為點(diǎn)．（1）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；（2）在直線上求作一點(diǎn)，使；（要求：第（1）、（2）小題用尺規(guī)作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母，保留作圖痕跡，不寫作法．（3）在所作的圖中，連接、，若，求證：．【分析】（1）利用過直線外一點(diǎn)作直線的垂線畫；（2）作的垂直平分線交于；（3）先利用同角的余角相等得到，然后根據(jù)“”判斷．【解答】（1）解：如圖2，直線就是要求作的垂線；（2）解：如圖2，點(diǎn)就是所要求作的點(diǎn)；（3）證明，，．，．，在和中．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形全等的判定．【變式2-3】（2022秋?洛江區(qū)期末）在下面的中，請(qǐng)你按要求用尺規(guī)作出下列圖形（保留作圖痕跡）并填空．（1）作出的平分線交邊于點(diǎn)；（2）作出邊上的垂直平分線交于點(diǎn)；（3）連接，若，，則的度數(shù)為．【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法作圖即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；（3）由三角形內(nèi)角和定理可結(jié)合角平分線的定義可得，進(jìn)而由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，最后再次由三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【解答】解：（1）的平分線如圖所示；（2）線段的垂直平分線如圖所示；（3），，．為的平分線，．直線為線段的垂直平分線，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—角平分線，作圖—線段垂直平分線，角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．題型03作一個(gè)角等于已知角【典例分析】【例3-1】（2023秋?西華縣月考）已知：．（1）求作：，使；（2）說明作一個(gè)角等于已知角的方法依據(jù)．【分析】（1）以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交、于點(diǎn)、，再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，與以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，過點(diǎn)、作射線，則即為所求；（2）根據(jù)證明△，得出即可．【解答】解：（1）如圖所示，即為所求；（2）由作圖可知，，，，△，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例3-2】（2022春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知與交于點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作即可．【解答】解：如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．【例3-3】如圖，已知，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)P，使．（保留作圖痕跡．不寫作法）(1)請(qǐng)按題中要求先作圖，并說出你的作圖依據(jù)是：___________．(2)請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：___________．【答案】(1)圖見詳解，(2)【分析】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及角的尺規(guī)作圖，熟練掌握畫一個(gè)角與已知角相等的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵；（1）以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于M、N，然后以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)E為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，最后問題可求解；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：所作圖形如圖所示：作圖依據(jù)為；故答案為；（2）解：由（1）可知：，∴；故答案為【變式演練】【變式3-1】（2022秋?房山區(qū)期末）下面是貝貝同學(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程．已知：．求作：一個(gè)角，使它等于．作法：如圖，①以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；②分別以點(diǎn)，為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；③連接，；所以就是所求作的角．根據(jù)貝貝設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面證明．證明：連接．在和中，，（填推理理由）．（填推理理由）．【分析】（1）根據(jù)作法完成作圖；（2）利用證明三角形全等．【解答】（1）解：如圖所示，（2）證明：連接．在和中，，．（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．故答案為：，，，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式3-2】（2024春?南山區(qū)期中）（1）利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的作法如下：①以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)、；②作射線，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；③以為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；④過點(diǎn)作射線，為所求．（2）為了維護(hù)海洋權(quán)益，新組建的國(guó)家海洋局加大了在南海的巡邏力度，一天，我國(guó)兩艘海監(jiān)船剛好在某島東西海岸線上的、兩處巡邏，同時(shí)發(fā)現(xiàn)一艘不明國(guó)籍的船只停在處海域，如圖，在處測(cè)得在東北方向上，在處測(cè)得在北偏西的方向上．①?gòu)奶幙?、兩處的視角度；②從處看、兩處的視角度．【分析】?）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的步驟解決問題即可；（2）根據(jù)方位角的定義以及三角形內(nèi)角和定理求解．【解答】解：（1）①以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)、；②作射線，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；③以為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；④過點(diǎn)作射線，為所求．故答案為：，，，；（2）①；②．故答案為：60，75．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．【變式3-3】（2023秋?秦安縣期末）如圖是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程：已知：．求作：一個(gè)角，使它等于．作法：如圖：①在的兩邊上分別任取一點(diǎn)、；②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫?。灰渣c(diǎn)為圓心，為半徑畫??；兩弧交于點(diǎn)；③連結(jié)、．所以即為所求作的角．請(qǐng)根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下列證明．證明：連結(jié)，，，，（填推理依據(jù)）．．【分析】（1）利用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)即可完成證明．【解答】解：（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形如圖所示：；（2）證明：連結(jié)，，，，．．故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．【變式3-4】（2022秋?豐臺(tái)區(qū)期末）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖的過程．已知：如圖1，．求作：，使，且點(diǎn)在射線上．作法：①如圖2，在射線上任取一點(diǎn)；②作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；③連接．則即為所求作的角．根據(jù)上述作圖過程，回答問題：（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：是線段的垂直平分線，（填推理的依據(jù)）．（填推理的依據(jù)