專題訓練：三角形全等的五種常見類型（原卷版）

三角形全等的常見類型題型01全等三角形在證明線段和角相等中的應用【典例分析】【例1】（23-24八年級上·河北廊坊·期中）在四邊形中，，，E為的中點，連接，，．

（1）；（填“”“”或“”）（2）．【例1-2】.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BC>AD，∠B=∠C．求證：∠A=∠D．【變式演練】【變式1-1】.如圖，在△ABC中，∠B=∠C，在邊BC上順次取點D，E，使BD=CE．作FD⊥BC，GE⊥BC，分別與CA，BA的延長線交于點F，G．求證：GB=FC．

【變式1-2】．（2023八年級·山東濟南·期中）如圖，在△ABF與△DCE中，點E，F(xiàn)在線段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求證：∠A=∠D．

【變式1-3】（23-24八年級上·廣東陽江·期末）如圖1，已知：，點A、B在的邊上，，點D為直線上一動點，連接，過點A作，且，作，垂足為F．(1)當點D在線段上時，證明：；(2)如圖2，當點D在線段延長線上時，（1）的結論是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，作點E關于直線的對稱點，連接、，與直線交于點H，求證：．題型02全等三角形在證明線段的和差關系中的應用【典例分析】【例2-1】（22-23八年級上·廣東潮州·階段練習）在中，，，直線經(jīng)過點，且于，于．(1)當直線繞點旋轉到圖的位置時，求證：①；②；(2)當直線繞點旋轉到圖的位置時，，，求線段的長．【例2-2】（23-24八年級上·河南信陽·階段練習）已知四邊形中，，點在邊上，連接，．(1)如圖1，若平分，求證：；(2)如圖2，若為中點，求證：平分．【變式演練】【變式2-1】已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側作，使，連接BD，CE．（1）如圖①，若，，，求證；（2）如圖②，若，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關系，并說明理由．【變式2-2】（2023秋?樂亭縣期中）已知，在中，，，，三點都在直線上，且，（1）如圖①，若，則與的數(shù)量關系為，與的數(shù)量關系為；（2）如圖②，判斷并說明線段，與的數(shù)量關系；（3）如圖③，若只保持，，點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上以的速度由點向點運動，它們運動的時間為．是否存在，使得與全等？若存在，求出相應的的值；若不存在，請說明理由．【變式2-3】（23-24八年級上·湖北武漢·期末）如圖，在等腰中，，，點為線段上一動點（不與點B重合），且．

(1)連接交于點，設．①當時，如圖1，則______．②當時，如圖2，若，求的長．(2)如圖3，作交的延長線于點，交于點，連接，求證：．題型03全等三角形在證明線段的倍分關系中的應用【典例分析】【例3】（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，，平分交于點，，交的延長線于點.求證：.

【變式演練】【變式3-1】如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于D，CE⊥BD的延長線于點E，求證：CE=【變式3-2】（23-24八年級上·重慶墊江·階段練習）如圖，是的角平分線，,，交其延長線于點，求證：【變式3-3】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，交x軸于點C．(1)求證：；(2)如圖2，，求證：；(3)如圖3，延長交y軸于點，點N為x軸上一點，，求的度數(shù)（用含的式子表示）．題型04全等三角形在證明線段位置關系中的應用【典例分析】【例4】（23-24八年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，，，，，圖中、有怎樣的數(shù)量與位置關系？并證明你的結論．【變式演練】【變式4-1】（23-24八年級上·遼寧大連·階段練習）如圖，，F(xiàn)是的中點，連接并延長交于點G．

(1)用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明；(2)寫出線段與的位置關系，并證明．【變式4-2】（22-23八年級下·江西景德鎮(zhèn)·期中）如圖在中，為銳角，點D在射線上，以為一邊在右側作正方形．

(1)如果，，①當點D在線段(不含端點)上時，如圖1，則線段與的位置關系是_____②當點D在線段的延長線上時，如圖2，①中的結論是否仍然成立?并說明理由．(2)如果，是銳角，點D在線段(不含端點)上，如圖3．當滿足什么條件時，？并說明理由．【變式4-3】（23-24八年級上·廣東惠州·期中）綜合探究：如圖1，是等腰三角形，，，過點B作于點C，在上截取，連接并延長交于點P；

(1)求證：；(2)求證：．(3)如圖2，將繞著點C旋轉一定的角度，是否還與全等？那么與的位置關系是否發(fā)生變化？說明理由．題型05全等三角形在求角的度數(shù)中的應用【典例分析】【例5-1】（22-23八年級上·安徽蚌埠·期末）如圖，在中，，和分別平分和，和相交于．（1）的度數(shù)為．（2）若，則線段的長為．

【例5-2】（23-24八年級上·安徽六安·階段練習）已知：如圖，，，．

(1)當，時，求的度數(shù)；(2)求證：．【變式演練】【變式5-1】（22-23八年級上·河北唐山·期中）如圖，已知：，，，，求的度數(shù)．

【變式5-2】（23-24八年級上·廣東廣州·期末）如圖，已知為的角平分線，延長到E，使得，連接，若，且．(1)求證：平分；(2)求的取值范圍