理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考幫試題第14章第2講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例（考題幫數(shù)學(xué)理）

第二講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例題組1回歸分析1.[2017山東,5,5分][理]為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生,根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回歸直線方程為y＾=b^x+a＾,已知∑i=110xi=225,∑i=110yi=1600,bA.160 B.163 C.166 D.1702.[2015湖北,4,5分]已知變量x和y滿足關(guān)系y=0.1x+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是()A.x與y正相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān)C.x與y負(fù)相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān),x與z正相關(guān)3.[2014重慶,3,5分][理]已知變量x與y正相關(guān),且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)x-=3,y-=3.5,則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是(A.y＾=0.4x+2.3 B.y＾=2x2.4C.y＾=2x+9.5 D.y＾=0.34.[2014湖北,4,5分][理]根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回歸方程為y＾=bx+a,則()A.a>0,b>0 B.a>0,b<0C.a<0,b>0 D.a<0,b<05.[2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,19,12分][理]某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到圖1421所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.圖1421xyw∑i=18(xix∑i=18(wiw∑i=18(xix)(yi∑i=18(wiw)(yi46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=xi,w=18∑(Ⅰ)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(Ⅲ)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2yx.根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果回答下列問(wèn)題:(i)年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?(ii)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為β^=∑i=1n(u題組2獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用6.[2014安徽,17,12分]某高校共有學(xué)生15000人,其中男生10500人,女生4500人.為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí)).(Ⅰ)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?(Ⅱ)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖1422所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率;圖1422(Ⅲ)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.附:K2=nP(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.8797.[2014遼寧,18,12分]某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:喜歡甜品不喜歡甜品合計(jì)南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計(jì)7030100(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問(wèn)是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”;(Ⅱ)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中2名喜歡甜品.現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.附:χ2=n(P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635A組基礎(chǔ)題1.[2018惠州市二調(diào),7]某商場(chǎng)為了了解毛衣的月銷(xiāo)售量y(單位:件)與月平均氣溫x(單位:℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷(xiāo)售量與當(dāng)月平均氣溫,其數(shù)據(jù)如下表:月平均氣溫x/℃171382月銷(xiāo)售量y/件24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程y＾=b^x+a＾中的b^=2,氣象部門(mén)預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫為6℃,據(jù)此估計(jì)該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣銷(xiāo)售量為A.46件 B.40件 C.38件 D.58件2.[2018湖南省五市十校聯(lián)考,3]下表提供了某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后,一種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位:噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位:噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):x/噸3456y/噸2.5t44.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求得y關(guān)于x的線性回歸方程為y＾=0.7x+0.35,那么表格中t的值為()A.3 B.3.15 C.3.25 D.3.53.[2018廣東省百校聯(lián)盟第二次聯(lián)考,3]下表是我國(guó)某城市在2017年1月份至10月份期間各月最低溫度與最高溫度(單位:℃)的數(shù)據(jù)一覽表.月份12345678910最高溫度/℃59911172427303121最低溫度/℃1231271719232510已知該城市的各月最低溫與最高溫具有相關(guān)關(guān)系,根據(jù)該一覽表,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.最低溫度與最高溫度為正相關(guān)B.每月最高溫度與最低溫度的平均值在前8個(gè)月逐月增加C.月溫差(最高溫度減最低溫度)的最大值出現(xiàn)在1月D.1月至4月的月溫差(最高溫度減最低溫度)相對(duì)于7月至10月,波動(dòng)性更大4.[2017長(zhǎng)沙市五月模擬,5]為了解某社區(qū)居民購(gòu)買(mǎi)水果和牛奶的年支出費(fèi)用與購(gòu)買(mǎi)食品的年支出費(fèi)用的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:購(gòu)買(mǎi)食品的年支出費(fèi)用x/萬(wàn)元2.092.152.502.842.92購(gòu)買(mǎi)水果和牛奶的年支出費(fèi)用y/萬(wàn)元1.251.301.501.701.75根據(jù)上表可得回歸直線方程y＾=b^x+a＾,其中b^=0.59,a＾=yb^xA.1.795萬(wàn)元 B.2.555萬(wàn)元 C.1.915萬(wàn)元 D.1.945萬(wàn)元5.[2018成都市高三摸底測(cè)試,18]某醫(yī)療科研項(xiàng)目組對(duì)5只實(shí)驗(yàn)小白鼠體內(nèi)的A,B兩項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和分析,得到的數(shù)據(jù)如下表:指標(biāo)1號(hào)小白鼠2號(hào)小白鼠3號(hào)小白鼠4號(hào)小白鼠5號(hào)小白鼠A57698B22344(1)若通過(guò)數(shù)據(jù)分析,得知A項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)與B項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系.試根據(jù)上表,求B項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)y關(guān)于A項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)x的線性回歸方程y＾=b^x+(2)現(xiàn)要從這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只,求其中至少有一只小白鼠的B項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)高于3的概率.參考公式:b^=∑i=1n(xi-B組提升題6.[2018惠州市一調(diào),19]近年來(lái),隨著我國(guó)在教育科研上的投入不斷加大,科學(xué)技術(shù)得到迅猛發(fā)展,國(guó)內(nèi)企業(yè)的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力得到大幅提升.伴隨著國(guó)內(nèi)市場(chǎng)增速放緩,國(guó)內(nèi)有實(shí)力的企業(yè)紛紛進(jìn)行海外布局,第二輪企業(yè)出海潮到來(lái).如在智能行業(yè),國(guó)產(chǎn)品牌已在趕超國(guó)外巨頭,某品牌公司一直默默拓展海外市場(chǎng),在海外共設(shè)30多個(gè)分支機(jī)構(gòu),需要國(guó)內(nèi)公司外派大量70后、80后中青年員工.該企業(yè)為了解這兩個(gè)年齡層員工是否愿意被外派工作的態(tài)度,按分層抽樣的方法從70后和80后的員工中隨機(jī)調(diào)查了100位,得到的數(shù)據(jù)如下表:愿意被外派不愿意被外派總計(jì)70后20204080后402060總計(jì)6040100(1)根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù),是否有90%以上的把握認(rèn)為“是否愿意被外派與年齡有關(guān)”,并說(shuō)明理由;(2)該公司欲舉行參觀駐海外分支機(jī)構(gòu)的交流體驗(yàn)活動(dòng),擬安排6名參與調(diào)查的70后、80后員工參加.70后員工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人報(bào)名參加,從中隨機(jī)選出3人,記選到愿意被外派的人數(shù)為x;80后員工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人報(bào)名參加,從中隨機(jī)選出3人,記選到愿意被外派的人數(shù)為y.求x<y的概率.參考數(shù)據(jù):P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式:K2=n(ad7.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市聯(lián)考,18]某公司為了準(zhǔn)確地把握市場(chǎng),做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃,對(duì)過(guò)去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第x年與年銷(xiāo)售量y(單位:萬(wàn)件)之間的關(guān)系如下表.x1234y12284256(1)在圖1423中畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;圖1423(2)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的回歸模型擬合y與x的關(guān)系(不必說(shuō)明理由);(3)建立y關(guān)于x的回歸方程,預(yù)測(cè)第5年的銷(xiāo)售量.參考公式:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為b^=∑i=1n(xi-x8.[2017四川省重點(diǎn)中學(xué)高三第二次學(xué)習(xí)情況評(píng)估,18]某課題組對(duì)全班45名同學(xué)的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查,并用如圖1424所示的莖葉圖表示45名同學(xué)的飲食指數(shù).說(shuō)明:飲食指數(shù)低于70的人被認(rèn)為喜食蔬菜,飲食指數(shù)不低于70的人被認(rèn)為喜食肉類(lèi).圖1424(1)根據(jù)莖葉圖,完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“喜食蔬菜還是喜食肉類(lèi)與性別有關(guān)”,說(shuō)明理由;喜食蔬菜喜食肉類(lèi)總計(jì)男同學(xué)女同學(xué)總計(jì)(2)用分層抽樣的方法按照喜食蔬菜、喜食肉類(lèi)從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取15名同學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查,記抽到的喜食肉類(lèi)的女同學(xué)的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).附:K2=nP(K2≥k0)0.100.050.01k02.7063.8416.635答案1.C由題意可知y＾=4x+a＾,又x=22.5,y=160,則160=22.5×4+a＾,解得a＾=70,所以y＾=4x+70.當(dāng)x=24時(shí),y＾=4×24+70=2.C因?yàn)閥=0.1x+1,x的系數(shù)為負(fù),所以x與y負(fù)相關(guān);而y與z正相關(guān),故x與z負(fù)相關(guān).故選C.3.A依題意知,相應(yīng)的回歸直線的斜率應(yīng)為正,排除選項(xiàng)C,D.且直線必過(guò)點(diǎn)(3,3.5),代入選項(xiàng)A,B中的方程可得A正確.選A.4.B根據(jù)題中表內(nèi)數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖(圖略),由散點(diǎn)圖可知b<0,a>0,故選B.5.(Ⅰ)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+dx適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型.(Ⅱ)令w=x,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于d^=∑i=18(c＾=yd^w=56368×6.8=所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y＾=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為y＾=100.6+68(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,當(dāng)x=49時(shí),年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值y＾=100.6+68×49=576.年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)＾=576.6×0.249=66.32(ii)根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果知,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)＾=0.2×(100.6+68x)x=x+13.6x+20.12所以當(dāng)x=13.62=6.8,即x=46.24時(shí),故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.6.(Ⅰ)300×450015(Ⅱ)由頻率分布直方圖得12×(0.100+0.025)=0.75,所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,300位學(xué)生中有300×0.75=225人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí),75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí).又樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的,90份是關(guān)于女生的.所以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下:男生女生總計(jì)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)453075每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)16560225總計(jì)21090300結(jié)合列聯(lián)表可算得K2的觀測(cè)值k=300×(-2250)275×225×210×90=10021所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.7.(Ⅰ)將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得χ2=n(n11n22-n12由于4.762>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”.(Ⅱ)從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)},其中ai表示喜歡甜品的學(xué)生,i=1,2.bj表示不喜歡甜品的學(xué)生,j=1,2,3.Ω由10個(gè)基本事件組成,且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件,則A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.事件A由7個(gè)基本事件組成,因而P(A)=710A組基礎(chǔ)題1.A由題中數(shù)據(jù),得x=10,y=38,回歸直線y＾=b^x+a＾過(guò)點(diǎn)(x,y),且b^=2,所以a＾=58,則回歸方程為y＾=2x+58,所以當(dāng)2.Ax=3+4+5+64=4.5,y=2.5+t+4+4.54=11+t4,線性回歸方程過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x,y),所以11+t4=0.3.B將最高溫度、最低溫度、溫差列表如下,月份12345678910最高溫度/℃59911172427303121最低溫度/℃1231271719232510溫差度/℃171281310787611由表格可知,最低溫度大致隨最高溫度的增大而增大,A正確;每月最高溫度與最低溫度的平均值在前8個(gè)月不是逐月增加,B錯(cuò);月溫差的最大值出現(xiàn)在1月,C正確;1月至4月的月溫差相對(duì)于7月至10月,波動(dòng)性更大,D正確.故選B.4.Ax=2.09+2.15+2.50+2.84+2.925=2.50(萬(wàn)元),y=1.25+1.30+1.50+1.70+1.755=1.50(萬(wàn)元),又b^=0.59,所以a＾=yb^x=0.025,y＾=5.(1)由題意,可得x=7,y=3,∑i=15xiyi=110,∑i=15xi2∵a＾=yb^x,∴a∴所求線性回歸方程為y＾=12x(2)設(shè)1號(hào)至5號(hào)小白鼠依次為a1,a2,a3,a4,a5,則在這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只的抽取情況有a1a2a3,a1a2a4,a1a2a5,a1a3a4,a1a3a5,a1a4a5,a2a3a4,a2a3a5,a2a4a5,a3a4a5,共10種.隨機(jī)抽取的3只小白鼠中至少有一只的B項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)高于3的情況有a1a2a4,a1a2a5,a1a3a4,a1a3a5,a1a4a5,a2a3a4,a2a3a5,a2a4a5,a3a4a5,共9種.∴從這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只,其中至少有一只小白鼠的B項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)高于3的概率為910B組提升題6.(1)有90%以上的把握認(rèn)為“是否愿意被外派與年齡有關(guān)”,理由如下:由題意可知,K2的觀測(cè)值k=n(ad-bc)2(a+所以有90%以上的把握認(rèn)為“是否愿意被外派與年齡有關(guān)”.(2)“x<y”包含“x=0,y=1”