寒假作業(yè)12探究與表達(dá)規(guī)律（原卷版）

限時(shí)練習(xí)：30min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)12探究與表達(dá)規(guī)律一、圖形規(guī)律探究的一般步驟：1.寫序號(hào):記每組圖形的序數(shù)為“1，2,3，...，n"(如題圖中的圖分別標(biāo)為圖①，圖②，圖③，...；2.數(shù)圖形個(gè)數(shù):在圖形數(shù)量變化時(shí)，要記錄每組圖形個(gè)數(shù)(圖①，圖②,圖③，...分別是由幾個(gè)圖形組成)；3.尋找圖形數(shù)量與序數(shù)n的關(guān)系：①觀察所給圖形和上一個(gè)圖(基礎(chǔ)圖)，找出增加的部分；②將增加的圖形個(gè)數(shù)用含序數(shù)的式子表示出來；③歸納出含有序數(shù)n的關(guān)系式．二、數(shù)字規(guī)律探究的一般步驟：1.當(dāng)所給的組數(shù)是整數(shù)時(shí)，先觀察這組數(shù)字是自然數(shù)列、正數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列還是正整數(shù)列經(jīng)過平方、平方加1或減1等運(yùn)算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù)字的符號(hào)，判斷數(shù)字符號(hào)的正負(fù)是交替出現(xiàn)還是只出現(xiàn)一種符號(hào)，最后把數(shù)字規(guī)律和符號(hào)規(guī)律結(jié)合起來從而得到結(jié)果；2.當(dāng)數(shù)字是分?jǐn)?shù)和整數(shù)結(jié)合時(shí)，先把這組數(shù)據(jù)的所有整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分別推斷出分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第n項(xiàng)的規(guī)律；3.當(dāng)所給的代數(shù)式含有系數(shù)時(shí)，先觀察其每一項(xiàng)的系數(shù)之間是否有自然數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列或交替存在一定的對(duì)稱性，然后觀察其指數(shù)是否存在相似的規(guī)律，最后將系數(shù)和指數(shù)的規(guī)律結(jié)合起來求得結(jié)果．三、等式規(guī)律探究的一般步驟1.標(biāo)序數(shù)；2.對(duì)比式子與序號(hào)，即分別比較等式中各部分與序數(shù)(1，2,3,4，...，n)之間的關(guān)系，把其隱含的規(guī)律用含序數(shù)的式子表示出來，通常方法是將式子進(jìn)行拆分，觀察式子中數(shù)字與序號(hào)是否存在倍數(shù)或者次方的關(guān)系；3.根據(jù)找出的規(guī)律得出第n個(gè)等式，并進(jìn)行檢驗(yàn)．1．用火柴棍搭建如圖所示的小魚圖形，搭建第6個(gè)小魚圖形需要用到的火柴棍根數(shù)是（

）

A．36 B．38 C．40 D．482．工人師傅要把一根質(zhì)地均勻的圓柱形木料鋸成若干段，按如圖的方式鋸開，每鋸斷一次所用的時(shí)間相同．若鋸成6段需要10分鐘，則鋸成（，且為整數(shù)）段所需的時(shí)間為（

）

A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘3．一個(gè)紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍(lán)紫的順序重復(fù)排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個(gè)數(shù)可能是（

）A． B． C． D．4．已知整數(shù)，，，，滿足下列條件：，，，，依此類推，則的值為（

）A． B． C． D．5．一組按規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，…，其中第10個(gè)式子是（）A． B． C． D．6．如圖，是按照一定規(guī)律畫出的“樹形圖”，經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖①中有1個(gè)“樹枝”，圖②中有3個(gè)“樹枝”，圖③中有7個(gè)“樹枝”……照此規(guī)律，圖⑦中有（

）個(gè)“樹枝”．

A．63個(gè) B．87個(gè) C．91個(gè) D．127個(gè)7．將一張長(zhǎng)方形的紙按如圖對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，第一次對(duì)折后可得到1條折痕（圖中虛線），第二次對(duì)折后可得到3條折痕，第三次對(duì)折后得到7條折痕，那么第7次對(duì)折后得到的折痕比第5次對(duì)折后得到的折痕多條．

8．觀察下列圖形：根據(jù)圖形的變化規(guī)律，第個(gè)圖形共有個(gè)點(diǎn)．

9．你玩過“數(shù)字黑洞”的游戲嗎？下面我們就來玩一種數(shù)字游戲，它可以產(chǎn)生“黑洞數(shù)”，操作步驟如下：第一步，任意寫出一個(gè)自然數(shù)(以下稱為原數(shù))；第二步，再寫出一個(gè)新的三位數(shù)，它的百位數(shù)字是原數(shù)中偶數(shù)數(shù)字的個(gè)數(shù)，十位數(shù)字是原數(shù)中奇數(shù)數(shù)字的個(gè)數(shù)，個(gè)位數(shù)字是原數(shù)的位數(shù)；以下每一步，都對(duì)上一步得到的數(shù)按照第二步的規(guī)則繼續(xù)操作，直至這個(gè)數(shù)不再變化為止．不管你開始寫的是一個(gè)什么數(shù)，幾步之后變成的自然數(shù)總是相同的，最后這個(gè)總相同的數(shù)就稱為“黑洞數(shù)”．請(qǐng)你以20221019為例進(jìn)行嘗試：這個(gè)數(shù)字游戲的“黑洞數(shù)”是．(零作為偶數(shù))10．如圖是某月的月歷．

(1)十字框中的五個(gè)數(shù)的和與中間數(shù)有什么關(guān)系？(2)若將十字框上、下、左、右平移，可框住另外五個(gè)數(shù)，設(shè)中間數(shù)為a，這五個(gè)數(shù)還有這種規(guī)律嗎？若有請(qǐng)證明，若沒有請(qǐng)說明理由．11．等邊在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A、C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為0和﹣1，若△ABC繞著頂點(diǎn)順時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1；則翻轉(zhuǎn)100次后，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是（

）A．99 B．100 C．101 D．10312．觀察圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù)2022應(yīng)標(biāo)在（

）

A．第506個(gè)正方形的左下角 B．第506個(gè)正方形的右上角C．第505個(gè)正方形的右上角 D．第505個(gè)正方形的左下角13．察圖中每一個(gè)圓中各點(diǎn)處所標(biāo)數(shù)字的規(guī)律，2021應(yīng)標(biāo)在（

）A．第505個(gè)圓的“A”點(diǎn)處 B．第506個(gè)圓的“B”點(diǎn)處C．第506個(gè)圓的“A”點(diǎn)處 D．第505個(gè)圓的“D”點(diǎn)處14．如圖是一組有規(guī)律的圖案，第①個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第②個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，……，設(shè)第n（n是正整數(shù)）個(gè)圖案是由y個(gè)基礎(chǔ)圖形組成的，則y與n之間的關(guān)系式是．

15．下面每個(gè)表格中的四個(gè)數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的：

根據(jù)此規(guī)律確定的值為，的值為，的值為．16．如圖，將一串有理數(shù)按一定規(guī)律排列，探索下列問題：

(1)在A處的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？(2)負(fù)數(shù)排在A，B，C，D中的什么位置？(3)第2021個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？排在對(duì)應(yīng)于A，B，C，D中的什么位置？17．如圖，從左向右依次擺放序號(hào)分別為1，2，3，……，n的小桶，其中任意相鄰的四個(gè)小桶所放置的小球數(shù)之和相等．

(1)______．(2)若，則這些小桶內(nèi)所放置的小球數(shù)之和是多少？(3)用含k（k為正整數(shù)）的代數(shù)式表示裝有“2個(gè)球”的小桶序號(hào)為______．18．如圖，每個(gè)小正方形的面積均為1．將左圖中黑色的小正方形移動(dòng)，得到右邊拼成的長(zhǎng)方形，根據(jù)兩種圖形方法計(jì)算小正方形的個(gè)數(shù)；如圖得出以下等式：(1)請(qǐng)寫出第3個(gè)等式：__________；(2)猜想第n個(gè)等式為：__________（用含n的等式表示）；(3)當(dāng)n為多少時(shí)，左圖中的最底端有2024個(gè)小正方形？此時(shí)左圖中共有多少個(gè)小正方形？19．如下表，從左邊第1個(gè)格子開始依次在每個(gè)格子中填入一個(gè)正整數(shù)，第1個(gè)格子填入，第2個(gè)格子填入，第3個(gè)格子填入，…，第個(gè)格子填入，以此類推，表中任意4個(gè)相鄰格子中所填正整數(shù)之和都相等，其中．……(1)若，則____________；____________；(2)若，求表中前100個(gè)數(shù)的和；(3)將表中前2022個(gè)數(shù)的和記為S，若，求S的值．20．已知，，且m，n均為正整數(shù)，如果將進(jìn)行如圖所示的“分解”，那么下列四個(gè)敘述中：①在的“分解”中最大的數(shù)是11；②在的“分解”中最小的數(shù)是13；③若的“分解”中最大的數(shù)是29，則；④若的“分解”中最小的數(shù)是79，則；正確的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)21．將邊長(zhǎng)為1的正方形紙片按如圖1所示的方法進(jìn)行對(duì)折，記第一次對(duì)折后得到的圖形面積為S1，第2次對(duì)折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對(duì)折后得到的圖形面積為Sn，請(qǐng)根據(jù)圖2化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．22．英語字母表中的字母排列順序是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，若尾字母的后面又接上首字母，則可將個(gè)字母排成一個(gè)循環(huán)圓圈，現(xiàn)給定一個(gè)破譯密碼“”（其中代表字母表中的任意一個(gè)字母，表示將該字母換成向后移動(dòng)位所得到的字母），就可以將“暗語”破譯成“明語”，如“暗語”可通過破譯密碼“”破譯成“明語”，則利用該破譯密碼對(duì)“暗語”破譯正確的“明語”是（

）A． B． C． D．23．一只小球落在數(shù)軸上的某點(diǎn)，第一次從向左跳1個(gè)單位到，第二次從向右跳2個(gè)單位到，第三次從向左跳3個(gè)單位到，第四次從向右跳4個(gè)單位到若按以上規(guī)律跳了100次時(shí)，它落在數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)恰好是2021，則這只小球的初始位置點(diǎn)所表示的數(shù)是（

）A．1971 B．1970 C． D．24．定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運(yùn)算：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；（2）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是（其中k是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取，第一次經(jīng)F運(yùn)算是29，第二次經(jīng)F運(yùn)算是92，第三次經(jīng)F運(yùn)算是23，第四次經(jīng)F運(yùn)算是74，……；若，則第2020次運(yùn)算結(jié)果是（

）A．1 B．2 C．7 D．825．（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空：

①

②

③

④

⑤（________）（2）歸納上述圖形變化規(guī)律：[________]=________；（3）根據(jù)上述結(jié)論計(jì)算=________26．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”，數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用極為廣泛．觀察下列按照一定規(guī)律堆砌的鋼管的橫截面圖：用含n的式子表示第n個(gè)圖的鋼管總數(shù)．【分析思路】圖形規(guī)律中暗含數(shù)字規(guī)律，我們可以采用分步的方法，從圖形排列中找規(guī)律；把圖形看成幾個(gè)部分的組合，找到每一部分對(duì)應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，進(jìn)而找到整個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的數(shù)字規(guī)律．如：要解決上面問題，我們不妨先從特例入手（統(tǒng)一用表示第n個(gè)圖形鋼管總數(shù)）．【解決問題】(1)如圖，如果把每個(gè)圖形按照它的行來分割觀察，你發(fā)現(xiàn)了這些鋼管的堆砌規(guī)律了嗎？像的情形那樣，在所給橫線上，請(qǐng)用數(shù)學(xué)算式表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．，___________．(2)其實(shí)，對(duì)同一個(gè)圖形，我們的分析眼光可以是不同的．請(qǐng)你像（1）那樣對(duì)每一個(gè)所給圖形添加分割線，提供與（1）不同的分割方式；并在所給橫線上，請(qǐng)用數(shù)學(xué)算式表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：___________，___________，___________，___________．(3)用含n的式子列式，并計(jì)算第n個(gè)圖的鋼管總數(shù)為___________．27．如圖所示，是由若干棱長(zhǎng)相同的小正方體疊成的幾何體．第1個(gè)幾何體由1個(gè)小正方體疊成，第2個(gè)幾何體由4個(gè)小正方體疊成，第3個(gè)幾何體由10個(gè)小正方體疊成，……請(qǐng)你解決以下問題：(1)按此規(guī)律，第4個(gè)幾何體由________個(gè)正方體疊成；(2)為了方便表述，我們記第個(gè)幾何體由個(gè)小正方體疊成（其中），則________；________；________；(3)求值：.28．提出問題：有12個(gè)相同的長(zhǎng)方體紙盒，它們的長(zhǎng)、寬、高分別是4、3、5，現(xiàn)要用這12個(gè)紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體，怎樣搭可使長(zhǎng)方體的表面積最小？分析問題：對(duì)于這種問題，我們一般采用復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的策略，進(jìn)行由特殊到一般的探究．探究一：我們以兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是4、3、5的長(zhǎng)方體為例進(jìn)行分析．我們發(fā)現(xiàn)，無論怎樣放置這兩個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，搭成的大長(zhǎng)方體體積都不變，但是由于擺放位置的不同，它們的表面積會(huì)發(fā)生變化，經(jīng)過操作，發(fā)現(xiàn)共有3種不同的擺放方式，如圖所示．

(1)請(qǐng)計(jì)算圖1、圖2、圖3中的拼成的新的大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高及其表面積，并填充下表：長(zhǎng)（cm）寬（cm）高（cm）表面積（cm2）圖1546148圖21043164圖3583____________根據(jù)上表可知，表面積最小的是____________所示的長(zhǎng)方體．（填“圖1”、“圖2”、“圖3”）(2)探究二：有4個(gè)相同的長(zhǎng)方體紙盒，它們的長(zhǎng)、寬、高分別是5、4、3，現(xiàn)要用這4個(gè)紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體，怎樣搭可使長(zhǎng)方體的表面積最小？先畫出各種擺法的示意圖，再根據(jù)各自的表面積得到最小擺法，是一種常規(guī)的方法，但比較耗時(shí)，也不方便，可以按照下列思路考慮：在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)擺，要使表面積小，就要重疊大面，得到的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為____________；在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)擺，要使表面積小，就要重疊大面，得到的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為____________；在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)擺，要使表面積小，就要重疊大面，得到的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為____________；綜上所述，有4個(gè)相同的長(zhǎng)方體紙盒，它們的長(zhǎng)、寬、高分別是5、4、3，要用這4個(gè)紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最小為____________．(3)探究三：我們知道，在體積相同的前提下，正方體的表面積最小，所以我們可以盡可能地使所搭成的幾何體為正方體或接近正方體，我們還可以這樣思考：將4分解質(zhì)因數(shù)，得到，或兩種情況，通過與小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高進(jìn)行組合：在時(shí)，搭成的L×K×H的大長(zhǎng)方體最接近正方體，此時(shí)表面積最小，表面積為____________（直接寫出結(jié)果）．類比應(yīng)用：請(qǐng)你仿照探究三的解題思路，解答開始提出的問題：有12個(gè)相同的長(zhǎng)方體紙盒，它們的長(zhǎng)、寬、高分別是4、3、5，現(xiàn)要用這12個(gè)紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體，怎樣搭可使長(zhǎng)方體的表面積最??？拓展延伸：將168個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體，拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，使得長(zhǎng)方體的表面積達(dá)到最小，這個(gè)表面積是____________．29．問題探究：如圖1，2個(gè)角的各邊相交，第2個(gè)角的每條邊最多會(huì)與第1個(gè)角的2條邊新產(chǎn)生2個(gè)交點(diǎn)，所以共有個(gè)交點(diǎn)；如圖2，3個(gè)角的各邊相交，第3個(gè)角的每條邊最多會(huì)與前面2個(gè)角的4條邊新產(chǎn)生4個(gè)交點(diǎn)，所以共有個(gè)交點(diǎn)；若4個(gè)角的各邊相交，第4個(gè)角的每條邊最多會(huì)與前面3個(gè)角的6條邊新產(chǎn)生6個(gè)交點(diǎn)，所以共有個(gè)交點(diǎn)；……(1)若5個(gè)角的各邊相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？（仿照上面的“問題探究”中的方法，寫出必要的探究過程）(2)直接寫出10個(gè)角的各邊相交，最多共有________個(gè)交點(diǎn)；(3)直接寫出n個(gè)角的各邊相交，最多共有________個(gè)交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）．30．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）觀察下面兩行數(shù)：取每行數(shù)的第7個(gè)數(shù)，計(jì)算這兩個(gè)數(shù)的和是（

）A．92 B．87 C．83 D．7831．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（）

A． B． C． D．3