第05講多邊形的內(nèi)角和與外角和（原卷版）

第05講多邊形的內(nèi)角和與外角和1.多邊形的內(nèi)角和：邊形的內(nèi)角和為．注：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于.2.多邊形的外角和：任意多邊形的外角和都為.注：多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).考點剖析（多邊形內(nèi)角和）例1：若一個邊形的內(nèi)角和為，則的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7變式11：已知一個多邊形的內(nèi)角和是，則這個多邊形有條邊．變式12：如圖，六邊形的每個內(nèi)角都相等，連接．(1)求六邊形每個內(nèi)角的度數(shù)；(2)求證：．（正多邊形內(nèi)角）例2：正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)不可能是（

）A． B． C． D．變式21：如圖所示，是工人師傅用邊長均為a的一塊正六邊形和一塊正方形地磚繞著點B進(jìn)行的鋪設(shè)，若將一塊邊長為a的正多邊形地磚恰好能無空隙、不重疊地拼在處，則這塊正多邊形地磚的邊數(shù)是．變式22：已知一個正多邊形的邊數(shù)為．(1)若這個正多邊形的一個內(nèi)角為，求的值．(2)若這個多邊形的內(nèi)角和為其外角和的4倍，求的值．（多邊形截角后的內(nèi)角和）例3：一個多邊形截去一個角后，形成一個七邊形，那么原多邊形邊數(shù)為（

）．A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8變式31：一個多邊形少加一個內(nèi)角后，其他所有內(nèi)角的度數(shù)和為，則這個內(nèi)角的度數(shù)為°．變式32：（1）如圖1，這是一個五角星，則15．（2）如圖2，將五角星截去一個角后多出一個角，求的度數(shù)．（3）如圖3，將五角星的每個角都截去，求的度數(shù)．

（正多邊形的外角）例4：如圖所示，小華從O點出發(fā)，沿直線前進(jìn)15米后左轉(zhuǎn)，再沿直線前進(jìn)15米后又向左轉(zhuǎn)，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地O點時，一共走的路程是（

）A．120米 B．150米 C．180米 D．240米變式41：《紅樓夢》是我國四大名著之一，文學(xué)社團(tuán)的同學(xué)在搜集相關(guān)資料時發(fā)現(xiàn)一張如圖所示的《紅樓夢》紀(jì)念幣圖案（將紀(jì)念幣的正面圖案和背面圖案拼到一起），這個圖案可以抽象成有公共邊的兩個正八邊形，如圖，則的度數(shù)是．變式42：如圖，小明從點O出發(fā)，前進(jìn)3米后到達(dá)點A（米），向右轉(zhuǎn)，再前進(jìn)3米后到達(dá)點B（米），又向右轉(zhuǎn)，……這樣小明一直右轉(zhuǎn)了n次剛好回到出發(fā)點O處．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)n的值為____________．(2)小明走出的這n邊形的周長為____________米．(3)若一個正m邊形的內(nèi)角和比外角和多，求這個正m邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)．（多邊形外角和）例5：一個多邊形的每個外角都等于，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．12變式51：如果一個多邊形的每一個外角都等于，那么這個多邊形是邊形．變式52：如圖1，小紅沿一個五邊形廣場周圍的小路，按逆時針方向跑步，小紅每從一條小路轉(zhuǎn)到下一條小路時，跑步的方向改變一定的角度．

(1)該五邊形廣場的內(nèi)角和是度；(2)她跑完一圈，跑步方向改變的角度的和是度；(3)如圖2，小紅參加“全民健身，共筑健康中國”活動，從點A起跑，繞湖周圍的小路跑至終點E，若，且，求行程中小紅身體轉(zhuǎn)過的角度的和（圖的值）．（多邊形內(nèi)角和與外角和結(jié)合）例6：一個多邊形的每一個內(nèi)角都相等，且每個內(nèi)角與相鄰?fù)饨嵌葦?shù)比均為，則這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8變式61：一個多邊形的每一個內(nèi)角都比外角多60°，那么這個多邊形的邊數(shù)是．變式62：和分別是兩個多邊形，閱讀和的對話，完成下列各小題．(1)嘉嘉說：“因為的邊數(shù)比多，所以的外角和比的大，”判斷嘉嘉的說法是否正確？并說明理由；(2)設(shè)的邊數(shù)為①若，求的值；②淇淇說：“無論取何值，的值始終不變．”請用列方程的方法說明理由．過關(guān)檢測選擇題（共6題，每題4分）1．已知正多邊形的一個外角等于，那么這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．92．如圖，將一個三角形剪去一個的內(nèi)角，剩下圖形的內(nèi)角和是（

）A． B． C． D．3．如果一個多邊形從一個頂點出發(fā)最多能畫6條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．104．如圖，足球的表面是由12塊正五邊形的黑皮和20塊正六邊形的白皮拼接而成，那么一塊正五邊形黑皮的內(nèi)角和是（

）A． B． C． D．5．如圖，小明從O點出發(fā)，前進(jìn)40米后向右轉(zhuǎn)，再前進(jìn)40米后又向右轉(zhuǎn)，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點O時一共走（

）A．360米 B．480米 C．540米 D．600米6．如圖，直線AB∥CD，點F在直線AB上，點N在直線CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，則∠GHM＝（）A．45° B．50° C．55° D．60°填空題（共8題，每題4分）7．正方形的內(nèi)角和是．8．已知一個多邊形的內(nèi)角和等于，則這個多邊形是邊形.9．一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的倍，這個多邊形是邊形．10．如圖所示，分別在三角形、四邊形、五邊形的廣場各角修建半徑為的扇形草坪（圖中陰影部分），圖中草坪的面積為．11．在四邊形中，，且與互補，則．12．如圖，將等腰三角形剪去頂角后，得到一個四邊形，若，則．

13．如圖，點M是兩個內(nèi)角平分線的交點，點N是兩外角平分線的交點，如果，那么度．14．（1）如圖1所示，；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為，則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為．解答題（共5題，前三題每題8分，后兩題每題10分）15．一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的4倍少，求：這個多邊形是幾邊形？這個多邊形共有多少條對角線？16．如圖，在四邊形中，，．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)．(2)的平分線交于點E，當(dāng)時，求的度數(shù)．17．如圖，在四邊形中，平分，平分．(1)若，，求、、的度數(shù)．(2)若，則______，______；若，則______，______．(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，請猜想與之間的關(guān)系，并說明理由．18．閱讀材料：我們知道：探索多邊形內(nèi)角和的方法是將其轉(zhuǎn)化為三角形，利用三角形內(nèi)角和獲得結(jié)論，這一方法也可以用來解決其它求角度的問題，如圖，四邊形是凸四邊形，探索其內(nèi)角和的方法是：連接對角線，則四邊形的內(nèi)角和就轉(zhuǎn)化為和的內(nèi)角和為．解決問題：（1）如圖①，四邊形是凹四邊形，請?zhí)骄颗c，，三個角之間的數(shù)量．小明得出的結(jié)論是．他的證明如下．請你將小明的證明過程補充完整．證明：連接并延長到點．聯(lián)系拓廣：（2）下面圖②的五角星和圖③的六角星都是一筆畫成的，即從圖形的某一頂點出發(fā)，找出一條路線，用筆不離開紙，連續(xù)不斷又不重復(fù)經(jīng)過圖形上所有部分化成的．請你根據(jù)上述解決問題的思路，解答下列問題：①圖②中，的度數(shù)為__________；②圖③中，的度數(shù)為______