2025屆新疆昌吉州第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2025屆新疆昌吉州第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（）A.1 B.C. D.22．“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，為平面上點(diǎn)，則的最小值為A.3 B.2C.4 D.4．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則（）A. B.C. D.5．已知曲線與直線總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上兩點(diǎn)，若，若AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，則AF的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.47．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有，若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.8．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.9．已知直線l：過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，Q為線段PF的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，則時(shí)A. B.C. D.11．等比數(shù)列的公比為，則“”是“對(duì)于任意正整數(shù)n，都有”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件12．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓錐的母線長(zhǎng)為cm，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為_(kāi)___cm.14．函數(shù)滿足，且，則的最小值為_(kāi)__________.15．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)部分以為軸進(jìn)行翻折，翻折到，使二面角的平面角為直二面角，則___________.16．若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y＝kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”，已知函數(shù)f（x）＝x2（x∈R），g（x）（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命題：①F（x）＝f（x）﹣g（x）內(nèi)單調(diào)遞增；②f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且b的最小值為﹣4；③f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之間存在唯一的“隔離直線”y＝2x﹣e其中真命題為_(kāi)____（請(qǐng)?zhí)钏姓_命題的序號(hào)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，是與的等差中項(xiàng)，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)的和18．（12分）在等比數(shù)列{}中，（1），，求；（2），，求的值.19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值.20．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號(hào)”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機(jī)構(gòu)將關(guān)注這件事的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱為“天文愛(ài)好者”，否則稱為“非天文愛(ài)好者”，該機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）：天文愛(ài)好者非天文愛(ài)好者合計(jì)女203050男351550合計(jì)5545100（1）能否有99%的把握認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛(ài)好者”和“非天文愛(ài)好者”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．（12分）已知點(diǎn)是橢圓E：一點(diǎn)，且橢圓的離心率為.（1）求此橢圓E方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A向上作一射線交橢圓E于點(diǎn)B，以AB為邊作矩形ABCD，使得對(duì)邊CD經(jīng)過(guò)橢圓中心O.（i）求矩形ABCD面積的最大值；（ii）問(wèn)：矩形ABCD能否為正方形？若能，求出直線AB的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）已知數(shù)列滿足，，，.從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填在橫線上，并完成下面問(wèn)題.（1）寫出、，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】運(yùn)用向量的線性運(yùn)用表示向量，對(duì)照系數(shù)，求得，代入可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，解得，所以，故選：B.2、B【解析】根據(jù)方程表示橢圓，且2，再判斷必要不充分條件即可.【詳解】解：方程表示橢圓滿足，解得，且2所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B3、A【解析】作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，由題意可得，顯然，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最??；因?yàn)?，，?zhǔn)線，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的和的最值問(wèn)題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.4、B【解析】直接利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所?故選：B5、D【解析】對(duì)曲線化簡(jiǎn)可知曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對(duì)直線方程化簡(jiǎn)可得直線過(guò)定點(diǎn)，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因?yàn)?，所以曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，如圖所示設(shè)曲線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，直線過(guò)定點(diǎn)，為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖可知，若曲線與直線總有公共點(diǎn)，則，得，設(shè)直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D6、C【解析】結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離【詳解】拋物線方程為，則，由于中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，結(jié)合拋物線的定義可知，即，所以線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：C7、C【解析】設(shè)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，又，，，即可得出答案【詳解】解：設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，，因?yàn)?，所以，所?故選：C8、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.9、D【解析】由直線的傾斜角為，可得，結(jié)合，可推得是等邊三角形，可得，計(jì)算可得離心率【詳解】直線：過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，所以，又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又在橢圓上，所以，所以，所以離心率為，故選：10、B【解析】，所以是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，時(shí)則都是增函數(shù)，由對(duì)稱性可知時(shí)遞增，遞減，所以考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性單調(diào)性11、D【解析】結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】若，，則，，充分性不成立；反過(guò)來(lái)，若，，則時(shí)，必要性不成立；因此“”是“對(duì)于任意正整數(shù)n，都有”的既不充分也不必要條件.故選：D12、C【解析】，，若，則，項(xiàng)，符合條件，故選二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意可知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的半圓的半徑為cm，再根據(jù)底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面的弧長(zhǎng)，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，由于側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，又圓錐的母線長(zhǎng)為cm，所以該半圓的半徑為cm，所以，所以（cm）.故答案為：.14、6【解析】化簡(jiǎn)得出，由化簡(jiǎn)后根據(jù)均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.【詳解】，由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為6.故答案為：615、-2【解析】根據(jù)，則，根據(jù)條件求得向量夾角即可求得結(jié)果.【詳解】由題知，，取的中點(diǎn)O，連接，如圖所示，則，又二面角的平面角為直二面角，則，又，則，為等邊三角形，從而，則，故答案為：-216、①②④【解析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)，檢驗(yàn)在x∈（，0）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，即可判斷；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，x2≥kx+b對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，即有△1≤0，又kx+b對(duì)一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出k，b的范圍，即可判斷②③；④存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2，∴x∈（，0），F(xiàn)′（x）＝2x0，∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（，0）內(nèi)單調(diào)遞增，故①對(duì)；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，則x2≥kx+b對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又kx+b對(duì)一切x＜0成立，則kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k?﹣4≤k≤0，同理?﹣4≤b≤0，故②對(duì)，③錯(cuò)；④函數(shù)f（x）和h（x）的圖象在x處有公共點(diǎn)，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，由f（x）≥kx﹣ke（x∈R），可得x2﹣kx+ke≥0當(dāng)x∈R恒成立，則△≤0，只有k＝2，此時(shí)直線方程為：y＝2x﹣e，下面證明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，G′（x），當(dāng)x時(shí)，G′（x）＝0，當(dāng)0＜x時(shí)，G′（x）＜0，當(dāng)x時(shí)，G′（x）＞0，則當(dāng)x時(shí)，G（x）取到極小值，極小值是0，也是最小值所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，則g（x）≤2x﹣e，當(dāng)x＞0時(shí)恒成立∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y＝2x﹣e，故④正確故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查新定義，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，考查函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）求得，利用等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出，可計(jì)算得出，利用并項(xiàng)求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)的和.小問(wèn)1詳解】解：由題意知是與的等差中項(xiàng)，可得，可得，則，可得，所以，，又由，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得：，，對(duì)任意的，，因此，.18、（1）（2）【解析】（1）直接利用等比數(shù)列的求和公式求解即可，（2）由已知條件結(jié)合等比數(shù)的性質(zhì)可得，從而可求得答案，或直接利用等比數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)求解【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】方法1：.∴.方法2：，整理得：又19、（1）（2）極小值為，無(wú)極大值【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：，則，，即切線的斜率為0，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處曲線的切線方程為；小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.20、（1）有（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計(jì)算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛(ài)好者”，有3人為“非天文愛(ài)好者”，記“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望；【小問(wèn)1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛(ài)好者”有20人，“非天文愛(ài)好者”有30人，所以按分層抽樣在50個(gè)女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛(ài)好者”，有3人為“非天文愛(ài)好者”再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P21、（1）；（2）(i)；(ii).【解析】(1)根據(jù)給定條件列出關(guān)于a，b的方程組，解方程組代入得解.(2)(i)設(shè)直線AB方程，與橢圓方程聯(lián)立求出線段AB長(zhǎng)，再求出原點(diǎn)O到直線AB距離列出矩形面積求解即可；(ii)由