突破06函數(shù)與幾何圖形動(dòng)態(tài)探究題（教師版）

重難點(diǎn)突破突破06函數(shù)與幾何圖形動(dòng)態(tài)探究題目錄一覽中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一線段周長(zhǎng)問(wèn)題?考向二面積問(wèn)題?考向三特殊三角形問(wèn)題?考向四特殊四邊形問(wèn)題?考向五相似三角形問(wèn)題函數(shù)與幾何圖形動(dòng)態(tài)探究題是山西中考的必考題，這類(lèi)題型屬于開(kāi)放探究題，考查學(xué)生綜合探究、幾何直觀和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，在綜合探究過(guò)程中，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和分類(lèi)討論的思想，逐步體會(huì)分類(lèi)的方法和原因，逐步提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題以及分析和解決問(wèn)題的能力.?考向一線段周長(zhǎng)問(wèn)題1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)D作直線軸，垂足為點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或【思路點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)，代入解析式即可求解；（2）可求直線的解析式為，可得，，，①當(dāng)時(shí)，可求，，即可求解；②當(dāng)時(shí)，，，即可求解；（3）①當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，得到是矩形，鄰邊之比為，即，即可求解；②當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，同理可求．【規(guī)范解答】（1）解：由題意得解得，故拋物線的表達(dá)式；（2）解：當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)D作直線軸，，，，①如圖，當(dāng)時(shí)，

，，，整理得：，解得：，，，不合題意，舍去，，；②如圖，當(dāng)時(shí)，

，，，整理得：，解得：，（舍去），；綜上所述：線段的長(zhǎng)為或．（3）解：設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，則為直角，①當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)作軸交軸于，交過(guò)作軸的平行線于，

，∵為直角，則，∵，∴，∴，∵是矩形鄰邊之比為，即或，即和的相似比為或，即，由題意得：，，∴，則，即，解得：，（不符合題意，舍去）；②當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，

同理可得：，解得：，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合體，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，分類(lèi)求解是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且對(duì)稱(chēng)軸是直線．

(1)求直線l的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為C，交直線l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為M．求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)的最大值是，此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）由題意易證為等腰直角三角形，即得出．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，從而可求出．再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，有最大值是，此時(shí)最大，進(jìn)而即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)直線l的解析式為，把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得，解得：，∴直線l的解析式為；（2）解：設(shè)拋物線的解析式為，∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴．把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得，解得：，∴拋物線的解析式為；（3）解：∵

，

∴．∵在中，∴．∵軸，，∴．在中，，，∴，∴．在中，，，∴，∴．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∴．∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值是，此時(shí)最大，∴，當(dāng)時(shí)，，

∴，∴的最大值是，此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)．掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．3．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象的頂點(diǎn)為M．矩形的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

(1)求c的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，(2)如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個(gè)單位得到對(duì)應(yīng)的矩形．已知邊，分別與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，Q，連接，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)Q不重合時(shí)，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2)①1；②存在，或【思路點(diǎn)撥】（1）把代入拋物線的解析式即可求出c，把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①先判斷當(dāng)時(shí)，，的坐標(biāo)分別是，，再求出，時(shí)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求解；②先求出，易得P，Q的坐標(biāo)分別是，，然后分點(diǎn)G在點(diǎn)Q的上方與點(diǎn)G在點(diǎn)Q的下方兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．【規(guī)范解答】（1）∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，

∴，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是．（2）①∵A在x軸上，B的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是．當(dāng)時(shí)，，的坐標(biāo)分別是，．當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是2，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1．∵，∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是1，

∴．

②存在．理由如下：∵的面積為1，，∴．根據(jù)題意，得P，Q的坐標(biāo)分別是，．如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的上方時(shí)，，此時(shí)（在的范圍內(nèi)），

如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的下方時(shí)，，此時(shí)（在的范圍內(nèi)）．

∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點(diǎn)，其中，若，求的值；(3)若點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)．【思路點(diǎn)撥】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）在中，，則，得到直線的表達(dá)式為：，進(jìn)而求解；（3）作，證明且相似比為，故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，進(jìn)而求解．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，即，則，故拋物線的表達(dá)式為：①；（2）解：在中，，，則，故設(shè)直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：（不合題意的值已舍去）；（3）解：作，

設(shè)，，且相似比為，則，故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，在中，設(shè)邊上的高為，則，即，解得：，則，則，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，同理可得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，即點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，，即的最小值為．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．5．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸平行線交軸于點(diǎn)，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：或【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線的解析式，設(shè)，則，，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）先求得拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為，分當(dāng)點(diǎn)在軸上和點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，證明，求得，再證明，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在拋物線上，列式計(jì)算求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)解得拋物線的解析式為：；（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得，，∴，設(shè)直線的解析式為：，把，代入得：，解得∴直線的解析式為，設(shè)，∵軸，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又∵點(diǎn)在直線上，∴，，∴，∴，∵軸，∴，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；答：的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：，則拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為，情況一：當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，為拋物線的頂點(diǎn)，∵四邊形為矩形，∴與縱坐標(biāo)相同，∴；情況二：當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，四邊形為矩形，過(guò)作軸的垂線，垂足為，過(guò)作軸的垂線，垂足為，設(shè)，則，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為，點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，解得，（舍去），∴，綜上所述：符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．6．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)，使的值最小．求點(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)，的最小值為(3)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，求出直線的解析式，解析式與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式求出的長(zhǎng)，即為的最小值；（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，設(shè)，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．【規(guī)范解答】（1）解：∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴點(diǎn)為；（2）當(dāng)時(shí)，，∴，連接，

∵，∴，∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，∵點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，∴；∴點(diǎn)，的最小值為；（3）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，設(shè)拋物線的解析式為：，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則：，由（2）知：直線：，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性以及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．?考向二面積問(wèn)題1．（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線交x軸于A，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系是否存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線軸，交x軸于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，作直線，分別與直線交于點(diǎn)G和點(diǎn)I，求證：點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)．【答案】(1)(2)9(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或(4)證明過(guò)程見(jiàn)解析【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段、、、、的長(zhǎng)度，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）當(dāng)為矩形的邊時(shí)，畫(huà)出符合題意的矩形，交y軸于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，連接，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)N，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)得到，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，則，進(jìn)而得到、的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)果；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，求出結(jié)果即可；（4）利用配方法求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸，再利用待定系數(shù)法求得直線、的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)I、G的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段、的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）解：由題意可得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：連接，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，如圖，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，，令，則，解得或，∴，∴，∵，，∴，，∴，；（3）解：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，理由如下：如圖，當(dāng)為邊時(shí)，四邊形為符合條件的矩形，交y軸于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，連接，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)N，∵，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴和為等腰直角三角形，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴和為全等的等腰直角三角形，∴，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組得，解得或，∴，∴，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，四邊形為矩形，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，則，，∵，∴，∴，∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，，∵，，∴，，∴，∴，，，，∴，整理得：，分解因式得：，解得：（舍去），（舍去），，∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：．綜上所述，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；（4）證明：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，設(shè)，直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，求t的值；(2)連接．設(shè)的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；(3)是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)B在的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)；的最大值為(3)【思路點(diǎn)撥】（1）證明，則，即可求解；（2）由即可求解；（3）當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí)，則，在中，，即可求解．【規(guī)范解答】（1）∵平行四邊形，∴，，，由題意得∶，，如下圖，點(diǎn)在上時(shí)，

∵，，，∴，∴，則即解得：（2）如上圖，∵，∴，∵四邊形是菱形，則，∴，∴為等腰三角形，則過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則即解得∶，則，設(shè)中邊上的高為，則即：，故有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為；（3）存在，理由∶如下圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí)，則，在中，，解得：【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題，涉及到特殊四邊形性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形、函數(shù)的表達(dá)式確定等，綜合性強(qiáng)，難度適中．3．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，對(duì)稱(chēng)軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)為線段的中點(diǎn)，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸為直線，將點(diǎn)代入，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，繼而表示出的面積，根據(jù)的面積為，解方程，即可求解．（3）先得出直線的解析式為，設(shè)，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，可得，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，進(jìn)而建立方程，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：∵對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴①，將點(diǎn)代入得，∴②，聯(lián)立①②得，，∴解析式為；（2）設(shè)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∴，，則，∴解得：或（舍去），（3）存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，如圖所示，當(dāng)BP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，

，∵，∴，由對(duì)稱(chēng)性可知，，∴，∴解得：∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或如圖3，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，，

由對(duì)稱(chēng)性可知，，∴，∴，解得：或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；(3)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（請(qǐng)?jiān)趫D中探索）．【答案】(1)；(2)；(3)，【思路點(diǎn)撥】（1）將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，進(jìn)一步求解得出結(jié)果；（2）連接，將二次函數(shù)的解析式配方求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，鄰求得的坐標(biāo)，從而求得，，的長(zhǎng)，再根據(jù)求得結(jié)果；（3）設(shè)，，表示出和，根據(jù)列出方程求得的值，進(jìn)而求得結(jié)果．【規(guī)范解答】（1）解：由題意得，，∴，∴；（2）解：如圖，連接，

∵，∴，∴，，由得，，∴，∴；（3）解：設(shè)，，∵，∴，由得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．5．（2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，射線軸于點(diǎn)，若，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，連接，若，求面積．【答案】(1)(2)(3)【思路點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)，代入拋物線得到，解方程組即可得到答案；（2）設(shè)，，則，則，，從而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線解析式，求出的值即可得到答案；（3）求出直線的表達(dá)式，利用，得到，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【規(guī)范解答】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)，，，解得：，拋物線的解析式為：；（2）解：，設(shè)，，，，，點(diǎn)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，，解得：（舍去）或，；（3）解：設(shè)點(diǎn)，直線的解析式為，，，解得：，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，，，在拋物線中，當(dāng)時(shí)，，，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合，主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、三角形面積的計(jì)算，確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．6．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與直線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．(3)如圖2，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與平行，則在直線上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)或．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)拋物線的交點(diǎn)式直接得出結(jié)果；（2）作于，作于，交于，先求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而求得，坐標(biāo)及的長(zhǎng)，從而得出過(guò)的直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，根據(jù)的△求得的值，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得上的高的值，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，交于，設(shè)，根據(jù)求得的值，可推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣方法得出結(jié)果．【規(guī)范解答】（1）解：由題意得，；（2）解：如圖1，作于，作于，交于，，，，，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線：，，，，，故只需的邊上的高最大時(shí)，的面積最大，設(shè)過(guò)點(diǎn)與平行的直線的解析式為：，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，由得，，由△得，得，，，，，，，，；（3）解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，交于，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，設(shè)，由得，，，（舍去），，∵，，，四邊形是平行四邊形，，，∴；如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由上可知：，同理可得：，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論．?考向三特殊三角形問(wèn)題1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)E在直線上，若，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是．

【答案】和【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，先求出點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí):是△DCE的外角，，而，所以此時(shí)，有，可求出所在直線的解析式，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，，得到關(guān)于的方程，求解的值，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)題中條件，可以證明，得到為直角三角形，延長(zhǎng)至，取，此時(shí)，，從而證明是要找的點(diǎn)，應(yīng)為，為等腰直角三角形，點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可以根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)坐標(biāo)．【規(guī)范解答】解：在中，當(dāng)時(shí)，，則有，令，則有，解得：，∴，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，有所以點(diǎn)坐標(biāo)

設(shè)所在直線解析式為，其過(guò)點(diǎn)、有，解得∴所在直線的解析式為：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)而∴∴因?yàn)椋海?，有解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為:當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，在中，，,∴∴如圖延長(zhǎng)至，取，

則有為等腰三角形，，∴又∵∴則為符合題意的點(diǎn)，∵∴的橫坐標(biāo)：，縱坐標(biāo)為；綜上E點(diǎn)的坐標(biāo)為：或，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)根二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分情況找到點(diǎn)的位置，是求解此題的關(guān)鍵．2．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)或或或；(3)存在，，或，或，或或【思路點(diǎn)撥】（1）將，代入，求出,即可得出答案；（2）分別以點(diǎn)為頂點(diǎn)、以點(diǎn)為頂點(diǎn)、當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)，計(jì)算即可；（3）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，設(shè)，，求出，，，分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線．【規(guī)范解答】（1）解：（1）∵，兩點(diǎn)在拋物線上，∴解得，，∴拋物線的解析式為：；（2）令，∴，由為等腰三角形，如圖甲，

當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，∴；當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，是等腰中線，∴，∴；當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為或，∴綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或．（3）存在，理由如下：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：直線，設(shè)，，∵，則，，，∵以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線，當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖1，

∴，解得：，∴或∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖2，

∴，解得：，∴，∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與中點(diǎn)重合，∴，解得：，∴；當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖3，

∴，解得：，∴，∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，∴，解得：∴，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為：，或，或，或或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、分類(lèi)討論等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)是C．

(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)或．【思路點(diǎn)撥】（1）把代入即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)，由，解得，進(jìn)而求得平移后得拋物線，平移后得拋物線為，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解；（3）先設(shè)出平移后頂點(diǎn)為，根據(jù)原拋物線，求得原拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，進(jìn)而得，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解．【規(guī)范解答】（1）解：把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，

∵，∴二次函數(shù)的解析式為設(shè)，∵D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），當(dāng)m=時(shí)，，∴，∵，∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線為∵過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，在的對(duì)稱(chēng)軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時(shí)原拋物線也是y隨x的增大而減小，∴；（3）解：由，設(shè)平移后的拋物線為，則頂點(diǎn)為，∵頂點(diǎn)為在上，∴，∴平移后的拋物線為，頂點(diǎn)為，∵原拋物線，∴原拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，∵平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)Q，∴，∵點(diǎn)Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點(diǎn)P在原拋物線頂點(diǎn)C的上方，兩拋物線的交點(diǎn)Q在頂點(diǎn)P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化簡(jiǎn)得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，當(dāng)p=3時(shí)，，當(dāng)p=時(shí)，，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)①當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；②過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)①當(dāng)時(shí)，的面積由最大值，最大值為；②當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形【思路點(diǎn)撥】（1）將將、代入拋物線即可求解；（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，易得，根據(jù)的面積，可得的面積，即可求解；②由題意可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，則，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：將、代入拋物線中，可得：，解得：，即：，；（2）①由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)的解析式為：，將，代入中，可得，解得：，∴的解析式為：，過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，

∵，則，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為，則縱坐標(biāo)為，∴，的面積，∵，∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為；②存在，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．理由如下：由①可知，由題意可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∵軸，∴，，則，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時(shí)，即點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時(shí)：，即點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行分類(lèi)討論．5．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)B在拋物線上，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C、當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求出此三角形的邊長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在點(diǎn)F，當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和過(guò)點(diǎn)列二元一次方程組求解即可；（2）如圖：過(guò)點(diǎn)M作交于D，設(shè)點(diǎn)，則；然后表示出，再根據(jù)是等邊三角形可得,，根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形可得，進(jìn)而求得即可解答；（3）如圖可知：線段為菱形的邊和對(duì)角線，然后通過(guò)作圖、結(jié)合菱形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解答．【規(guī)范解答】（1）解：由題意可得：，解得：，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；當(dāng)時(shí)，，則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（2）解：如圖：過(guò)點(diǎn)M作交于D設(shè)點(diǎn)，則,∴，∵是等邊三角形,∴,∴,即，解得：或（舍去）∴，，∴該三角形的邊長(zhǎng)．（3）解：存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形①如圖：線段作為菱形的邊，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，作關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)線段交于E，連接,作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，即為菱形，由對(duì)稱(chēng)性可得F的坐標(biāo)為，故存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，此時(shí)．當(dāng)為菱形對(duì)角線時(shí)，，設(shè)，，則，解得：或，∴或②線段作為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖：設(shè)∵菱形,∴,的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴，解得，∴，設(shè)，則有：，解得：，∴．

綜上，當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或或(3)或．【思路點(diǎn)撥】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)，可得到的距離等于到的距離，進(jìn)而作出兩條的平行線，求得解析式，聯(lián)立拋物線即可求解；（3）根據(jù)題意，求得當(dāng)是直角三角形時(shí)的的值，進(jìn)而觀察圖象，即可求解，分和兩種情況討論，分別計(jì)算即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：將點(diǎn)，代入，得解得：∴拋物線解析式為；（2）∵，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，解得：∴，則∵，則∴是等腰直角三角形，∵∴到的距離等于到的距離，∵，，設(shè)直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交拋物線于點(diǎn)，

設(shè)的解析式為，將點(diǎn)代入得，解得：∴直線的解析式為，解得：或∴，∵∴∴是等腰直角三角形，且，如圖所示，延長(zhǎng)至，使得，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交軸于點(diǎn)，則，則符合題意的點(diǎn)在直線上，∵是等腰直角三角形，∴∴是等腰直角三角形，∴∴設(shè)直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：或∴或綜上所述，或或；（3）①當(dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，是直角三角形，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，

設(shè)交于點(diǎn)，∵直線的解析式為，則，∴,∵，∴是等腰直角三角形，∴∴，設(shè)，則∵∴解得：（舍去）或∴∵是銳角三角形∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示，同理可得即∴解得：或（舍去）由（2）可得時(shí)，

∴綜上所述，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，面積問(wèn)題，角度問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或或或(3)，理由見(jiàn)解析【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，設(shè)與交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，設(shè)，則，，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得的值即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方，且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；同理可求得當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求得另一個(gè)解，進(jìn)而即可求解；（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：將點(diǎn)，，代入中得，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：∵點(diǎn)，，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線：，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵點(diǎn)在拋物線上∴解得：（舍去）或,∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)直線l與x軸交于G，∵是等腰直角三角形，且，∴，∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵點(diǎn)在拋物線上∴解得：（舍去）或，∴，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，

∵，是等腰直角三角形，且，∴∴，綜上所述，或或或；（3）解：設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，∵點(diǎn)，，，∴，解得：，∴直線的解析式為，的解析式為，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，∵在拋物線上，則∴∴為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并利用分類(lèi)討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．8．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，的最大值為，(3)或【思路點(diǎn)撥】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；（3）過(guò)作交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于，連接，設(shè)，可求，，由，可求，進(jìn)而求出直線的解析式，即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為；設(shè)（），，解得：，，，，，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為，，．故的最大值為，．（3）解：存在，如圖，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于，連接，∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，設(shè)，，，，，，解得：，；設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線解析式為，，且經(jīng)過(guò)，直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，

；綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．9．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫(xiě)出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線：；直線：(2)或或(3)，或，或，【思路點(diǎn)撥】（1）由題得拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入求，進(jìn)而得拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入求，，進(jìn)而得直線的解析式．（2）由題得，分別求出，，，對(duì)等腰中相等的邊進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而列方程求解；（3）對(duì)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)進(jìn)行分類(lèi)討論，設(shè)法表示出各線段的長(zhǎng)度，利用相似三角形的相似比求解，進(jìn)而可得，的坐標(biāo)．【規(guī)范解答】（1）解：拋物線過(guò)點(diǎn)，，拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入上式，得，．拋物線的表達(dá)式為，即．設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入上式，得，解得．直線的表達(dá)式為．（2）解：點(diǎn)在直線上，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，①若，則，即，解得．②若，則，即，解得或（舍去）．③若，則，即，解得（舍去）或．綜上，或或．（3）解：點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，或．①若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，則，，．當(dāng)，即時(shí)，直線的表達(dá)式為，，解得或（舍去）．，即．，即，解得．，．當(dāng)，即時(shí)，，，，即，解得（舍去）或（舍去）．②若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，則，．當(dāng)，即時(shí)，直線的表達(dá)式為，，解得或（舍去），，，即，解得．，．當(dāng)，即時(shí)，，．，即，解得或（舍去）．，．綜上，，或，或，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．?考向四特殊四邊形問(wèn)題1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)D作直線軸，垂足為點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或【思路點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)，代入解析式即可求解；（2）可求直線的解析式為，可得，，，①當(dāng)時(shí)，可求，，即可求解；②當(dāng)時(shí)，，，即可求解；（3）①當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，得到是矩形，鄰邊之比為，即，即可求解；②當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，同理可求．【規(guī)范解答】（1）解：由題意得解得，故拋物線的表達(dá)式；（2）解：當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)D作直線軸，，，，①如圖，當(dāng)時(shí)，

，，，整理得：，解得：，，，不合題意，舍去，，；②如圖，當(dāng)時(shí)，

，，，整理得：，解得：，（舍去），；綜上所述：線段的長(zhǎng)為或．（3）解：設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，則為直角，①當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)作軸交軸于，交過(guò)作軸的平行線于，

，∵為直角，則，∵，∴，∴，∵是矩形鄰邊之比為，即或，即和的相似比為或，即，由題意得：，，∴，則，即，解得：，（不符合題意，舍去）；②當(dāng)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，

同理可得：，解得：，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合體，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，分類(lèi)求解是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)或或或；(3)存在，，或，或，或或【思路點(diǎn)撥】（1）將，代入，求出,即可得出答案；（2）分別以點(diǎn)為頂點(diǎn)、以點(diǎn)為頂點(diǎn)、當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)，計(jì)算即可；（3）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，設(shè)，，求出，，，分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線．【規(guī)范解答】（1）解：（1）∵，兩點(diǎn)在拋物線上，∴解得，，∴拋物線的解析式為：；（2）令，∴，由為等腰三角形，如圖甲，

當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，∴；當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，是等腰中線，∴，∴；當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為或，∴綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或．（3）存在，理由如下：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：直線，設(shè)，，∵，則，，，∵以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線，當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖1，

∴，解得：，∴或∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖2，

∴，解得：，∴，∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與中點(diǎn)重合，∴，解得：，∴；當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖3，

∴，解得：，∴，∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，∴，解得：∴，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為：，或，或，或或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、分類(lèi)討論等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)、，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，拋物線過(guò)點(diǎn)、．過(guò)作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn)．以、長(zhǎng)為邊向上構(gòu)造矩形．

(1)求拋物線的解析式；(2)將矩形向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上．①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍；②直線交拋物線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求的值；③拋物線與邊、分別相交于點(diǎn)、，點(diǎn)、在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸同側(cè)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線過(guò)點(diǎn)．過(guò)作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn)．以長(zhǎng)為邊向上構(gòu)造矩形．【答案】(1)(2)①；②；③或【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意得出點(diǎn)，，利用待定系數(shù)法求解析式即可求解．（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)得出，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，可得，即可求解．②根據(jù)題意得出，，求得中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意即可求解．③作輔助線，利用勾股定理求得，設(shè)出點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)代入，求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，即可求解．【規(guī)范解答】（1）根據(jù)題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，將點(diǎn)，代入拋物線，，解得，拋物線的解析式為．（2）①軸交拋物線另一點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，，矩形向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上．，，整理得，，，，；②如圖，

，，，，，由①可得，，，的橫坐標(biāo)為，分別代入，，，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，解得或（大于4，舍去）．③如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，，，設(shè)，則，，將點(diǎn)代入，得，解得，當(dāng)，，，將代入，解得，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及掌握復(fù)雜運(yùn)算屬于中考?jí)狠S題．4．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱(chēng)右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）方法一：連接，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．先求得直線的表達(dá)式為：．再設(shè)，，則，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；方法二：令拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；（3）如下圖，連接，，由菱形及等邊三角形的性質(zhì)證明得．從而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解，又連接，，，證．得，又證．得．進(jìn)而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，解得．∴拋物線的表達(dá)式為：．（2）解：方法一：如下圖，連接，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．

∵，∴．令中，則，解得或，∴，設(shè)直線為，∵過(guò)點(diǎn)，，，∴，解得，∴直線的表達(dá)式為：．設(shè)，，∴．∴．∵，∴．整理得，解得．∴．方法二：如下圖，

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，∴，∴．∵，∴．整理得，解得．∴．（3）解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．如下圖，連接，，

∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴是等邊三角形．∴，∵，，，∴，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴，，∴是等邊三角形，，∴，∴即，，∴．∴．∴直線的表達(dá)式為：．與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．如下圖，連接，，，

同理可證：是等邊三角形，是等邊三角形，．∴，∵，，∴．∴．∴．∴直線的表達(dá)式為：．與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，一元二次方程的應(yīng)用，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)為11時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線的解析式為，設(shè)，則，利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求得，推出，，利用矩形周長(zhǎng)公式列一元二次方程計(jì)算即可求解；（3）先求得直線的解析式為，分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明，推出，，設(shè)，則，由點(diǎn)M在直線上，列式計(jì)算，可求得m的值，利用平移的性質(zhì)可得點(diǎn)N的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，當(dāng)繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M繞點(diǎn)O逆時(shí)針得到點(diǎn)E時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)．【規(guī)范解答】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵點(diǎn)和，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，且，則，∴，∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴，∴，依題意得，解得（舍去）或，∴；（3）解：令，則，解得或，∴，同理，直線的解析式為，∵四邊形是正方形，∴，，分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，如圖，

，，∴，∴，，設(shè)，∴，，則，∵點(diǎn)M在直線上，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，，，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，四邊形是正方形，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)O向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)M，則點(diǎn)E向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)N，∴，即；設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，當(dāng)繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，如圖，∵點(diǎn)E在的圖象上，∴，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)E在的圖象上，∴，解得：或0，∴，，當(dāng)點(diǎn)M繞點(diǎn)O逆時(shí)針得到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)，，∵點(diǎn)E在的圖象上，∴，解得：，∴點(diǎn)，，，，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為或；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論．6．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，，矩形的邊在線段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)，當(dāng)時(shí)，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？(3)保持時(shí)的矩形不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，最大值為(3)4【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）由拋物線的對(duì)稱(chēng)性得，則，再得出，根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式，列出矩形周長(zhǎng)的表達(dá)式，并將其化為頂點(diǎn)式，即可求解；（3）連接A，相交于點(diǎn)P，連接，取的中點(diǎn)Q，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推出四邊形是平行四邊形，則，．求出時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則，即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．∵當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．將點(diǎn)C坐標(biāo)代入表達(dá)式，得，解得．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：由拋物線的對(duì)稱(chēng)性得：，∴．當(dāng)時(shí)，．∴矩形的周長(zhǎng)為．∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，最大值為．（3）解：連接，相交于點(diǎn)P，連接，取的中點(diǎn)Q，連接．

∵直線平分矩形的面積，∴直線過(guò)點(diǎn)P．．由平移的性質(zhì)可知，四邊形是平行四邊形，∴．∵四邊形是矩形，∴P是的中點(diǎn)．∴．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴．∴拋物線平移的距離是4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)．7．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？(3)若，設(shè)直線交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過(guò)求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；（3）分3種情況求解：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；根據(jù)，確定點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征計(jì)算求解．【規(guī)范解答】（1）解：在直線中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)，點(diǎn)代入可得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由題意，，∴，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，，∴，∴，，設(shè)直線的解析式為，把代入可得，解得，∴直線的解析式為，又∵過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，且拋物線對(duì)稱(chēng)軸為，∴∴，解得（不合題意，舍去），；（3）解：存在，理由如下．由題意，，∴，．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在x軸的上方，∵，∴點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，∴，，∴，代入整理得，，解得（不合題意，舍去），．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合，所以此種情況不存在；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在x軸的下方，點(diǎn)E在射線上，如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為R，

∴，，∴．∵，∴M為的中點(diǎn)，∴，，∴，代入整理得，，解得（不合題意，舍去），．綜上可知，存在或，使．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想解題是關(guān)鍵．?考向五相似三角形問(wèn)題1．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)拋物線與軸正半軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)位于拋物線上且在軸下方，連接、，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入可得；（2）過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，設(shè)，求出；根據(jù)，，得，故，從而，即可解得答案．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入得：，解得，；（2）過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，如圖：

設(shè)，在中，令得或，；，，，，，，，，解得或（此時(shí)與重合，舍去），，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明，用對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出的值．2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式．(2)直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作直線軸，交于點(diǎn)F，連接．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)N為x軸正半軸上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)M．若，，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法，把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求解函數(shù)的解析式；（2）分別過(guò)，向軸作垂線，垂足為，，根據(jù)證得，從而，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出，坐標(biāo)，再列方程求解即可；（3）將平移到，連接，則；過(guò)作于，過(guò)作軸于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交軸于，設(shè)，則，，，由可得，從而，設(shè)由可得，，，再求出點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線解析式中即可求得或，從而可得點(diǎn)坐標(biāo)．【規(guī)范解答】（1）解：把和代入到解析式中可得，解得，拋物線的解析式為：；（2）直線中，令，則，所以，直線中，令，則，所以，分別過(guò)，向軸作垂線，垂足為，，

根據(jù)題意可得，軸，軸，和為直角三角形，在和中，，，，設(shè)，則，，，從而，，則有，解得（舍去），或，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；（3）將平移到，連接，則四邊形為平行四邊形，，過(guò)作于，過(guò)作軸于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交軸于，，可設(shè)，則，∴，則，

設(shè)，軸，，，，，，，，，，，，，，，，則，，，，代入拋物線解析式中有：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與相似三角形綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正切的定義等知識(shí)，解題關(guān)鍵是在坐標(biāo)系中利用等線段構(gòu)造全等進(jìn)行計(jì)算，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．3．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線交直線于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①②或【思路點(diǎn)撥】（1）將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，從而求得a，c，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）①設(shè)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，根據(jù)列出方程求出的值即可；②可推出四邊形是菱形，從而得出，分別表示出和，從而列出方程，進(jìn)一步求得結(jié)果．【規(guī)范解答】（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴把，代入得，，解得，，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）①設(shè)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

∴∵∴∵軸，∴又∴四邊形是矩形，∴∴∵∴∴（不合題意，舍去）∴∴；②設(shè)，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，解得，∴∵由勾股定理得，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

則四邊形是矩形，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴∵軸，∴∴∴∴∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∵∴∴∴∴設(shè)直線的解析式為，把代入得，，解得，，∴直線的解析式為，∴，∴,又且∴解得，（舍去）∴∴四邊形的周長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，如圖，

同理可得：解得，（舍去）∴∴四邊形的周長(zhǎng)；綜上，四邊形的周長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類(lèi)，作輔助線，表示出線段的數(shù)量．4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與探究如圖，拋物線上的點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為，，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且，連接，．

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線位于第一象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)D是線段(包含點(diǎn)B，C)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)Q，交直線于點(diǎn)N，若以點(diǎn)Q，N，C為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(4)將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，在拋物線平移過(guò)程中，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____，的最小值為_(kāi)_____．【答案】(1)，(2)(3)，(4)，【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)F，交線段AC于點(diǎn)E，用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，則，，故，先求得，從而得到，解出p的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由可知，要使點(diǎn)Q，N，C為頂點(diǎn)的三角形與相似，則以點(diǎn)Q，N，C為頂點(diǎn)的三角形也是直角三角形，從而分和兩種情況討論，①當(dāng)，可推導(dǎo)B與點(diǎn)Q重合，，即此時(shí)符合題意，利用求拋物線與x軸交點(diǎn)的方法可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，可推導(dǎo)，即此時(shí)符合題意，再證明，從而得到，再設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為q，則，，從而得到，解得q的值，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，最后綜合①②即可；（4）設(shè)拋物線沿x軸的負(fù)方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，將點(diǎn)M右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，由平移的性質(zhì)可知，，的值最小就是最小值，作出點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，連接則此時(shí)取得最小值，即為的長(zhǎng)度，利用兩點(diǎn)間的距離公式求這個(gè)長(zhǎng)度，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而確定的坐標(biāo)，繼而確定平移距離，將原拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，從而得到其頂點(diǎn)，繼而確定新拋物線的頂點(diǎn)．【規(guī)范解答】（1）解：∵點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且，∴將，代入，得解得∴拋物線的解析式為（2）解：過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)F，交線段AC于點(diǎn)E，

設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線AC的解析式為設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為則，，∴∵，∴，解得，∴（3），，補(bǔ)充求解過(guò)程如下：∵在中，，以點(diǎn)Q，N，C為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴以點(diǎn)Q，N，C為頂點(diǎn)的三角形也是直角三角形，又∵軸，直線交直線于點(diǎn)N，∴，即點(diǎn)N不與點(diǎn)O是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．故分為和兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，由于軸，∴軸，即在x軸上，又∵點(diǎn)Q在拋物線上，∴此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)Q重合，作出圖形如下：

此時(shí)，又∵∴，即此時(shí)符合題意，令，解得：(舍去)∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)，也即點(diǎn)B的坐標(biāo)是．②當(dāng)時(shí)，作圖如下：

∵軸，∴，∴，∵，，∴，即此時(shí)符合題意，∵，∴，即∵，，∴∴，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為q，則，，∴，∴，解得：(舍去)，∴，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，；（4），，補(bǔ)充求解過(guò)程如下：設(shè)拋物線沿x軸的負(fù)方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，將點(diǎn)M向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，作出圖形如下：

由平移的性質(zhì)可知，，∴的值最小就是最小值，顯然點(diǎn)在直線上運(yùn)用，作出點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，連接則此時(shí)取得最小值，即為的長(zhǎng)度，

∵點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是點(diǎn)，∴，∴，設(shè)直線的解析式是：將點(diǎn)，代入得：解得：直線的解析式是：令，解得：，∴，∴平移的距離是又∵，∴平移前的拋物線的坐標(biāo)是∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為即故答案是：，．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何變換綜合，二次函數(shù)與相似三角形綜合，最短路徑問(wèn)題，三角形面積公式等知識(shí)，難度較大，綜合性大，作出輔助線和掌握轉(zhuǎn)換思想是解題的關(guān)鍵，第二問(wèn)的解題技巧是使用鉛錘公式計(jì)算面積，第三問(wèn)的技巧是轉(zhuǎn)化成直角三角形的討論問(wèn)題，如果直接按相似討論，則有四種情況，可以降低分類(lèi)討論的種類(lèi)，第四問(wèn)的技巧，是將點(diǎn)M向反方向移動(dòng)，從而將兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)來(lái)解決．5．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線交軸于兩點(diǎn)（在的左邊），交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫(xiě)出三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于三點(diǎn)，連接．若與相似，求的值；(3)如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點(diǎn)為原點(diǎn)．直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)的中點(diǎn)作直線（異于直線）交拋物線于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．問(wèn)點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)的值為2或(3)點(diǎn)在定直線上【思路點(diǎn)撥】（1）令，解一元二次方程求出值可得、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，令求出值可得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得答案；（2）分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)分別列方程求出值即可得答案；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得解析式，聯(lián)立直線與解析式可得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出中點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，同理得出直線的解析式為，聯(lián)立兩直線解析式可得，設(shè)點(diǎn)在直線上，把點(diǎn)代入，整理比較系數(shù)即可得出、的值即可得答案，也可根據(jù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變形得出橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，得出答案．【規(guī)范解答】（1）∵拋物線解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴，，．（2）解：是直線與拋物線的交點(diǎn)，，①如圖，若時(shí)，，∴，∴，解得，（舍去）或．②如圖，若時(shí)．過(guò)作軸于點(diǎn)．，∴，∴，，，∴，∴，，，∴，解得，（舍去）或．

綜上，符合題意的的值為2或．