舉一反三系列高考高中數(shù)學同步及復習資料人教A版必修1專題3.3 函數(shù)的基本性質-重難點題型精講（含答案及解析）

專題3.3函數(shù)的基本性質-重難點題型精講1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減：(2)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間：①當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增(減)時,我們就稱它是增(減)函數(shù).

②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)常見函數(shù)的單調(diào)性：(4)單調(diào)函數(shù)的運算性質：若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質：

①f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

②若a為常數(shù)，則當a>0時，f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性；當a<0時，f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性.

③若f(x)恒為正值或恒為負值，a為常數(shù)，則當a>0時，f(x)與具有相反的單調(diào)性；當a<0時，f(x)與具有相同的單調(diào)性.

④若f(x)≥0，則f(x)與具有相同的單調(diào)性.

⑤在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結論：⑥當f(x)，g(x)在區(qū)間D上都是單調(diào)遞增(減)的，若兩者都恒大于零，則f(x)g(x)在區(qū)間D上也是單調(diào)遞增(減)的；若兩者都恒小于零，則f(x)g(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(增).(5)復合函數(shù)的單調(diào)性判定：對于復合函數(shù)f(g(x))，設t=g(x)在(a,b)上單調(diào)，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也單調(diào).2．函數(shù)的最大（?。┲?1)函數(shù)的最大（?。┲担?2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結論：①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y=f(x),x[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；

②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y=f(x),x[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.3．函數(shù)的奇偶性(1)定義：(2)奇偶函數(shù)的圖象特征（幾何意義）①奇函數(shù)的圖象特征：若一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，若一個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù).②偶函數(shù)的圖象特征：若一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，若一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).③奇偶函數(shù)的結論：奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù).(3)函數(shù)圖象的對稱性：①圖象關于點成中心對稱圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)-b為奇函數(shù).②圖象關于直線成軸對稱圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)為偶函數(shù).【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【方法點撥】(1)定義法：利用函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間.(2)圖象法：根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象研究單調(diào)性.注：①復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”，可判斷復合函數(shù)的單調(diào)性；②抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：一種是“湊”，湊定義或湊已知，從而使用定義或已知條件得出結論；另一種是“賦值”，給變量賦值要根據(jù)條件與結論的關系，有時可能要進行多次嘗試.【例1】（2021秋?邗江區(qū)期中）下列函數(shù)中，在（﹣∞，0）上為減函數(shù)的是（）A．y=?1x B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．y【變式1-1】（2022春?天津期末）下列函數(shù)中，在（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．f(x)=?1x D．f（x）＝﹣【變式1-2】（2020秋?福田區(qū)校級期末）函數(shù)y=xA．(?∞，?32] B．[?32，+∞) C【變式1-3】（2021?白山開學）函數(shù)f(x)=x?1A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【方法點撥】(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).(2)借助常見函數(shù)(如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等)的單調(diào)性求解.需注意，若一個函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.【例2】（2021?河北區(qū)學業(yè)考試）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣kx﹣8在區(qū)間[5，20]上具有單調(diào)性，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，10]∪[40，+∞） B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞） C．[10，+∞） D．[40，+∞）【變式2-1】（2021秋?懷仁市校級月考）若函數(shù)y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]【變式2-2】（2021秋?河北期中）若函數(shù)f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在區(qū)間[﹣3，0]上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣3，0）∪（0，9） B．（﹣9，0）∪（0，3） C．（﹣9，3） D．（﹣3，9）【變式2-3】（2022?湖南模擬）定義在R的函數(shù)f（x）＝﹣x3+m與函數(shù)g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小、解不等式】【方法點撥】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在解決比較函數(shù)值的問題時，要注意將對應的自變量的值轉化到同一個單調(diào)區(qū)間上.

(2)解關于的不等式時，可利用函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”，轉化不等式，進行求解即可.【例3】（2021秋?福田區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）是定義在[2，+∞）的單調(diào)遞增函數(shù)，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），則實數(shù)a的取值范圍是（）A．(?∞，12)∪(2，+∞) BC．(0，12]∪[2，6) 【變式3-1】（2020秋?瀘縣校級月考）已知定義在[0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)f（x），若f（2a﹣1）＞f（13），則aA．(?∞，23) B．(12，2【變式3-2】（2021秋?金鳳區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）是區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的減函數(shù)，則f（a2﹣a+1）與f(3A．f(a2?a+1)≥f(34C．f(a2?a+1)=f(【變式3-3】（2021秋?濱海新區(qū)期中）定義在R上函數(shù)y＝f（x）滿足以下條件：①函數(shù)y＝f（x）圖像關于x＝1軸對稱，②對任意x1，x2∈（﹣∞，1]，當x1≠x2時都有f(x1)?f(x2)x1?x2＜A．f(32)＞f(0)C．f(32)＞【題型4求函數(shù)的最值】【方法點撥】(1)配方法，主要適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍；

(2)換元法，用換元法時一定要注意新元的取值范圍；

(3)數(shù)形結合法，對于圖象較容易畫出的函數(shù)的最值問題，可借助圖象直觀求出；

(4)利用函數(shù)的單調(diào)性，要注意函數(shù)的單調(diào)性對函數(shù)最值的影響，特別是閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【例4】（2021?白山開學）函數(shù)f(x)=1x2+1在區(qū)間A．12，15 B．2，5 C．1，2【變式4-1】（2022春?銅鼓縣校級期末）若函數(shù)f(x?1x)=1x2?2x+1，則函數(shù)gA．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【變式4-2】（2022春?閻良區(qū)期末）設函數(shù)f(x)=2xx?2在區(qū)間[3，4]上的最大值和最小值分別為M，m，則M+A．4 B．6 C．10 D．24【變式4-3】（2021秋?杭州期末）已知min{a，b}=a，a≤bb，a＞b，設f（x）＝min{x﹣2，﹣xA．﹣2 B．1 C．2 D．3【題型5由函數(shù)的最值求參數(shù)】【方法點撥】在求參數(shù)a的取值范圍時，可將參數(shù)a單獨分離出來求解.

若對于區(qū)間D上的任意x，a>f(x)恒成立，則a>；若對于區(qū)間D上的任意x，a<f(x)恒成立，則a>；若在區(qū)間D上存在x使a>f(x)成立，則a>；若在區(qū)間D上存在x使a<f(x)成立，則a＜.其他情形(如a≥f(x)等)同理可得相應結論.【例5】（2022春?愛民區(qū)校級期末）若函數(shù)f(x)=2x+mx+1在區(qū)間[0，1]上的最大值為52A．3 B．52 C．2 D．52【變式5-1】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在區(qū)間[0，2]上的最大值是1，則a的取值范圍是（）A．[0，12] C．[12，+∞)【變式5-2】（2021秋?浉河區(qū)校級期末）函數(shù)f（x）＝x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值為?14，最大值為2，則n﹣A．52 B．52+22 C．【變式5-3】（2021秋?松山區(qū)校級月考）若關于x的函數(shù)f(x)=2021x3+ax2+x+a2x2+a的最大值為A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．1【題型6函數(shù)奇偶性的判斷】【方法點撥】(1)定義法：先求函數(shù)的定義域，再進行函數(shù)奇偶性的判斷.(2)圖象法：根據(jù)解析式畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的對稱性進行函數(shù)奇偶性的判斷.(3)性質法：利用奇、偶函數(shù)的和、差、積、商的奇偶性，以及復合函數(shù)的奇偶性判斷.【例6】（2021秋?海安市校級月考）設函數(shù)f（x）=x?2A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1【變式6-1】（2022春?楊陵區(qū)校級期末）若函數(shù)f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函數(shù)，則g（x）＝2ax3+bx2+9x是（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【變式6-2】（2022春?祁東縣期末）設函數(shù)f(x)=1A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1【變式6-3】（2022春?云浮期末）已知f（x）為R上的奇函數(shù)，g（x）為R上的偶函數(shù)，且g（x）≠0，則下列說法正確的是（）A．f（x）+g（x）為R上的奇函數(shù) B．f（x）﹣g（x）為R上的奇函數(shù) C．f(x)g(x)為R上的偶函數(shù)D．|f（x）g（x）|為R上的偶函數(shù)【題型7函數(shù)奇偶性的應用】【方法點撥】(1)求函數(shù)值、函數(shù)解析式：利用函數(shù)的奇偶性，進行轉化求解.(2)求參數(shù)值：①若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對稱性列出關于參數(shù)的方程.

②一般化策略：對x取定義域內(nèi)的任一個值，利用f(-x)與f(x)的關系式恒成立來確定參數(shù)的值.【例7】（2022春?北京期末）f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若f(35)=?A．?75 B．?35 C．3【變式7-1】（2022?成都開學）若定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2﹣x）＝﹣f（x），且當1≤x≤2時，f（x）＝x﹣1，則f（72A．52 B．32 C．12 【變式7-2】（2022春?長春期末）設函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x﹣1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當x∈[﹣1，2]時，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，則f(15A．?54 B．54 C．?3【變式7-3】（2022春?遼寧期末）設f（x）的定義域為R，f（x﹣2）是奇函數(shù)，f（x﹣1）是偶函數(shù)，則f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（）A．﹣4 B．0 C．4 D．不確定【題型8函數(shù)圖象的識別、判斷】【方法點撥】①排除法：利用特殊點的值來排除；②利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來判斷.【例8】下列四個函數(shù)圖象中，當x＜0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的是（）A． B． C． D．【變式8-1】根據(jù)下列函數(shù)圖象，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．【變式8-2】已知f（x）=x+1A．是f（x﹣1）的圖象 B．是f（﹣x）的圖象 C．是f（|x|）或|f（x）|的圖象 D．以上答案都不對【變式8-3】反比例函數(shù)f（x）=kxA．常數(shù)k＜﹣1 B．函數(shù)f（x）在定義域范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小 C．若點A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上，則m＜n D．函數(shù)f（x）圖象對稱軸的直線方程y＝x專題3.3函數(shù)的基本性質-重難點題型精講1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減：(2)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間：①當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增(減)時,我們就稱它是增(減)函數(shù).

②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)常見函數(shù)的單調(diào)性：(4)單調(diào)函數(shù)的運算性質：若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質：

①f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

②若a為常數(shù)，則當a>0時，f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性；當a<0時，f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性.

③若f(x)恒為正值或恒為負值，a為常數(shù)，則當a>0時，f(x)與具有相反的單調(diào)性；當a<0時，f(x)與具有相同的單調(diào)性.

④若f(x)≥0，則f(x)與具有相同的單調(diào)性.

⑤在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結論：⑥當f(x)，g(x)在區(qū)間D上都是單調(diào)遞增(減)的，若兩者都恒大于零，則f(x)g(x)在區(qū)間D上也是單調(diào)遞增(減)的；若兩者都恒小于零，則f(x)g(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(增).(5)復合函數(shù)的單調(diào)性判定：對于復合函數(shù)f(g(x))，設t=g(x)在(a,b)上單調(diào)，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也單調(diào).2．函數(shù)的最大（?。┲?1)函數(shù)的最大（?。┲担?2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結論：①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y=f(x),x[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；

②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y=f(x),x[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.3．函數(shù)的奇偶性(1)定義：(2)奇偶函數(shù)的圖象特征（幾何意義）①奇函數(shù)的圖象特征：若一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，若一個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù).②偶函數(shù)的圖象特征：若一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，若一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).③奇偶函數(shù)的結論：奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù).(3)函數(shù)圖象的對稱性：①圖象關于點成中心對稱圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)-b為奇函數(shù).②圖象關于直線成軸對稱圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)為偶函數(shù).【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【方法點撥】(1)定義法：利用函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間.(2)圖象法：根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象研究單調(diào)性.注：①復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”，可判斷復合函數(shù)的單調(diào)性；②抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：一種是“湊”，湊定義或湊已知，從而使用定義或已知條件得出結論；另一種是“賦值”，給變量賦值要根據(jù)條件與結論的關系，有時可能要進行多次嘗試.【例1】（2021秋?邗江區(qū)期中）下列函數(shù)中，在（﹣∞，0）上為減函數(shù)的是（）A．y=?1x B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．y【解題思路】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，y=?1x對于B，y＝2x+1，為一次函數(shù)，在（﹣∞，0）上為增函數(shù)，不符合題意；對于C，y＝x2，為二次函數(shù)，在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，符合題意；對于D，y＝x0＝1，（x≠0），在（﹣∞，0）上不是減函數(shù)，不符合題意；故選：C．【變式1-1】（2022春?天津期末）下列函數(shù)中，在（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．f(x)=?1x D．f（x）＝﹣【解題思路】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調(diào)性，綜合即可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，f（x）＝3﹣x為一次函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)，不符合題意；對于B，f（x）＝x2﹣3x為二次函數(shù)，在（0，32對于C，f（x）=?1x為反比例函數(shù)，在（0對于D，f（x）＝﹣|x|，當x＞0時，f（x）＝﹣x，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，不符合題意；故選：C．【變式1-2】（2020秋?福田區(qū)校級期末）函數(shù)y=xA．(?∞，?32] B．[?32，+∞) C【解題思路】確定函數(shù)的定義域，考慮內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，運用復合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，即可得到結論．【解答過程】解：由題意，x2+3x≥0，可得x≥0或x≤﹣3，函數(shù)的定義域為（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞），令t＝x2+3x，則y=t在[0，+∵t＝x2+3x，在（﹣∞，﹣3]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)y=x2+3x故選：D．【變式1-3】（2021?白山開學）函數(shù)f(x)=x?1A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）【解題思路】先分離常數(shù)，再結合復合函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【解答過程】解：∵函數(shù)f(x)=x?1x=1?1x，定義域為{x且y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0），（0，故函數(shù)f(x)=x?1x的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0），（0，故選：D．【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【方法點撥】(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).(2)借助常見函數(shù)(如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等)的單調(diào)性求解.需注意，若一個函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.【例2】（2021?河北區(qū)學業(yè)考試）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣kx﹣8在區(qū)間[5，20]上具有單調(diào)性，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，10]∪[40，+∞） B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞） C．[10，+∞） D．[40，+∞）【解題思路】根據(jù)題意，求出二次函數(shù)f（x）＝x2﹣kx﹣8的對稱軸，結合函數(shù)單調(diào)性的定義可得k2≤5或k2≥【解答過程】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝x2﹣kx﹣8為二次函數(shù)，其開口向上，對稱軸為x=k若函數(shù)f（x）＝x2﹣kx﹣8在區(qū)間[5，20]上具有單調(diào)性，則k2≤5或k2≥20，解得k≤10或所以實數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，10]∪[40，+∞）；故選：A．【變式2-1】（2021秋?懷仁市校級月考）若函數(shù)y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]【解題思路】根據(jù)題意，求出二次函數(shù)的對稱軸，結合二次函數(shù)的性質可得﹣m≤2，解可得m的取值范圍，即可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，函數(shù)y＝x2+2mx+1為開口向上的拋物線，對稱軸為x＝﹣m，函數(shù)y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上單調(diào)遞增，則﹣m≤2，解得m≥﹣2，即m的取值范圍為[﹣2，+∞）；故選：A．【變式2-2】（2021秋?河北期中）若函數(shù)f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在區(qū)間[﹣3，0]上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣3，0）∪（0，9） B．（﹣9，0）∪（0，3） C．（﹣9，3） D．（﹣3，9）【解題思路】化簡f（x）的解析式，利用二次函數(shù)的性質得出f（x）的單調(diào)性，從而得出單調(diào)區(qū)間端點與區(qū)間[0，3]的關系，從而得出a的范圍．【解答過程】解：f（x）=3（1）若a＝0，當x＜0時，f（x）＝x2在[﹣3，0]上單調(diào)遞減，不符合題意；（2）若a＞0，在f（x）在（﹣∞，﹣a）上單調(diào)遞減，在（﹣a，+∞）上單調(diào)遞增，若f（x）在[﹣3，0]上不是單調(diào)函數(shù)，則﹣3＜﹣a＜0，即0＜a＜3；（3）若a＜0，則f（x）在（﹣∞，a）上單調(diào)遞減，在（a，a3）上單調(diào)遞減，在（a3，若f（x）在[﹣3，0]上不是單調(diào)函數(shù)，則﹣3＜a3＜0，即﹣9＜綜上，a的取值范圍是（﹣9，0）∪（0，3）．故選：B．【變式2-3】（2022?湖南模擬）定義在R的函數(shù)f（x）＝﹣x3+m與函數(shù)g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解題思路】根據(jù)題意，分析易得f（x）在R上為減函數(shù)，求出g（x）的解析式，分析可得g（x）在[﹣1，1]上為減函數(shù)，結合二次函數(shù)的性質分析可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝﹣x3+m，其定義域為R，則R上f（x）為減函數(shù)，g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上為減函數(shù)，必有x=k2≥1，解可得k即k的取值范圍為[2，+∞）；故選：B．【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小、解不等式】【方法點撥】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在解決比較函數(shù)值的問題時，要注意將對應的自變量的值轉化到同一個單調(diào)區(qū)間上.

(2)解關于的不等式時，可利用函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”，轉化不等式，進行求解即可.【例3】（2021秋?福田區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）是定義在[2，+∞）的單調(diào)遞增函數(shù)，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），則實數(shù)a的取值范圍是（）A．(?∞，12)∪(2，+∞) BC．(0，12]∪[2，6) 【解題思路】由函數(shù)的定義域和單調(diào)性可得2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，再求出a的取值范圍．【解答過程】解：函數(shù)f（x）是定義在[2，+∞）的單調(diào)遞增函數(shù)，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），則2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，解得0＜a≤12或2≤a＜所以實數(shù)a的取值范圍為（0，12]∪[2，6故選：C．【變式3-1】（2020秋?瀘縣校級月考）已知定義在[0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)f（x），若f（2a﹣1）＞f（13），則aA．(?∞，23) B．(12，2【解題思路】根據(jù)題意，由函數(shù)的定義域和單調(diào)性，分析可得0≤2a﹣1＜13，解可得【解答過程】解：根據(jù)題意，f（x）是定義在[0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，若f（2a﹣1）＞f（13），則有0≤2a﹣1＜13，解可得1即a的取值范圍為[12，2故選：D．【變式3-2】（2021秋?金鳳區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）是區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的減函數(shù)，則f（a2﹣a+1）與f(3A．f(a2?a+1)≥f(34C．f(a2?a+1)=f(【解題思路】由已知結合二次函數(shù)的性質及函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。窘獯疬^程】解：因為a2﹣a+1＝（a?12）2又f（x）是區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的減函數(shù)，所以f（a2﹣a+1）≤f(故選：B．【變式3-3】（2021秋?濱海新區(qū)期中）定義在R上函數(shù)y＝f（x）滿足以下條件：①函數(shù)y＝f（x）圖像關于x＝1軸對稱，②對任意x1，x2∈（﹣∞，1]，當x1≠x2時都有f(x1)?f(x2)x1?x2＜A．f(32)＞f(0)C．f(32)＞【解題思路】根據(jù)已知條件判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性比較函數(shù)值大?。窘獯疬^程】解：∵函數(shù)y＝f（x）圖像關于x＝1軸對稱，且對任意x1，x2∈（﹣∞，1]，當x1≠x2時都有f(x1∴f（x）在（﹣∞，1]，上單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增，f（0）＝f（2），∴f（3）＞f（0）＞f（32故選：B．【題型4求函數(shù)的最值】【方法點撥】(1)配方法，主要適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍；

(2)換元法，用換元法時一定要注意新元的取值范圍；

(3)數(shù)形結合法，對于圖象較容易畫出的函數(shù)的最值問題，可借助圖象直觀求出；

(4)利用函數(shù)的單調(diào)性，要注意函數(shù)的單調(diào)性對函數(shù)最值的影響，特別是閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【例4】（2021?白山開學）函數(shù)f(x)=1x2+1在區(qū)間A．12，15 B．2，5 C．1，2【解題思路】先簡單判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求解結論．【解答過程】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且y＞1，∴f(x)=1x2+1在區(qū)間∴函數(shù)f(x)=1x2+1在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值分別是f（1）=112故選：A．【變式4-1】（2022春?銅鼓縣校級期末）若函數(shù)f(x?1x)=1x2?2x+1，則函數(shù)gA．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【解題思路】由已知求得函數(shù)解析式，代入g（x）＝f（x）﹣4x，整理后再由配方法求最值．【解答過程】解：∵f(x?1令t=x?1x，則t≠∴f（x）＝x2（x≠1）．從而g（x）＝f（x）﹣4x＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，當x＝2時，g（x）取得最小值，且最小值為﹣4．故選：D．【變式4-2】（2022春?閻良區(qū)期末）設函數(shù)f(x)=2xx?2在區(qū)間[3，4]上的最大值和最小值分別為M，m，則M+A．4 B．6 C．10 D．24【解題思路】將函數(shù)f（x）分離常數(shù)變形后，判斷出其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值即可得解．【解答過程】解：因為f(x)=2(x?2)+4所以f（x）在[3，4]上是減函數(shù)．所以m＝f（4）＝4，M＝f（3）＝6．所以M+m＝6+4＝10．故選：C．【變式4-3】（2021秋?杭州期末）已知min{a，b}=a，a≤bb，a＞b，設f（x）＝min{x﹣2，﹣xA．﹣2 B．1 C．2 D．3【解題思路】由題意可得函數(shù)f（x）的解析式，作出圖象，數(shù)形結合得答案．【解答過程】解：由x﹣2＝﹣x2+4x﹣2，得x2﹣3x＝0，解得x＝0或x＝3．∴當0≤x≤3時，x﹣2≤﹣x2+4x﹣2，當x＜0或x＞3時，x﹣2＞﹣x2+4x﹣2，則f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}=x?2作出f（x）的圖象如圖所示，由圖可知，當x＝3時，函數(shù)f（x）取得最大值為1．故選：B．【題型5由函數(shù)的最值求參數(shù)】【方法點撥】在求參數(shù)a的取值范圍時，可將參數(shù)a單獨分離出來求解.

若對于區(qū)間D上的任意x，a>f(x)恒成立，則a>；若對于區(qū)間D上的任意x，a<f(x)恒成立，則a>；若在區(qū)間D上存在x使a>f(x)成立，則a>；若在區(qū)間D上存在x使a<f(x)成立，則a＜.其他情形(如a≥f(x)等)同理可得相應結論.【例5】（2022春?愛民區(qū)校級期末）若函數(shù)f(x)=2x+mx+1在區(qū)間[0，1]上的最大值為52A．3 B．52 C．2 D．52【解題思路】將函數(shù)f(x)=2x+mx+1化為f（x）＝2+m?2x+1，x∈[0，1]，討論m＝2，m＞2和【解答過程】解：函數(shù)f(x)=2x+mx+1，即f（x）＝2+m?2x+1，x∈當m＝2時，f（x）＝2不成立；當m﹣2＞0，即m＞2時，f（x）在[0，1]遞減，可得f（0）為最大值，即f（0）=0+m1=5當m﹣2＜0，即m＜2時，f（x）在[0，1]遞增，可得f（1）為最大值，即f（1）=2+m2=52綜上可得m=5故選：B．【變式5-1】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在區(qū)間[0，2]上的最大值是1，則a的取值范圍是（）A．[0，12] C．[12，+∞)【解題思路】首先將函數(shù)的圖象進行左移，使函數(shù)的關系式變得簡單，進一步利用分類討論思想的應用去掉絕對值，進一步利用函數(shù)的值域建立關系式，最后求出參數(shù)a的取值范圍．【解答過程】解：將函數(shù)f（x）＝|x2﹣2x+a|+a＝|（x﹣1）2+（a﹣1）|+a的圖象向左平移1個單位，得到函數(shù)g（x）＝|x2+a﹣1|+a，則由﹣1≤x≤1，故0≤x2≤1，①當a﹣1≥0時，即a≥1時，g（x）＝x2+a﹣1+a＝x2+2a﹣1≥2a﹣1≥1，此時函數(shù)g（x）的最小值為1，不合題意；②當a﹣1≤﹣1時，即a≤0時，g（x）＝﹣（x2+a﹣1+a＝﹣x2+1≤1，符合題意；故a≤0；③當﹣1＜a﹣1＜0，即0＜a＜1時，g（x）=?(x2又由0≤x2≤1﹣a，根據(jù)二次函數(shù)的性質，g（x）的值域滿足1﹣（1﹣a）2≤g（x）≤1，當1﹣a＜x2≤1時，（1﹣a）2+2a﹣1≤g（x）≤2a，必有2a≤1，可得0＜綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為（?∞，故選：B．【變式5-2】（2021秋?浉河區(qū)校級期末）函數(shù)f（x）＝x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值為?14，最大值為2，則n﹣A．52 B．52+22 C．【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質，求出最大值和最小值對應的x的取值，然后利用數(shù)形結合即可得到結論．【解答過程】解：當x≥0時，f（x）＝x（|x|﹣1）＝x2﹣x＝（x?12）2當x＜0時，f（x）＝x（|x|﹣1）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+12）2作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：當x≥0時，由f（x）＝x2﹣x＝2，解得x＝2．當x=12時，f（12當x＜0時，由f（x）＝）＝﹣x2﹣x=?即4x2+4x﹣1＝0，解得x=?4±∴此時x=?1?∵[m，n]上的最小值為?14，最大值為∴n＝2，?1?2∴n﹣m的最大值為2??1?故選：B．【變式5-3】（2021秋?松山區(qū)校級月考）若關于x的函數(shù)f(x)=2021x3+ax2+x+a2x2+a的最大值為A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．1【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性求解即可．【解答過程】解：f(x)=2021x3令g（x）＝f（x）﹣a=2021g（﹣x）=2021(?x)3?x∴g（x）為奇函數(shù)，∴g（x）max+g（x）min＝0，∴M+N＝g（x）max+a+g（x）min+a＝4，∴a＝2．故選：C．【題型6函數(shù)奇偶性的判斷】【方法點撥】(1)定義法：先求函數(shù)的定義域，再進行函數(shù)奇偶性的判斷.(2)圖象法：根據(jù)解析式畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的對稱性進行函數(shù)奇偶性的判斷.(3)性質法：利用奇、偶函數(shù)的和、差、積、商的奇偶性，以及復合函數(shù)的奇偶性判斷.【例6】（2021秋?海安市校級月考）設函數(shù)f（x）=x?2A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1【解題思路】化簡函數(shù)f（x）＝1?4【解答過程】解：由題意得，f（x）＝1?4對A，f（x﹣2）﹣1=?對B，f（x﹣）+1＝2?4x，關于（0，對C，f（x+2）﹣1=?4x+4，定義域為（﹣∞，﹣4）∪（﹣4對D，f（x+2）+1＝2?4x+4，定義域為（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，故選：A．【變式6-1】（2022春?楊陵區(qū)校級期末）若函數(shù)f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函數(shù)，則g（x）＝2ax3+bx2+9x是（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【解題思路】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的性質求出b的值，即可得g（x）的解析式，分析其奇偶性可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函數(shù)，而f（x）為二次函數(shù)，則有b＝0，則g（x）＝2ax3+9x，其定義域為R，有g（﹣x）＝﹣g（x），g（x）為奇函數(shù)，故選：A．【變式6-2】（2022春?祁東縣期末）設函數(shù)f(x)=1A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1【解題思路】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性，即可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，f(x)=1由此分析選項：對于A，f(x+1)=1對于B，f（x）+1=1(x?1對于C，f（x﹣1）=1對于D，f（x）﹣1=1(x?1故選：A．【變式6-3】（2022春?云浮期末）已知f（x）為R上的奇函數(shù)，g（x）為R上的偶函數(shù)，且g（x）≠0，則下列說法正確的是（）A．f（x）+g（x）為R上的奇函數(shù) B．f（x）﹣g（x）為R上的奇函數(shù) C．f(x)g(x)為R上的偶函數(shù)D．|f（x）g（x）|為R上的偶函數(shù)【解題思路】由已知結合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷．【解答過程】解：因為f（x）為R上的奇函數(shù)，g（x）為R上的偶函數(shù)，且g（x）≠0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）≠﹣[f（x）+g（x）]，故f（x）+g（x）為非奇非偶函數(shù)，A錯誤；同理，f（x）﹣g（x）為非奇非偶函數(shù)，B錯誤；設F（x）=f(x)g(x)，則F（﹣x）=f(?x)g(?x)所以F（x）為奇函數(shù)，C錯誤；設函數(shù)H（x）＝|f（x）g（x）|，因為f（x）為R上的奇函數(shù)，g（x）為R上的偶函數(shù)，且g（x）≠0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），則由函數(shù)奇偶性的定義得，H（﹣x）＝|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|＝H（x），D正確．故選：D．【題型7函數(shù)奇偶性的應用】【方法點撥】(1)求函數(shù)值、函數(shù)解析式：利用函數(shù)的奇偶性，進行轉化求解.(2)求參數(shù)值：①若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對稱性列出關于參數(shù)的方程.

②一般化策略：對x取定義域內(nèi)的任一個值，利用f(-x)與f(x)的關系式恒成立來確定參數(shù)的值.【例7】（2022春?北京期末）f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若f(35)=?A．?75 B．?35 C．3【解題思路】由f（1+x）﹣f（x）＝0可得函數(shù)的周期為1，然后利用周期和奇函數(shù)的性質可求得結果．【解答過程】解：因為f（1+x）﹣f（x）＝0，所以f（1+x）＝f（x），所以函數(shù)的周期為1，因為f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，f(3所以f(7故選：C．【變式7-1】（2022?成都開學）若定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2﹣x）＝﹣f（x），且當1≤x≤2時，f（x）＝x﹣1，則f（72A．52 B．32 C．12 【解題思路】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的周期性，結合函數(shù)的解析式分析可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2﹣x）＝﹣f（x），則有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），變形可得f（x+2）＝﹣f（x），則有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，則f（72）＝f（?12）＝﹣f當1≤x≤2時，f（x）＝x﹣1，f（32）=故f（72）=故選：D．【變式7-2】（2022春?長春期末）設函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x﹣1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當x∈[﹣1，2]時，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，則f(15A．?54 B．54 C．?3【解題思路】由已知可得出f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），f（﹣x+2）＝f（x+2），分別令x＝1、x＝3，結合已知條件可得出關于a、b的方程組，解出a、b的值，即可得出函數(shù)f（x）在[﹣1，2]上的解析式，再利用