2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.1第2課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版選修2-3

PAGE第2課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．由數(shù)字1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．15 B．12C．10 D．5解析：分三類(lèi)，第一類(lèi)組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個(gè)；其次類(lèi)組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè)；第三類(lèi)組成3位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知共有偶數(shù)5個(gè)．答案：D2．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，則不同的二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．125 B．15C．100 D．10解析：若y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，則a≠0，要完成該事務(wù)，需分步進(jìn)行：第一步，對(duì)于系數(shù)a有4種不同的選法；其次步，對(duì)于系數(shù)b有5種不同的選法；第三步，對(duì)于系數(shù)c有5種不同的選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4×5×5＝100(個(gè))．答案：C3．若三角形的三邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，其中一邊長(zhǎng)為4，另外兩邊長(zhǎng)分別為b，c，且滿(mǎn)意b≤4≤c，則這樣的三角形有()A．10個(gè) B．14個(gè)C．15個(gè) D．21個(gè)解析：當(dāng)b＝1時(shí)，c＝4；當(dāng)b＝2時(shí)，c＝4,5；當(dāng)b＝3時(shí)，c＝4,5,6；當(dāng)b＝4時(shí)，c＝4,5,6,7.故共有10個(gè)這樣的三角形．答案：A4．把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24解析：擺好的3個(gè)座位共有4個(gè)空隙供3人(不妨記為甲、乙、丙)選擇就座，因此，可分三步：甲從4個(gè)空隙中任選一個(gè)空隙，有4種不同的選擇；乙從余下的3個(gè)空隙中任選一個(gè)空隙，有3種不同的選擇；丙從余下的2個(gè)空隙中任選一個(gè)空隙，有2種不同的選擇．依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為4×3×2＝24.故選D.答案：D5．將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色，若只有4種顏色可供運(yùn)用，則不同的染色方法共有()A．48種 B．72種C．96種 D．108種解析：①用四色時(shí)AC同色或BD同色．當(dāng)AC同色時(shí)．AC有4種涂色方法．B有3種涂色方法．P有2種涂色方法．D有1種涂色方法．共有4×3×2×1＝24種不同的涂色方法．同理當(dāng)BD同色時(shí)也有24種不同的涂色方法．②用三色時(shí)AC同色且BD同色AC有4種涂色方法BD有3種涂色方法P有2種涂色方法共有4×3×2＝24種不同的涂色方法綜上所述，共有24＋24＋24＝72種不同的涂色方法．答案：B6．如圖所示為一電路圖，則從A到B共有________條不同的單支線(xiàn)路可通電．解析：按上、中、下三條線(xiàn)路可分為三類(lèi)：上線(xiàn)路中有3條，中線(xiàn)路中有1條，下線(xiàn)路中有2×2＝4(條)．依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有3＋1＋4＝8(條)．答案：87．4名同學(xué)分別報(bào)名參與學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，則不同的報(bào)法有________種．解析：由于每個(gè)同學(xué)報(bào)哪個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)沒(méi)有限制，因此，每個(gè)同學(xué)都有3種報(bào)名方法，4個(gè)同學(xué)全部選完，才算完成這件事，故共有3×3×3×3＝81種不同的報(bào)法．答案：818．兩人進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽，實(shí)行五局三勝制，即先贏三局者獲勝，決出輸贏為止，則全部可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不憐憫形)共有________種．解析：由題意知，競(jìng)賽局?jǐn)?shù)最少為3局，至多為5局．當(dāng)競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為3局時(shí)，情形為甲或乙連贏3局，共2種；當(dāng)競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為4局時(shí)，若甲贏，則前3局中甲贏2局，最終一局甲贏，共有3種情形；同理，若乙贏，則也有3種情形，所以共有6種情形；當(dāng)競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為5局時(shí)，前4局，甲、乙雙方各贏2局，最終一局勝出的人贏，若甲前4局贏2局，共有贏取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六種情形，所以競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為5局時(shí)共有2×6＝12(種)，綜上可知，共有2＋6＋12＝20(種)．答案：209．某文藝小組有20人，其中會(huì)唱歌的有14人，會(huì)跳舞的有10人，從中選出會(huì)唱歌與會(huì)跳舞的各1人參與演出，且既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的至多選1人，有多少種不同的選法？解析：第1類(lèi)，首先從只會(huì)唱歌的10人中選出1人，有10種不同的選法，從會(huì)跳舞的10人中選出1人，有10種不同的選法，共有10×10＝100種不同的選法；第2類(lèi)，從既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的4人中選1人，再?gòu)闹粫?huì)跳舞的6人中選1人，共有4×6＝24種不同的選法．所以一共有100＋24＝124種不同的選法．10．將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作物，有多少不同的種植方法.解析：分別用a，b，c代表3種作物，先支配第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再支配其次塊田，有2種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法．(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c2種方法：①若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；②若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法．綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法．[B組實(shí)力提升]11.用0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，比3542大的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.360 B．240C.120 D．60解析：因?yàn)?542是能排出的四位數(shù)中千位為3的最大的數(shù)，所以比3542大的四位數(shù)是千位只能是4或5，所以共有2×5×4×3＝120個(gè)比3542大的四位數(shù)．答案：C12.4位同學(xué)參與某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)定：每位同學(xué)必需從甲、乙兩道題中任選一題作答，答對(duì)甲題得100分，答錯(cuò)得－100分；答對(duì)乙題得90分，答錯(cuò)得－90分．若4位同學(xué)的總得分為0，則這4位同學(xué)不同的得分狀況的種數(shù)是()A.48 B．36C.24 D．18解析：分兩類(lèi)：第一類(lèi)，都選甲題，則兩人正確兩人錯(cuò)誤，全部可能的狀況有6種；其次類(lèi)，都選乙題，則兩人正確兩人錯(cuò)誤，全部可能的狀況有6種；第三種，若兩人選甲題，兩人選乙題，并且一對(duì)一錯(cuò)，則全部的狀況有6×2×2＝24(種)．綜上，這4位同學(xué)不同的得分狀況的種數(shù)為6＋6＋24＝36.答案：B13.成都市的出租車(chē)車(chē)牌號(hào)規(guī)定為“川A·T××××”的格式，其中后四位為數(shù)字，那么成都市最多可以有________輛出租車(chē)．解析：后面四位每一位都可以在0～9這10個(gè)數(shù)字中任選1個(gè)數(shù)，且可以重復(fù)，故一共可以組成10×10×10×10＝104個(gè)車(chē)牌號(hào)，即最多有104輛出租車(chē)．答案：10414.用6種不同顏色為如圖所示的廣告牌著色，要求在A，B，C，D四個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色，求共有多少種不同的著色方法？解析：法一：分類(lèi)：第一類(lèi)，A，D涂同色，有6×5×4＝120種涂法，(用三色)其次類(lèi)，A，D涂異色，有6×5×4×3＝360種涂法，(用四色)共有120＋360＝480種涂法．法二：分步：先涂B區(qū)，有6種涂法，再涂C區(qū)，有5種涂法，最終涂A，D區(qū)域，各有4種涂法，所以共有6×5×4×4＝480種涂法．15.用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？解析：完成這件事可分為三類(lèi)：第一類(lèi)是個(gè)位數(shù)字為0的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；其次步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個(gè)數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這類(lèi)數(shù)的個(gè)數(shù)為4×4×3＝48.其次類(lèi)是個(gè)位數(shù)字為2的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0只有3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選法；其次步，選取百位上的數(shù)字，