河北省教考聯(lián)盟2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析

河北省教考聯(lián)盟2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓的半徑為，平面上一定點到圓心的距離，是圓上任意一點.線段的垂直平分線和直線相交于點，設(shè)點在圓上運(yùn)動時，點的軌跡為，當(dāng)時，軌跡對應(yīng)曲線的離心率取值范圍為（）A. B.C. D.2．一個公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，另兩名員工數(shù)據(jù)不清楚，那么8位員工月工資的中位數(shù)不可能是（）A.5800 B.6000C.6200 D.64003．已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列滿足，且，，則（）A. B.C. D.5．與空間向量共線的一個向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.6．已知實數(shù)滿足，則的取值范圍（）A.-1m B.-1m<0或0<mC.m或m-1 D.m1或m-17．有7名同學(xué)參加百米競賽，預(yù)賽成績各不相同，取前3名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績，為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽，他還需要知道7名同學(xué)成績的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差8．在遞增等比數(shù)列中，為其前n項和．已知，，且，則數(shù)列的公比為（）A.3 B.4C.5 D.69．已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知向量，則（）A. B.C. D.11．已知圓柱的底面半徑是1，高是2，那么該圓柱的側(cè)面積是（）A.2 B.C. D.12．將上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點，且AB中點坐標(biāo)為M（1，），那么直線l的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與圓外切于原點，且被y軸截得的弦長為8的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________14．已知直線和互相平行，則實數(shù)的值為___________.15．直線與直線垂直，則______16．若球的大圓的面積為，則該球的表面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，點在拋物線C上（1）求拋物線C的方程；（2）過拋物線C焦點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若求直線l的方程18．（12分）已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點，且該橢圓的離心率為，（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（Ⅱ）求過點的直線與該橢圓交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若，求的面積.19．（12分）已知點A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點.(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.20．（12分）已知數(shù)列滿足，，，.從①，②這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面問題.（1）寫出、，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知數(shù)列是正項數(shù)列，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點P在圓上，過點P作x軸的垂線，垂足為是的中點，當(dāng)P在圓M上運(yùn)動時N形成的軌跡為C（1）求C的軌跡方程；（2）若點，試問在x軸上是否存在點M，使得過點M的動直線交C于兩點時，恒有？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分點A在圓內(nèi)，圓外兩種情況，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義可判斷軌跡，再由離心率計算即可求解.【詳解】當(dāng)A在圓內(nèi)時，如圖，,所以的軌跡是以O(shè)，A為焦點的橢圓，其中，，此時，，.當(dāng)A在圓外時，如圖，因為，所以軌跡是以O(shè)，A為焦點的雙曲線，其中，，此時，，.綜上可知，.故選：D2、D【解析】解：∵一個公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴當(dāng)另外兩名員工的工資都小于5300時,中位數(shù)為(5300+5500)÷2=5400，當(dāng)另外兩名員工的工資都大于5300時,中位數(shù)為(6100+6500)÷2=6300，∴8位員工月工資的中位數(shù)的取值區(qū)間為[5400,6300]，∴8位員工月工資的中位數(shù)不可能是6400.本題選擇D選項.3、C【解析】求得，由此求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】離心率，則，所以漸近線方程.故選：C4、A【解析】由已知兩個不等式，利用“兩邊夾”思想求得，然后利用累加法可求得【詳解】∵，∴，∴，又，∴，即，∴故選：A【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式，由遞推式的特征，采用累加法求得數(shù)列的項．解題關(guān)鍵是利用“兩邊夾”思想求解5、C【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.6、C【解析】把看成動點與所確定的直線的斜率，動點在所給曲線上.【詳解】就是點，所確定的直線的斜率，而在上，因為，.故選：C7、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)按成績排序7選3，即可知還需明確的成績數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè)，7名同學(xué)參加百米競賽，要取前3名參加決賽，則成績從高到低排列，確定7名同學(xué)成績的中位數(shù)，即第3名的成績便可判斷自己是否能進(jìn)入決賽.故選：C.8、B【解析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出、，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】解：由題意得：是遞增等比數(shù)列又，，故故選：B9、B【解析】直接利用兩點間的坐標(biāo)公式和直線的斜率的關(guān)系求出結(jié)果【詳解】解：直線過點且斜率為，與連接兩點，的線段有公共點，由圖，可知，，當(dāng)時，直線與線段有交點故選：B10、B【解析】根據(jù)向量加減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得到結(jié)果【詳解】故選：B.11、D【解析】由圓柱的側(cè)面積公式直接可得.【詳解】故選：D12、A【解析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程，然后利用點差法求出直線l的斜率，從而可求出直線方程【詳解】設(shè)點為曲線C上任一點，其在上對應(yīng)在的點為，則，得，所以，所以曲線C的方程為，設(shè)，則，兩方程相減整理得，因為AB中點坐標(biāo)為M（1，），所以，即，所以，所以，所以直線l的方程為，即，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】設(shè)所求圓的圓心為，根據(jù)兩圓外切于原點可知兩圓心與原點共線，再根據(jù)弦長列出方程組求出即可.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，因為圓的圓心為，與原點連線的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點，，①所以所求圓的半徑滿足，又被y軸截得的弦長為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：14、【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出實數(shù)的值.詳解】由直線和互相平行，得，即.故答案為：.15、##【解析】根據(jù)兩直線垂直得，即可求出答案.【詳解】由直線與直線垂直得，.故答案為：.16、【解析】設(shè)球的半徑為，則球的大圓的半徑為，根據(jù)圓的面積公式列方程求出，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的大圓的半徑為，所以球的大圓的面積為，可得，所以該球的表面積為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)把點的坐標(biāo)代入方程即可；(2)設(shè)直線方程，解聯(lián)立方程組，消未知數(shù)，得到一元二次方程，再利用韋達(dá)定理和已知條件求斜率.【小問1詳解】因為拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，所以設(shè)拋物線方程為又因為點在拋物線C上，所以，解得，所以拋物線的方程為；【小問2詳解】拋物線C的焦點為，當(dāng)直線l的斜率不存在時，，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，設(shè)直線l交拋物線的兩點坐標(biāo)為，，由得，，，，由拋物線得定義可知，所以，解得，即，所以直線l的方程為或18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意可以求出橢圓的焦點，再根據(jù)橢圓的離心率公式，求出的值，然后結(jié)合橢圓的關(guān)系求出，最后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）根據(jù)平面向量共線定理可以得出A，B兩點橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再設(shè)出直線AB方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出直線AB的斜率，最后根據(jù)三角形面積結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求出的面積.【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，又，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（Ⅱ）設(shè)，，由得：，驗證易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為聯(lián)立橢圓方程，得：，整理得：，得：，將代入得，所以的面積.【點睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求直線斜率和三角形面積問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、（1）（2）【解析】設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點軸時，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因為直線的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時.所以點到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時取等號，滿足所以的面積最大時直線的方程為：或.【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.20、（1）條件選擇見解析，，，（2）【解析】（1）選①，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得，并可求得、；選②，推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得，可求得，由此可得出、；（2）求得，，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合并項求和法以及等比數(shù)列求和公式可求得.【小問1詳解】解：若選①，，且，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，故；若選②，，所以，，且，故數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，，故，所以，，故，.【小問2詳解】解：由（1）可知，則，所以，.當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，.綜上所述，.21、（1）（2）【解析】（1）由條件因式分解可得，從而得到，即可得出答案.（2）由（1）可得，由錯位相減法求和得到，由題意即即對恒成立，分析數(shù)列的單調(diào)性，得出答案.【小問1詳解】由，得∵∴∴∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.∵，∴.【小問2詳解】由（1）知，∴∴①∴②①-②得∴∴由對恒成立得對恒成立即對恒成立，又是遞減數(shù)列∴時得到最大值∴，即∴的取值范圍是.22、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】(1)設(shè)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式用N的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入圓M的方程化簡即可得N的軌跡方程；(2)假設(shè)存在，設(shè)M為(m，0)，設(shè)直線l斜率為