2025屆廣州市番禺區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆廣州市番禺區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．【山東省濰坊市二?！恳阎p曲線的離心率為，其左焦點為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．設(shè)函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.3．已知拋物線的焦點為F，點A在拋物線上，直線FA與拋物線的準(zhǔn)線交于點M，O為坐標(biāo)原點.若，且，則（）A.1 B.2C.3 D.44．已知數(shù)列滿足，且，那么（）A. B.C. D.5．為迎接第24屆冬季奧運會，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個項目的志愿者，每個比賽項目至少安排1人，每人只能安排到1個項目，則所有排法的總數(shù)為（）A.60 B.120C.150 D.2406．在等差數(shù)列中，為其前項和，若．則（）A. B.C. D.7．設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A. B.C. D.8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸人的（）A. B.或C. D.或9．已知數(shù)列中，，，是的前n項和，則（）A. B.C. D.10．直線分別與曲線，交于，兩點，則的最小值為（）A. B.1C. D.211．從某個角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.12．如圖所示，向量在一條直線上，且則()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知經(jīng)過兩點，的直線的斜率為1，則a的值為___________.14．已知點和，圓，當(dāng)圓C與線段沒有公共點時，則實數(shù)m的取值范圍為___________15．已知點，為拋物線：上不同于原點的兩點，且，則的面積的最小值為__________.16．若雙曲線的漸近線與圓相切，則該雙曲線的實軸長為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記為數(shù)列的前項和，且（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和18．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求取值范圍.19．（12分）已知橢圓的左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標(biāo)原點；（2）設(shè)點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程20．（12分）已知橢圓的一個焦點是，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的直線交于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，求的取值范圍.21．（12分）已知圓C的圓心為，一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上（1）求圓C的方程；（2）直線l：與圓C相交于M，N兩點，P（異于點M，N）為圓C上一點，求△PMN面積的最大值22．（10分）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答（若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分）.①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的一個方向向量為；已知直線l過點，且___________.（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓C：相交于M，N兩點，求弦長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：根據(jù)題設(shè)條件，列出方程，求出，，的值，即可求得雙曲線得標(biāo)準(zhǔn)方程詳解：∵雙曲線的離心率為，其左焦點為∴，∴∵∴∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選D.點睛：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題設(shè)條件求出，，的值是解決本題的關(guān)鍵.2、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在的單調(diào)性，進而由單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以，而，所以.因為，且，所以.即.故選：A3、D【解析】設(shè)，由和在拋物線上，求出和，利用求出p.【詳解】過A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為.設(shè)，因為，所以，解得：.因為在拋物線上，則.所以，即，解得：.故選：D4、D【解析】由遞推公式得到，，，再結(jié)合已知即可求解.【詳解】解：由，得，，又，那么故選：D5、C【解析】結(jié)合排列組合的知識，分兩種情況求解.【詳解】當(dāng)分組為1人,1人,3人時，有種，當(dāng)分組為1人，2人，2人時有種，所以共有種排法.故選：C6、C【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得.故選：C.7、A【解析】由周期函數(shù)得，再由奇函數(shù)的性質(zhì)通過得結(jié)論【詳解】∵函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，∴，而，又函數(shù)為奇函數(shù)，∴．故選A【點睛】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．此類題型，求函數(shù)值時，一般先用周期性化自變量到已知區(qū)間關(guān)于原點對稱的區(qū)間，然后再由奇函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)值8、A【解析】根據(jù)題意可知該程序框圖顯示的算法函數(shù)為，分和兩種情況討論即可得解.【詳解】解：該程序框圖顯示得算法函數(shù)為，由，當(dāng)時，，方程無解；當(dāng)時，，解得，綜上，若輸出的，則輸入的.故選：A.9、D【解析】由，得到為遞增數(shù)列，又由，得到，化簡，即可求解.【詳解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，得，即，又由是的前項和，則.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列求和問題，關(guān)鍵在于由已知條件得出，運用裂項相消求和法.10、B【解析】設(shè)，，，，得到，用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：設(shè)，，，，則，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，函數(shù)的最小值為1，故選：B11、B【解析】設(shè)出雙曲線方程，把雙曲線上的點的坐標(biāo)表示出來并代入到方程中，找到的關(guān)系即可求解.【詳解】以O(shè)為原點，AD所在直線為x軸建系，不妨設(shè)，則該雙曲線過點且，將點代入方程，故離心率為，故選：B【點睛】本題考查已知點在雙曲線上求雙曲線離心率的方法，屬于基礎(chǔ)題目12、D【解析】根據(jù)向量加法的三角形法則得到化簡得到故答案為D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】根據(jù)經(jīng)過兩點的直線斜率計算公式即可求的參數(shù)a﹒【詳解】由題意可知，解得故答案為：614、【解析】當(dāng)點和都在圓的內(nèi)部時，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系得出實數(shù)m的取值范圍，再由圓心到直線的距離大于半徑得出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】當(dāng)點和都在圓的內(nèi)部時，，解得或直線的方程為，即圓心到直線的距離為，當(dāng)圓心到直線的距離大于半徑時，，且.綜上，實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：15、【解析】設(shè)，，利用可得即可求得，利用兩點間距離公式求出、，面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】設(shè)，，由可得，解得：，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的面積的最小值為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是設(shè)，坐標(biāo)，采用設(shè)而不求的方法，將轉(zhuǎn)化為，求出參數(shù)之間的關(guān)系，再利用基本不等式求的最值.16、【解析】由雙曲線方程寫出漸近線，根據(jù)相切關(guān)系，結(jié)合點線距離公式求參數(shù)a，即可確定實軸長.【詳解】由題設(shè)，漸近線方程為，且圓心為，半徑為1，所以，由相切關(guān)系知：，可得，又，即，所以雙曲線的實軸長為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用，再結(jié)合等比數(shù)列的概念，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可知數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，解得；當(dāng)且時，所以所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，所以，又,所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項和.18、（1）或；（2）.【解析】（1）解不含參數(shù)的一元二次不等式即可求出結(jié)果；（2）二次函數(shù)的恒成立問題需要對二次項系數(shù)是否為0進行分類討論，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，即，解得或，所以，解集為或.（2）因為在上恒成立，①當(dāng)時，恒成立；②當(dāng)時，，解得，綜上，的取值范圍為.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點，即可證明直線必過坐標(biāo)原點（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達；根據(jù)條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進而可得到點在以為直徑的圓上運動，從而可求出動點的軌跡方程【小問1詳解】設(shè)，則，即因為，，所以因為，所以，所以.同理可證.因為，，所以四邊形為平行四邊形，因為為的中點，所以直線必過坐標(biāo)原點【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因為，所以，因為，解得或.當(dāng)時，直線的方程為過點A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點.當(dāng)直線的斜率不存在時，因為，所以直線的方程為，經(jīng)驗證，符合題意.故直線過定點.因為為的中點，為的中點，所以過定點.因為垂直平分公共弦，所以點在以為直徑的圓上運動，該圓的半徑，圓心坐標(biāo)為，故動點的軌跡方程為．20、（1）（2）【解析】（1）由條件可得，，然后可得答案；（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后算出中點的坐標(biāo)，然后可得線段的垂直平分線方程，然后可得，然后可求出答案.【小問1詳解】因為橢圓的一個焦點是，且離心率所以，，所以所以橢圓的方程為【小問2詳解】顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，所以所以中點的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為所以線段的垂直平分線方程為令，可得當(dāng)時，當(dāng)時，，因為，所以綜上：21、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)直徑兩端點分別為，，由中點公式求參數(shù)a、b，進而求半徑，即可得圓C的方程；（2）利用弦心距、半徑、弦長的幾何關(guān)系求，再由圓心到直線l的距離求P到直線l的距離的最大值，即可得△PMN面積的最大值【小問1詳解】設(shè)直徑兩端點分別為，，則，，所以，，則圓C半徑，所以C的方程為【小問2詳解】圓心C到直線l的距離，則，點P到直線l的距離的最大值為，所以，△PMN面積的最大值為22、（1）若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為；（2）若選擇①②，則；若選擇③，則.【解析】（1）根據(jù)所選擇的條件，結(jié)合直線過點，即可寫出直線的方程；（2）利用（1）中所求直線方程，以及弦長公式，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】若選①與直線平行，則直線的斜率；又其過點，故直線的方程為，