2021屆人教a版平面向量 單元測試 (一)

平面向量

一、單選題

1.如圖，在aABC中，0為BC中點，若AB=LAC=3,＜而狂＞=60°，貝！||毓|=()

A.1B.2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的中點坐標(biāo)公式即可得出麗=:(海+M)，兩邊再作數(shù)量積即可得出.

【詳解】

據(jù)題意，。為BC中點，所以陽(Km+*),

1____113

OA?-4(AB2+2AB-AC+AC2)=4(12+2X1X3Xcos60°誼)=；；

所以姮.故選c.

2

【點睛】

熟練掌握向量的中點坐標(biāo)公式即可得出同=；(川豆+元)及數(shù)量積運算是解題

的關(guān)鍵.

2.已知“是A4BC的8c邊上的中點，若向量通=辦，*=萬，則向量戒等于

()

A.—6)B.c.D.-gk+6)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，以及平行四邊形的性質(zhì)可得，a+h=2AM，解出向

量AA/?

【詳解】

根據(jù)平行四邊形法則以及平行四邊形的性質(zhì)，

AM'=-(AB+AC)=-(a+b).

22

故選C.

【點睛】

本題考查向量加法的平行四邊形法則以及平行四邊形的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識

的理

解掌握水平和分析推理能力.

3.已知平面向量￡和行的夾角為60,￡=(2,0)，W=l,則,+21=()

A.20B.12C.46D.2G

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】

?.也=(2,0),.?.同=2，又忖=1,ah-2xlxcos60°=1，

W+2年=同，協(xié)5+4忖=4+4+4=12,卜+2q=2百,選D.

4.設(shè)是不共線的兩個非零向量，己知AB-2a+ph,BC-a+b,CD=a-2h,

若A,B,D三點共線，則〃的值為()

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】

因為A,8,O,故存在實數(shù)2,使得麗麗,利用平面向量基本定理可得關(guān)于4。

的方程組，從而可求P.

【詳解】

因為A,8,C,故存在實數(shù);I,使得而=/麗，又而=22-B，

所以2G+=2/H-/15,故4=1,p=-l,故選D.

【點睛】

本題考查共線向量定理和平面向量基本定理，屬于容易題.

5.已知向量。=0,2),5=(1,0),乙=(4,一3).若彳為實數(shù)且(5+4)_1乙則，=

()

11

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】B

【解析】

試題分析：4+45=(1+/1,2)，因為(G+4)_LC,則

伍+九5卜3=4(1+2)-6=0,2=-^,選B；

考點：向量的坐標(biāo)運算；

6.向量G=(2,3),3=(-1,2),若〃立+B與￡—25平行，則相等于()

11

A.-2B.2C.—D.——

22

【答案】D

【解析】

試題分析：因為加1+5=(2m—1,3加+2),a—2b=(4,-1),所以

-(2m-1)=4(3/M+2)m=——,選D.

2

考點：向量平行

【思路點睛】(1)向量的坐標(biāo)運算將向量與代數(shù)有機結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)

合提供了前提，運用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)問題.

(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)

合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解

決這類問題的一般方法.

(3)向量的兩個作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，

轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距

離問題.

7.已知平面向量而，前的模都為2,AB,AC=90\若兩=2碇(2w0),則

AM-(AB+AC)=()

A.4B.73C.2D.0

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題中所給的條件，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可知點M在直線AB上(B點除外)運

動，寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)和直線的方程，求得向量的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運算式,

求得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，以AB為％軸，AC為丁軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,0),B(2,0),C(0,2),如圖所示:

設(shè)用(x,y),則赤=(x,y),而+/=(2,2),

所以而?(而+〃)=2(x+y),

而直線BC的方程為x+y=2且M在直線BC上，

所以麗晨(麗+4心)=2(x+y)=4,

故選A.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)向量的數(shù)量積的求解問題，在解題的過程中，注意將向量坐標(biāo)化是解

決此類問題的方法，屬于簡單題目.

8.AABC的外接圓的圓心為O,半徑為2,04+A8+AC=0且|Q4|=|AB|,則向量

3在無方向上的投影為()

A.百B.3C.—y/iD.-3

【答案】A

【解析】

...—???

試題分析：設(shè)民C的中點為由OA+AB+AC=()得。4=2M4,作出輔助圖易得

四邊形ABCO為菱形且ZACB=30°,故向量不在而方向上的投影為

CAcosZACB=2xcos300=6

考點：向量的數(shù)量積、投影

9.在AABC中，向量幾和人"滿足(A%+ZZ)?說=0，則△48。為()

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.三邊不等的三

角形

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)AABC中，立=就」代入已知式子中，化簡得AB=4C，所以AABC為

等腰三角形.

【詳解】

解：AABC中，BC=AC-AB,

=（A8+AC）?BC=O，

二（A8+AC）（AC-A8）=0，

t2->2->->

AB=AC=>AB=AC,

.1△ABC為等腰三角形.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角形形狀的判斷，以及平面向量的線性運算的應(yīng)用.

（出、

io.已知向量a=（i,石），=（3,m）,c--1,--',且5〃乙，則向量1,5的夾

角為（）

n2R*5兀

A.-B.-C.----D.—

3636

【答案】B

【解析】

【分析】

先由方〃章求出”的值，然后再根據(jù)向量的數(shù)量積求出夾角.

【詳解】

Vb=（3,m）,c=—1,——,b//c

m=\/3，

設(shè)向量萬,5的夾角為e,

.abIx3+V3x73V3

則8也麗=2x2石F

又

。=軍.

6

故選B.

【點睛】

利用向量的數(shù)量積可解決夾角問題，求解時可先求出夾角的余弦值，然后再求出夾角的

值，體現(xiàn)了向量的工具性的作用，解答此類問題時容易忽視標(biāo)明夾角的范圍，屬于基礎(chǔ)

題.

11.尸是雙曲線仁鳥-衛(wèi)=1（4>0,。>0）的左焦點，“是雙曲線右支上一點，直線

arb~

切圓J?+y2="于點"，而+0必=2兩，則。的離心率是（）

A.V5B.2C.73D.V2

【答案】A

【解析】

【分析】

由而+0貶=2麗得N是尸M的中點，從而可得AMFE（乙是右焦點）中，

\MF2\^2a,MF2LMF,\MF\=4a,由勾股定理得出。工關(guān)系，求得離心率.

【詳解】

:爐+而=2麗，XN是的中點，鳥是右焦點，則。是耳工中點，六

ON//F2M,

：雙是切點，，|咖|=。，ON±FM,：.\MF2\=2a,MF2±MF,

又由~\MF2\=2a得|MF|=4a,

(4a)2+(2a)2=(2c)2,J.e——=也.

a

故選：A.

【點睛】

本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量加法法則得出N是ME的中點，這樣

可確定焦點三角形&0R鳥是直角三角形，兩直角邊長分別為2a,4。（結(jié)合雙曲線定義）,

由勾股定理建立a，c的關(guān)系式.

12.雙曲線C：與_方=1,（。＞0,。＞0）的左、右焦點分別為F1,尸2,為雙曲線

左支上一點，且?（西+麗）=0（0為坐標(biāo)原點），cosNPF2K=g,則雙曲線C

的離心率為（）

.475

A.5B.—C.—D.一

352

【答案】A

【解析】

【分析】

取P4的中點為"，則。必=；（。［+。戶），根據(jù)題意可得兩，兩，貝IJ

—,4

由ZPFE可求出。，c,從而求得離心率.

PFXLPF2,cos=g

【詳解】

如圖，取的中點為M，則。必=：（西+。戶），

由所?（西+而）=0,得巨耳。W=0,即所_LQM：

因為O河為△尸耳居的中位線，所以兩

由cos/PEI=；設(shè)忸用=4,貝|」|耳閭=5,|尸用=3,

所以卜|耳卜

2a=|PgP1,2C=\FXF2\=5,

2c

得。的離心率為e=—=5.

2a

故選：A.

【點睛】

本題考查垂直關(guān)系的向量表示，中位線的性質(zhì)，求雙曲線的離心率，屬于中檔題.

二、填空題

13.設(shè)向量a=（加,1）石=（1,2）,且,+q=|a|+|S|,則實數(shù)m=.

【答案】-2

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件求得2d,結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算列方程，解方程求得〃?的值.

【詳解】

由于口+q=|不+|甲，即用+|邛+275=忖2+|印，所以￡%=(),

所以。?。=旭+2=0，解得，〃=—2.

故答案為：-2

【點睛】

本小題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知向量@=(3,/")，5=(-2,777+2),若歷則"?=.

【答案】-：

【解析】

【分析】

由題得3(，"+2)=-2巴解方程即得解.

【詳解】

因為2|歷，所以3(〃?+2)=-2"，解得機=-2.

故答案為一與

【點睛】

本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)

題.

15.長為3的線段AB的端點A、B分別在x、y軸上移動，動點C(x,y)滿足就=2CB,

則動點C的軌跡方程是

【答案】x2+2-=l

4

【解析】

試題分析：動點C(x,y)滿足AC^2CB,則5(0,1j),A(3x,0)

QV2

根據(jù)題意得9%2+=y2=9,即/+2-=1.

44

2

則點C的軌跡方程是橢圓f+匕=1.

4

2

故答案為f+2-=l

4

考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

16.已知雙曲線。：=―5=13>0力>0)的左、右焦點分別為K，過尸2作斜

a~b"

率為，的直線與曲線C交于點P,若麗?郎=0,則雙曲線。的離心率為一.

【答案】75

【解析】

分析：尸工的方程為y=2(x—c),2月的方程y=—f(x+c),聯(lián)立求出點尸的坐標(biāo)

cib

(b2~a2lab'

為------,——，代入雙曲線方程，化簡即可得結(jié)果.

I。c)

b

詳解：取雙曲線的漸近線為y=-x,

a

?.由(-c,0)，E(c,0),

???過F2作斜率為-的PF2的方程為y=-(x-c),

aa

因為三耳?%=0

所以直線夕耳的方程y=—f(x+c),

b

b、

y=_((X-C)

b1-a22ab、

聯(lián)立方程組《”,可得點P的坐標(biāo)為

<c,c,

y=--\x+c)

b2-

?.?點P在雙曲線上,

b2

即僅一一少)4a2

22

ac

2

c2—2c〃/、”=1，

c2=a2+b2,：.

ac,c~

整理得。2=5〃，...eMfALr.en逐，故答案為JL

a

點睛：本題主要考查雙曲線的方程、性質(zhì)及離心率，屬于難題,離心率的求解在圓錐曲

線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出。，。，從

而求出e；②構(gòu)造c的齊次式，求出e；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求

解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.

三、解答題

17.已知向量日=(1,@石=(—2,0).

(I)求Z—石的坐標(biāo)以及萬與￡之間的夾角;

(2)當(dāng)1,1]時，求忖一間的取值范圍.

【答案】(1)(3,⑹(2)[A/3,2^]

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)向量的減法運算法則求出的坐標(biāo)，再用向量夾角公式即可求出3-/；與￡

之間的夾角；(2)利用向量的模的計算公式求出它一用再根據(jù)二次函數(shù)知識求出范

圍.

【詳解】

(1)a-b==(3,^].所以力的坐標(biāo)為(3,

設(shè)與￡之間的夾角為。，

(如一小3X]+G〉6_G77

則cos8=而owew],故。=一.

忖一胴"V9+3xViT3-26

(2)va-S=(I>^)-r(-2>0)=(1+2/,75),

在一1,一；上遞減，在一;」上遞增，所以/=一：時，,一例最小值為百，

f=l時，W最大值為25故口一回的取值范圍為[6,26].

【點睛】

本意主要考查兩個向量的夾角公式應(yīng)用，向量的模的定義及求法，以及利用二次函數(shù)的

單調(diào)性求函數(shù)取值范圍，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.

18.已知向量：a=(2^3sinx,cosx+sinx),=(cosx,cos-sinJC),函數(shù)

f(x)=a-b.

(1)求函數(shù)/(x)的最大值，并寫出取得最大值時自變量》的集合;

(2)寫出函數(shù)y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間.

TTI7171

【答案】(1)2)\x\x--+k7i,k^Z\?(2)——+k7r,—+k7r,keZ.

I6JL36.

【解析】

【分析】

⑴利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、降幕公式和輔助角公式可得〃x)=2sin(2x+J

結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得/(x)的最大值及取最大值時x的集合.

(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求/(x)的增區(qū)間.

【詳解】

(1)/(x)=a-h=2A/3sinxcosx+(sinx+cosx)(cosx-sinx)

=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+?),

故7(x)的最大值為2,取最大值時2x+工=2Qr+工次EZ即工=丘+工,丘Z,

626

所以取最大值時自變量X的取值集合為卜Ix=看+"ez}.

TTTTTC

(2)令2kjr---<2xd——<2k7v-\——,keZ,

262

解得女萬一］<尤《左1+1,女eZ,故的增區(qū)間為：-彳+A4,彳+A萬,k&Z.

【點睛】

形如/(x)=Asin2cox+Bsinaixcoscox+Ccos2a)x的函數(shù)，可以利用降累公式和輔

助角公式將其化為/(x)=A'sin(2ox+o)+B'的形式,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的討論方法求

該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱軸方程和對稱中心等.

19.如圖示，P是以AB為直徑的圓的下半圓弧上的一動點(異于A、B兩點)，C、D

分別為A、8在過點P的直線/上的射影(A、B在直線/的上方)，記NABP=e,

NPBD=/3,向量j〃直線/.

（1）若AB=2,求AA6P面積S的最大值及S取得最大值時a的值；

（2）若AB=2,用〃?表示向量而、而在向量j方向上的投影之和的絕對值，試問

a、4滿足什么條件時，加有最大值？

（3）若AC=1,BD=6Z?=10°,求AP-3P的值.

【答案】（l）a=（時，Smin=1；（2）a+/=3時，加的最大值等于2；（3）4

【解析】

試題分析：（1）先由直徑所對的圓周角為直角得到三角形的形狀，再利用三角函數(shù)的定

義和面積公式進行求解；（2）利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義進行求解；（3）先由直

角三角形中的三角函數(shù)定義求得相關(guān)邊長，再由三角恒等變換進行求解.

試題解析：（1）由AB為直徑得圓周角NAPB=9（y＞，

S=；（2sinc）42cosa）=sin2?,

?."ae（0,9，2ae（0㈤

jrTT

所以當(dāng)2a=—,即a=:時，5=1.

24min

（2）由mAACP與RrAPOB相似得NAPC=，，又N6尸O=,一，，

所以機=||AP|cos^AP,f^+|尸3kos

=||AP|COS(初川+||國cos(國T)

=畫cos(Q,現(xiàn)+冏cos(函⑦

=2sinacos-+2cosasin/7=2sin(a+/?)

,:a+B=ZABDe(0,")

TT

所以當(dāng)a+/=,時，加的最大值等于2

(法二)顯然/(")也等于向量而在向量麗方向上的投影

所以〃⑶二畫COS(福叫=JA尸+PB2cos(福①)=2cos(福⑦

當(dāng)cos(福，①)=0即向量福，亞共線且同向時，加有最大值2,此時。+尸

(3)由相似三角形得NP5￡>=NAPC=10°，由直角三形得

AP=—^,PB=^~^，

sinlOcoslO0

16

所以AP-PB=

sinlO0coslO0

4—cosl0°--sin100

coslO0-V3sin10°_(22,

sinlO°coslO()2sinl0°coslO0

0(,

4(sin30°coslO-cos30°sinl0)4sin(30°-10°)4sin20O=4

sin20°-sin20°-sin20°

20.已知A(—2,l),8(1,3),求線段AB的兩個三等分點的坐標(biāo).

【答案】Q(0,7

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示，計算可得.

【詳解】

解：2,1),5(1,3),AB=05-04=(1,3)-(-2,1)=(3,2),

如圖，設(shè)P(wx),。(尤2，%)是線段45的兩個三等分點，且入戶=gA月,

AQ=^AB,

：.OP-OA=^AB,:.OP=OA+^AB^(-2,1)+1(3,2)=(—1,|),

點尸的坐標(biāo)是(―1,1)

同理，麗=厲+^^=(-2,l)+g(3,2)=(0,g),

二點Q的坐標(biāo)為(0,()

【點睛】

本題考查定比分點坐標(biāo)的計算，平面向量線性運算的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

21.已知向量4二(3,2),5=(—1,3),c=(5,2).

⑴求6a~\~b—2c;

(2)求滿足1="?5+〃忑的實數(shù)相，n；

⑶若(M+依)〃(25—1),求實數(shù)k.

4

m=—,

1711

【答案】⑴(7,11)⑵；⑶人一段

n--.

17

【解析】

【分析】

⑴由已知向量的坐標(biāo)即可求出6a+tr-2c的坐標(biāo)；

(2)把相石+晶的坐標(biāo)求出，再利用向量相等，即可求出實數(shù)加，〃.

(3)分別寫出￡+丘與的坐標(biāo)，再利用向量平行的條件即可求得實數(shù)

【詳解】

(1)6a+h-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)

=(18,12)+(-1,3)-(10,4)=(7,11)

(2)Va=mh+nc，

^3,2^--—1,3)+72^5,2^—?(—m+5〃,3"?+2〃).

4

m=—,

一加+5〃=3,17

ccc解得

3m+2〃=2,11

n=-,

17

(3),:(a+Zc)//(25+ZtF=G+5左,2+2攵),2?—5,4).

:.4x(3+5k)—(—5)x(2+2k)=0,

15

【點睛】

本題主要考查的是向量的坐標(biāo)運算，以及向量相等、向量平行的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點，M為平面上任一點，A,