2021北京高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：立體幾何(一)

2021北京高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：立體幾何

選擇題（共9小題）

1.（2020秋?東城區(qū)期末）將正方體去掉一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，該幾何體的側(cè)（左）視圖為（）

2.（2020秋?順義區(qū)期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

112

A.-B.-C.1D.-

363

3.（2020秋?房山區(qū)期末）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積是（）

俯視圖

1/25

A-IB.4D.8

4.（2020秋?豐臺(tái)區(qū)期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.8+2近B.11+2返C.11+26D.14+2播

5.（2020秋?海淀區(qū)期末）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為（）

3

4正（主）視圖側(cè)"（左）視圖

俯視圖

A.2B.4C.6D.12

6.（2020秋?昌平區(qū)期末）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.4B.5C.472D.國(guó)

7.（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，是。。的直徑，尸4垂直于。。所在平面，C是圓周上不同于4,B兩點(diǎn)

的任意一點(diǎn)，且N5=2,PA=BC=y/3,則二面角4-8C-尸的大小為（）

2/25

8.（2020秋?石景山區(qū)期末）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

口q

r21?廠+-j,1

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

A.-B.-C.-D.2

633

9.（2020秋?通州區(qū)期末）如圖，等腰直角A/18C中，AC=BC=2，點(diǎn)P為平面45C外一動(dòng)點(diǎn)，滿足尸8=48,

ZPBA=-,給出下列四個(gè)結(jié)論：

2

①存在點(diǎn)P,使得平面尸/CJ,平面P8C；

②存在點(diǎn)尸，使得平面PAC1平面PAB；

③設(shè)AP/C的面積為S,則S的取值范圍是（0,4］：

④設(shè)二面角/-尸8-C的大小為a，則a的取值范圍是（0,生］.

4

其中正確結(jié)論是（）

一

C

A.①③B.①④C.②③D.②④

二.填空題（共1小題）

3/25

10.（2020秋?西城區(qū)期末）一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為.

正住）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

三.解答題（共9小題）

11.（2020秋?通州區(qū)期末）如圖，四棱柱48cQi中，底面為矩形，0Al平面,E,尸分

別是84，OG的中點(diǎn)，DA=1,DC=DDt=2.

（I）求證：EF"平面4BCD；

（ID求直線。G與平面口。所成角的正弦值.

12.（2020秋?東城區(qū)期末）如圖，在四棱錐尸-N8C。中，尸。_1,平面48。＞,PD=4,底面488是邊長(zhǎng)為2的

正方形，E,尸分別為PB,尸C的中點(diǎn).

（I）求證：平面ZOE_1.平面PC。；

（II）求直線8尸與平面所成角的正弦值.

13.（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四面體ABCD中，E,F,M分別是線段BD,4C的中點(diǎn),

AABD=ZBCD=90°,EC=&,AB=BD=2.

4/25

(I)證明：EM"平面BCD；

(II)證明：EF_L平面8。；

(III)若直線EC與平面48c所成的角等于30。，求二面角/-CE-8的余弦值.

14.(2020秋?順義區(qū)期末)在三棱柱/8C-481G中，Cq_L平面NBC,AB1AC,AB=AC=AAt,E是4G的

中點(diǎn).

(I)求證：ABICE；

(II)求二面角8-CE-1的余弦值.

15.(2020秋?房山區(qū)期末)如圖，在四棱錐尸-/8C￡>中，ABAD=90°,AD/IBC,PALAD,PAYAB,

PA=AB=BC=-AD=2.

2

(1)求證：8C//平面P4D；

(II)求平面P/8與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

16.(2020秋?西城區(qū)期末)如圖，在直三棱柱/BC-481G中，AB=AC=2,14=4,AB1AC,BE工償交

于點(diǎn)E,。為CG的中點(diǎn).

(I)求證：8E_L平面ABtC；

5/25

(II)求二面角c-/q的余弦值.

17.(2020秋?朝陽(yáng)區(qū)期末)如圖，在四棱錐P-Z8cD中，底面X8CZ)為菱形，平面尸4。_L平面/8CD,PALPD,

PA=PD,ZBAD=-,￡是線段的中點(diǎn)，連結(jié)8E.

3

(I)求證：BE工PA；

(II)求二面角/-PO-C的余弦值；

PP

(III)在線段尸8上是否存在點(diǎn)尸，使得EE//平面尸8?若存在，求出2的值；若不存在，說(shuō)明理由.

PB

18.(2020秋?豐臺(tái)區(qū)期末)如圖，在三棱柱Z8C-/4G中，側(cè)面/和8CG4都是正方形，平面48片4,平

面BCC、B、,D,E分別為BB-AC的中點(diǎn).

(I)求證：3E//平面48；

(II)求直線8萬(wàn)與平面4。。所成角的正弦值.

19.(2020秋?昌平區(qū)期末)如圖，在四棱錐尸-/8CO中，PD_L平面，AB//CD,ADLCD,且

AD=CD=PD=2AB=2.

6/25

(I)求證：/8_L平面尸/O；

(11)求二面角尸-8C-4的余弦值.

7/25

2021北京高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：立體幾何

參考答案

選擇題（共9小題）

1.【分析】將幾何體補(bǔ)充為正方體，結(jié)合圖形得出該幾何體的側(cè)（左）視圖.

【解答】解：將幾何體補(bǔ)充為正方體，如圖1所示：

圖1

則該正方體去掉這個(gè)四棱錐，得到的幾何體的側(cè)（左）視圖如圖2所示:

圖2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體三視圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直觀想象能力，是基礎(chǔ)題.

2.【分析】判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可.

【解答】解：由題意可知幾何體是三棱錐，是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，所以幾何體的體積為：lx」xlxlx2=L

323

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀，是基礎(chǔ)題.

3.【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的體積.

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為底面為邊長(zhǎng)為友的正方形，高為2的四棱錐體;

8/25

如圖所示:

所以JZ=，X&X血x2=±

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和直觀圖形之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力

和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的表面積.

【解答】解：根據(jù)三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為四棱柱體.

所以S表=2x；x(l+2)xl+2x2+2xl+2xl+2x&=11+23.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的表面積公式的應(yīng)用，主要考查

學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的體積.

【解答】解：由三視圖可知，該三棱錐的頂點(diǎn)為正方體的頂點(diǎn)，

其直觀圖如圖所示：

9/25

32

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式，主要考查運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

6.【分析】作出棱錐的直觀圖，根據(jù)勾股定理計(jì)算各棱長(zhǎng)得出結(jié)論.

【解答】解：作出三棱錐的直觀圖如圖所示：

三棱錐是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，

且ZC=4,BA=3,AD=4,

DC=472,BC=5,BD=5.

該三棱錐的最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為40.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了常見(jiàn)幾何體的三視圖，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

7.【分析】以“為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)/作4c的垂線為x軸，/C為y軸，4尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

利用向量法能求出二面角4-5C-尸的大小.

【解答】解：,.?/8是0。的直徑，尸/垂直于0。所在平面，C是圓周上不同于8兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，

且”=2,PA=BC<,

ACLBC,ACAAB。-BC。=J4-3=1,

以N為原點(diǎn)，在平面/8C內(nèi)過(guò)/作AC的垂線為x軸，/C為y軸，4P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

尸（0,0,百），8（百，1,0）,C（0,1,0）,

10/25

麗=(0,1,-0)，PC=(O,1,-揚(yáng),

設(shè)平面尸8C的法向量方=(x,y,z),

n?PB=下>x+y-Viz=0

則,取z=l,得萬(wàn)=(0,6，1),

n-PC=y->/3z=0

平面/8C的法向量比=(0,0,1),

設(shè)二面角4-BC-P的平面角為6,

則cos”叵包

0=60°,

|m|.|n|2

二面角A-BC-P的大小為60°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的大小的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理

論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

8.【分析】棱錐的底面積為俯視圖三角形的面積，棱錐的高為1,代入體積公式計(jì)算即可.

【解答】解：由三視圖可知幾何體為三棱錐，棱錐的底面為俯視圖三角形，面積為5=-x2x2=2,棱錐的高h(yuǎn)=\,

2

117

棱錐的體積展—S〃=-x2xl=—.

333

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱錐的三視圖和體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.【分析】①根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷，

②根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷，

③根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行判斷，

④根據(jù)二面角的定義進(jìn)行求解即可.

11/25

【解答】解：①當(dāng)P818c時(shí)，又PBL4B,BC^AB=B,所以尸8_L平面Z8C,所以P8_L4ZC,

又NC18C,PB[yBC=B,

所4C_L平面P8C,又力Cu平面以C,所以平面P/CJ_平面P8C,故①正確；

②取4P的中點(diǎn)M,連接8A1,CM,因?yàn)镻B=4B,所以MB14P,假設(shè)平面尸/CJ.平面PN3,則M8_L平

面尸ZC,

則A"JLCN,而SA/=8C=2,NBMC*90°,不成立，故②錯(cuò)誤；

③因?yàn)榱κ?所以

4,AC=2,S4P“=；ZP-/CsinNP/C=4sinNP/C,

當(dāng)點(diǎn)尸在A48c平面上，且C,P在4,8的異側(cè)，

NP4c=90。,當(dāng)C,P在4,8的同側(cè)時(shí)，A,C,尸共線，NP4c=0。，

因?yàn)辄c(diǎn)P為平面N8C外，則S的取值范圍是（0,4）,故③錯(cuò)誤；

④因?yàn)镹/8C=45。，當(dāng)點(diǎn)尸在平面N8C內(nèi)時(shí)，a=0,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)/到平面P8C的距離為〃，

因?yàn)槭瑒t4江=也，則a的取值范圍是（0,-],故④正確，

ABAB24

故正確的是①④，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間面面垂直的判斷，二面角的求解，利用相應(yīng)的判定定理以及

公式是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

填空題（共1小題）

10?【分析】首先把三視圖和直觀圖形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步求出幾何體的棱長(zhǎng).

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐體；

如圖所示：

12/25

所以Z8=2,BC=CD=2,BD=y/22+22=272,/￡>=J(2夜>+22=26,

所以最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為26.

故答案為：26.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和直觀圖形之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的棱長(zhǎng)的運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能

力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題(共9小題)

11.【分析】(I)取8的中點(diǎn)G,連接FG,BG可得四邊形FG8E是平行四邊形.EF//BG.即可證明結(jié)論.

(II)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DC,DD、為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-砂z.求得平面

區(qū)4。的法向量，利用向量夾角公式求解.

【解答】解：(1)證明：取C。的中點(diǎn)G,連接尸G,BG

因?yàn)槭?。G的中點(diǎn)，所以EG//CG，=

因?yàn)镋是84的中點(diǎn)，所以E8//CC，BE=；CC-

所以FG//BE,GF=BE.

所以四邊形FG8E是平行四邊形.

所以EF//BG.

因?yàn)轷臗平面/BCD,8Gu平面48。。，

所以EF//平面ABCD.

(H)因?yàn)榈酌鍺8C。為矩形，OZ)1_L平面Z8CQ,

所以O(shè)N_LDC,DDt1DA,DD,1DC,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線。/,DC,DD、為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-個(gè).

因?yàn)?。Z=l,DC=DD,=2,

13/25

所以。(0,0,0),4(1,0,0),￡(1,2,1),G(0，2,2).

所以刀=(1,0,0),DE(1,2,1),西=(0,2,2).

設(shè)平面￡4。的法向量為方=(x,y,z),

所以，.竺°即廠=。令y=l,則z=-2.

ii-DE=0[x+2y+z=0'

所以力=(0,1,-2).

____?Jio

所以cos<DC.f為>=—產(chǎn)—產(chǎn)=------?

272x7510

所以直線DC、與平面EAD所成角的正弦值畫.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面平行的判定、線面角的求解，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

12.【分析】（I）利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理和平面與平面垂直的判定定理進(jìn)行分析證明即可；

（0）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量和平面的法向量，將直線與平面

所成的角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的夾角進(jìn)行求解即可.

【解答】（I）證明：因?yàn)镻Z）_L平面Z8C。，

所以「OJL/。，

因?yàn)榈酌?88是正方形，

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以/￡）_L平面尸C。，

又ZDu平面ADE,

所以平面ADEI平面PCD；

（II）解：因?yàn)槠矫?BCD,

所以PO1ZQ,PDLCD,

14/25

因?yàn)榈酌?BCD是正方形，

所以4D_LC￡),

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-中z,

因?yàn)槭?4,底面NBCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，

所以尸(0,0,4),A(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),。(0,0,0),￡(1,1,2),F(0,1,2),

則DA=(2,0,0),DE=(1,1,2),旃=(-2,-1,2),

設(shè)平面NOE的法向量為所=(x,y,z),

.4,[in-DA=Q?[2x=0

則有《一，可得《、八，

m-DE=0[x+y+2z=0

所以方=(0,2,-1),

設(shè)直線BF與平面ADE所成的角為0,

ij|||-nI-IIBF-m|44小

貝!Jsin0=cos<BF,m>\=^-=----=-==—產(chǎn)=----,

\BF\\m\V9xV515

所以直線8F與平面/DE所成角的正弦值為售.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，用向量

法求解空間角時(shí)，關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確求出所需點(diǎn)的坐標(biāo).

13.【分析】(I)由中位線的性質(zhì)知EM//C。，再由線面平行的判定定理，得證；

(II)由中位線的性質(zhì)知EF//N8,EF=\,從而有EF工BD,再結(jié)合直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理

可得EFLCF,然后由線面垂直的判定定理，得證；

(III)由(II)中的平面BCD,推出4BJLC。，再利用線面垂直的判定定理可得CO_L平面/8C,從而

有平面/8C,于是N4CE=30。，然后可證明A8C。是等腰直角三角形，故以8為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)

系，求得平面ZCE和平面3CE的法向量而與萬(wàn)，由cos〈玩，后＞=,得解.

【解答】(1)證明：M分別是線段AD,/C的中點(diǎn)，.1EM//C。，

又EMU平面BCD,CDu平面8cQ,

15/25

EM//平面BCD.

(II)證明：尸分別是線段力。，8。的中點(diǎn)，尸//ZB,EF=-AB=\,

2

■：ZABD=9Q°,即N8J.8。，EF1.BD,

???ZBCD=90°,F為8。的中點(diǎn)，:.CF=-BD=\,

2

EC=42,:.EC2=EF2+CF2,BPEFLCF,

又尸=F,BD、CFu平面8C￡),

EF1平面BCD.

(Ill)由(II)知，后尸_1平面88,

EF11AB,AB1平面BCD,AB1CD,

■：ZBCD=90°,即BCJLCD,且48nBe=8,AB、8Cu平面/IBC,

：.CD1平面ABC,

EM//CD,EM1平面ABC,

ZACE為直線EC與平面ABC所成的角，即ZACE=30°,

?rCA1,平面/8C,CD1AC,

為ZO的中點(diǎn)，=即A4CE是底角為30。的等腰三角形，

2

-.?EC=y/2,AC=y/6,BC=>]AC2-AB2=76^4=72,

?/BD=2,NBCD=90°,

.?.△^。。是等腰直角三角形，；.。7，^。，

以B為原點(diǎn)，BD,8/所在直線分別為y,z軸，在平面8C。內(nèi)作8x//CF,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,0,0),4(0,0,2),E(0,1,1),C(1,1,0),

CE=(-1,0,1),AC=(1,1,-2),BC=(1,1,0),

16/25

FT-.a.u-KI?r,,in-CE=0f-x+z=0

設(shè)平面NCE的法向量為所=(x,y,z),貝lj4_,即/

m-AC=O[x+y-2z=0

令z=l,則x=l,y=\,w=(1,1,1),

同理可得，平面8CE的法向量為萬(wàn)=（1,-1,1）,

inn_1-1+1_1

/.cos<m

‘一|行|.|萬(wàn)廣6x0-5

由圖可知，二面角Z-CE-8為銳角,

故二面角/-CE-8的余弦值為』.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線與面的位置關(guān)系、線面角和二面角的求法，熟練掌握線與面平行、垂直的判定定理

或性質(zhì)定理，理解線面角的定義，以及利用空間向量處理二面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、

邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

14.【分析】（I）證明C01Z8,結(jié)合/8J./C,推出平面44CC，然后證明N8J.CE.

（H）說(shuō)明AC,兩兩垂直.以4為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系kz,求出平面8CE的法向量，

平面8CE的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角8-CE-4的余弦值即可.

【解答】（I）證明：因?yàn)镃G，平面N8C,

所以CG-----------------------（2分）

又A8J_ZC,/4Cp|CC,=C,ZCu平面CQu平面,

所以48,平面44CC.（4分）

因?yàn)镃Eu平面44CC，

所以48_LCE.-----------------------（5分）

（II）解:在三棱柱NBC-481G中，CCxUAAl,

因?yàn)橛蒀G_L平面48C,

所以_L平面48C.

所以N8,AC,兩兩垂直.

如圖，以N為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系/-孫z,----------------（6分）

17/25

所以/(O,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,2).

設(shè)平面BCE的法向量為否=(x,y,z),

因?yàn)榫?(一2,2,0),方=(0,-1,2),

所以度.萬(wàn)=°.即r2x+2尸。.

CE-n=O[_y+2z=0

令z=l,則x=2,y=2.

所以平面3CE的一個(gè)法向量為弁=(2,2,1).--------------------------------------------(9分)

因?yàn)槠矫鍭A.QC,

所以平面4CE的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(2,0,0).---------------------------------------(10分)

—.~AB-n2

LUcos<AB,h>=-----=—.---------------------------------------------------------------------(13分)

\AB^\3

所以二面角B-CE-Z的余弦值為2.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，邏輯推理

能力，以及計(jì)算能力，是中檔題.

15.【分析】（I）解法1.通過(guò)8C//NO,直接利用直線與平面平行的判定定理證明8C//平面R4D.

解法2.以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,/P所在直線分別為x軸、了軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系/-口z,

求出平面尸/O的法向量為f,利用，?而=0,證明8C//平面P4D.

18/25

(II)以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,NP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系/-型，

求出平面R48的法向量，平面PC。的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面尸與平面PC。所成角的余弦

值即可.

【解答】(I)證明：

解法1.因?yàn)?C//4O,平面尸/D,/￡)u平面產(chǎn)/。，

所以8C//平面尸4。.....................(4分)

解法2.

因?yàn)镻/A./D,PA1AB,ADLAB,

所以以Z為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,NP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系/-型，

則4(0,0,0),5(2,0,0),0(0,4,0),尸(0,0,2),C(2,2,0)...............(1分)

平面P/0的法向量為7=(1,0,0).........................(2分)

元=(0,2,0).........................(3分)

因?yàn)?，?0xl+2x0+0x0=0.........................(4分)

5C<t平面力。，.........................(5分)

所以8C//平面PZD.

(II)解：因?yàn)镻ZJ./。，PALAB,ADLAB,

所以以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系/-取，

則4(0，0,0),8(2,0,0),0(0,4,0),0(0,0,2),C(2,2,0).................(5分)

所以平面尸的法向量為萬(wàn)=(0,1,0).................(6分)

設(shè)平面PCD的法向量為而=(x,%z),

PC=(2,2,-2),而=(0,4,-2).................(8分)

.m±PCm-PC=0（2x+2y-2z=0[x=_y,...

所CC1以1《一一.................（10分）

mlPD[m-PD=G（4y-2z=0[z=2y

令y=1得比=（1,1,2）.................（11分）

__萬(wàn).而1A/6八i八、

cos<n,m>=-----=----=——...................（13分）

\ii\\m\1x766

設(shè)平面尸43與平面PC。所成角為0,。為銳角，

所以cos6=4a.................（14分）

6

19/25

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，向量法求解二面角的平面角的余弦值，考查空間想象能

力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

16.【分析】（I）證明_L/C.AC1BE,結(jié)合BEJ./片，即可證明BE_L平面力8c.

（II）建立如圖空間直角坐標(biāo)系求出平面N8C的一個(gè)法向量，平面的法向量，利用空間向量的

零售價(jià)求解二面角C-AB「D的余弦值即可.

【解答】（1）證明：因?yàn)槿庵?8C-481G為直三棱柱，所以44d.平面Z8C,

所以VAC..........（1分）

因?yàn)?C_L/8,AB[\AAX=A,所以ZC_L平面/4旦8..........(3分)

因?yàn)?Eu平面所以/C_L8E..........(4分)

因?yàn)锽EJLAB、,倜=4,

所以3EJ_平面48c..........(5分)

(II)解：由(I)知,AC,AA,兩兩垂直，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系力-平.

則4(0,0,0),4(2,0,4),￡>(0,2,2),8(2,0,0)..........(7分)

設(shè)E(0,0,a),所以正=(0,2,2),葩=(2,0,4),BE=(-2,0,a),

因?yàn)楦L赤，所以4。-4=0,即0=1..........(8分)

所以平面/片。的一個(gè)法向量為屁=（-2,0,1）.（9分）

20/25

設(shè)平面Z8Q的法向量為行=(x,y,z),

所以卜,竺所以[2"2z=0,即?=-z,.........Q0分)

n-ABx=0.〔2x+4z=0.[x=-2z.

令l=-1,貝！Jx=2,y=\,

所以平面Z8Q的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(2,1,-1)...........(11分)

V30

福I”~D~C-n?BE—5

所以cos<BE,n>=--_=-7=—尸(12分)

\n\\BE\瓜?亞—

由已知，二面角為銳角，

所以二面角C-/用的余弦值為叵...........(13分)

16

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想

以及計(jì)算能力，是中檔題.

17?【分析】(I)推導(dǎo)出AB=4D,BELAD,從而B(niǎo)E_L平面尸NO,由此能證明

(II)連結(jié)PE.則PELAD,由BE_L平面PAD,得BEJ.AD,PE1BE,設(shè)ZZ)=2a,則尸￡=a.以E為

原點(diǎn)，EA.EB、EP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-肛z,利用向量法能求出二面角

A-PD-C的余弦值.

(HI)由Ee平面PCD,得到在線段PB上存在點(diǎn)F,使得EF//平面PCD，假設(shè)線段PB上存在點(diǎn)F使得EF//

平面PCD.設(shè)—=2(2e[0,1]),則'PF=XPB.求出

PB

EF=EP+PF=EP+2JPB=(0,0,a)+2(0,&,-〃)=(0,&a,a-Aa).由麗?斤=出入a-瓜a-2a)=0,推導(dǎo)出

當(dāng)點(diǎn)尸是線段P8的中點(diǎn)時(shí)，EF//平面尸且竺=1.

PB2

【解答】解：(I)證明：因?yàn)樗倪呅蜰8CD為菱形，所以/8=/。，

TT

又因?yàn)?—，E為/。的中點(diǎn)，所以8EJ.4D,

3

又因?yàn)槠矫鍼AD1平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,

所以8￡_L平面尸力。，

因?yàn)槭?u平面P/。，所以

(II)連結(jié)PE.因?yàn)镻4=PD,E為/。的中點(diǎn)，所以尸E1/D.

由(I)可知BE_L平面P/。，所以PE1BE.

設(shè)工。=2〃，則尸E=a.如圖，以E為原點(diǎn)，EA、EB、E尸所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系,E-xyz.

則A(a,0,0),5(0,-j3a,0),C(-2a,y/3a,0),D(-a,0,0),P(0,0,a).

21/25

所以反=(-a,JJa,O)，而=(a,O,a).

因?yàn)锽E1平面PAD，所以麗=(0,6a,0)是平面PAD的一個(gè)法向量.

設(shè)平面PC。的法向量為五=(x,y,z),

則彳，所以＜令x=貝！ly=l,z=-逝，得萬(wàn)=(百,1,-6),

n-DP=ax+az=0[x=-z,

所以cos〈/EB)=〃絲==-?

由題知，二面角/-PO-C為鈍角，所以二面角/-尸。-C的余弦值為-且.

7

(Ill)當(dāng)點(diǎn)F是線段尸8的中點(diǎn)時(shí)，EF”平面PCD.理由如下：

因?yàn)辄c(diǎn)Ee平面尸C。，所以在線段心上存在點(diǎn)尸，使得EF//平面產(chǎn)。，等價(jià)于麗?萬(wàn)=0.

假設(shè)線段PB上存在點(diǎn)F使得EF//平面PCD.

PF__―.

ig—=2(2e[0,l]),則PF=4P8.

所以礪=即+方=EP+APB=(0,0,a)+2(0,耳,-a)=(0,⑨a,a-斯).

由麗?元=JLta-6(4-%a)=0，解得2=；.

所以當(dāng)點(diǎn)尸是線段尸8的中點(diǎn)時(shí)，EF"平面PCD,且工=L.

PB2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值、滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定與求法，考查空間

想象能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

18.【分析】(I)取4。中點(diǎn)尸，連接。尸，EF,證明EF///4，BDHEF,說(shuō)明四邊形5EFD為平行四邊形.推

出BEUDF.然后證明BE//平面&CD.

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(II)建立平面直角坐標(biāo)系8-肛z.如圖，求出平面4c。的法向量，設(shè)直線AE與平面48所成的角為。,

利用空間向量的數(shù)量積求解直線與平面的處境的直線函數(shù)值即可.

【解答】(I)證明：取4c中點(diǎn)尸，連接。尸，EF,

在△力4c中，E,尸分別是NC,4c的中點(diǎn)，

所以EF//44,EF=-AA..