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PAGE第2課時不等式的證明內容標準學科素養(yǎng)1.駕馭綜合法、分析法證明問題的過程和推理特點,能用綜合法、分析法證明簡潔問題.邏輯推理數(shù)學抽象2.能正確區(qū)分綜合法和分析法的推理特點,敏捷選用恰當?shù)姆椒ㄗC明問題.3.了解反證法的定義,駕馭反證法的推理特點.駕馭反證法證明問題的一般步驟,能用反證法證明一些簡潔的命題.授課提示:對應學生用書第27頁[教材提煉]學問點一綜合法綜合法是從已知條件動身,綜合利用各種結果,經過逐步推導最終得到結論的方法.學問點二反證法反證法是首先假設結論的否定成立,然后由此進行推理得到沖突,最終得出假設不成立.學問點三分析法分析法的實質就是不斷找尋結論成立的充分條件.[自主檢測]1.分析法證明問題是從所證命題的結論動身,尋求使這個結論成立的()A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:分析法證明是從所證命題的結論動身,尋求使結論成立的充分條件.答案:A2.實數(shù)a,b,c不全為0等價于()A.a,b,c均不為0B.a,b,c中至多有一個為0C.a,b,c中至少有一個為0D.a,b,c中至少有一個不為0解析:不全為0即至少有一個不為0,故選D.答案:D3.在不等式“a2+b2≥2ab”的證明中:因為a2+b2-2ab=(a-b)2≥0所以a2+b2≥2ab,該證明運用的方法是________.解析:由因導果,易知該證法為綜合法.答案:綜合法授課提示:對應學生用書第27頁探究一綜合法[例1](1)已知a>b,e>f,c>0.求證:f-ac<e-bc;(2)若bc-ad≥0,bd>0.求證:eq\f(a+b,b)≤eq\f(c+d,d).[證明](1)∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc.∵f<e,∴f-ac<e-bc.(2)∵bc-ad≥0,∴ad≤bc,∵bd>0,∴eq\f(a,b)≤eq\f(c,d),∴eq\f(a,b)+1≤eq\f(c,d)+1,∴eq\f(a+b,b)≤eq\f(c+d,d).綜合法處理問題的三個步驟已知x+y+z=m.求證x2+y2+z2≥eq\f(m2,3).證明:∵x+y+z=m,∴(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=m2.又∵x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2xz,∴2(x2+y2+z2)≥2(xy+yz+zx),即x2+y2+z2≥xy+yz+zx,∴m2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)≤3(x2+y2+z2).∴x2+y2+z2≥eq\f(m2,3).探究二反證法[例2]已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,求證:a,b,c,d中至少有一個是負數(shù).[證明]假設a,b,c,d都是非負數(shù),因為a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1.又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,所以ac+bd≤1,這與已知ac+bd>1沖突,所以a,b,c,d中至少有一個是負數(shù).反證法證明問題的一般步驟若x>0,y>0,且x+y>2,求證eq\f(1+y,x)與eq\f(1+x,y)至少有一個小于2.證明:假設eq\f(1+y,x)與eq\f(1+x,y)都不小于2,即eq\f(1+y,x)≥2,eq\f(1+x,y)≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y,兩式相加得2+(x+y)≥2(x+y).∴x+y≤2,這與已知中x+y>2沖突.∴假設不成立,原命題成立.故eq\f(1+y,x)與eq\f(1+x,y)至少有一個小于2.探究三分析法[例3]已知a>b>0,求證eq\f(a-b2,8a)<eq\f(a+b,2)-eq\r(ab)<eq\f(a-b2,8b).[證明]要證eq\f(a-b2,8a)<eq\f(a+b,2)-eq\r(ab)<eq\f(a-b2,8b),只需證eq\f(a-b2,8a)<eq\f(\r(a)-\r(b)2,2)<eq\f(a-b2,8b).∵a>b>0,∴同時除以eq\f(\r(a)-\r(b)2,2),得eq\f(\r(a)+\r(b)2,4a)<1<eq\f(\r(a)+\r(b)2,4b),同時開方,得eq\f(\r(a)+\r(b),2\r(a))<1<eq\f(\r(a)+\r(b),2\r(b)),只需證eq\r(a)+eq\r(b)<2eq\r(a),且eq\r(a)+eq\r(b)>2eq\r(b),即證eq\r(b)<eq\r(a),即證b<a.∵a>b>0,∴原不等式成立,即eq\f(a-b2,8a)<eq\f(a+b,2)-eq\r(ab)<eq\f(a-b2,8b).1.分析法證明不等式的思維是從要證的不等式動身,逐步尋求使它成立的充分條件,最終得到的充分條件為已知(或已證)的不等式.2.分析法證明數(shù)學命題的過程是逆向思維,即結論?…?…?…已知,因此,在敘述過程中,“要證”“只需證”“即證”等詞語必不行少,否則會出現(xiàn)錯誤.已知a>0,b>0,求證eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)+eq\r(b).證明:要證eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)+eq\r(b),只需證eq\f(\r(a)3+\r(b)3,\r(ab))≥eq\r(a)+eq\r(b),只需證(eq\r(a))3+(eq\r(b))3≥aeq\r(b)+beq\r(a),只需證(eq\r(a))3+(eq\r(b))3-aeq\r(b)-beq\r(a)≥0,即
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