2024-2025學年高中數(shù)學第四章函數(shù)應用4.2實際問題的函數(shù)建模學案含解析北師大版必修1

PAGE§2實際問題的函數(shù)建模內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.會利用已知函數(shù)模型解決實際問題．2.能建立函數(shù)模型解決實際問題.精確數(shù)據(jù)分析強化數(shù)學運算嫻熟數(shù)學建模授課提示：對應學生用書第71頁[基礎相識]學問點一常見函數(shù)模型eq\a\vs4\al(預習教材P120－130，思索并完成以下問題)(1)①斜率k的取值是如何影響一次函數(shù)的圖像和性質的？②在冪函數(shù)模型的解析式中，α的正負如何影響函數(shù)的單調性？提示：①k＞0時直線必經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；k＜0時直線必經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減小．②當x＞0，α＞0時，函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)是上升的，在(0，＋∞)上為增函數(shù)；當x＞0，α＜0時，函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)是下降的，在(0，＋∞)上為減函數(shù)．(2)①依據(jù)散點圖選擇函數(shù)模型時主要依據(jù)函數(shù)的什么性質？②數(shù)據(jù)擬合時，得到的函數(shù)為什么須要檢驗？提示：①主要依據(jù)函數(shù)的單調性及函數(shù)值增長速度的快慢．②因為依據(jù)已給的數(shù)據(jù)，作出散點圖，依據(jù)散點圖選擇我們比較熟識的、最簡潔的函數(shù)進行擬合，但用得到的函數(shù)進行估計時，可能誤差較大或不切合客觀實際，此時就要再改選其他函數(shù)模型．學問梳理常見函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)(4)對數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a＞0且a≠1)(5)冪函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)(6)分段函數(shù)模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx＜m，,cx＋dx≥m))學問點二解決函數(shù)應用問題的基本步驟學問梳理利用函數(shù)學問和函數(shù)觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原．這些步驟用框圖表示如圖：[自我檢測]1．今有一組數(shù)據(jù)，如下表所示：x12345y356.999.0111下列函數(shù)模型中，最接近的表示這組數(shù)據(jù)滿意的規(guī)律的一個是()A．指數(shù)函數(shù) B．反比例函數(shù)C．一次函數(shù) D．二次函數(shù)解析：畫出散點圖，如圖所示：視察散點圖，可見各個點接近于一條直線，所以可用一次函數(shù)表示．答案：C2．某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，……現(xiàn)有2個這樣的細胞，分裂x次后得到細胞的個數(shù)y與x的函數(shù)關系是()A．y＝2xB．y＝2x－1C．y＝2x D．解析：分裂一次后由2個變成2×2＝22(個)，分裂兩次后變成4×2＝23(個)，……，分裂x次后變成y＝2x＋1個．答案：D3．某汽車在一時間段內(nèi)速度v(km/h)與耗油量Q(L)之間有近似的函數(shù)關系：Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27，則車速為________km/h時，汽車的耗油量最少．解析：Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27＝0.0025(v2－70v)＋4.27＝0.0025[(v－35)2－352]＋4.27＝0.0025(v－35)2＋1.2075.故v＝35km/h時，耗油量最少．答案：35授課提示：對應學生用書第71頁探究一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型[例1]某商場經(jīng)營一批進價是每件30元的商品，在市場銷售中發(fā)覺此商品的銷售單價x元與日銷售量y件之間有如下關系：銷售單價x(元)30404550日銷售量y(件)6030150(1)在所給坐標系中，依據(jù)表中供應的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(x，y)對應的點，并確定x與y的一個函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)；(2)設經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，依據(jù)上述關系式寫出P關于x的函數(shù)關系式，并指出銷售單價x為多少時，才能獲得最大日銷售利潤．[思路點撥]依據(jù)(x，y)的關系→f(x)是一次函數(shù)→建立P的函數(shù)關系→利用二次函數(shù)的性質求最值．[解析]實數(shù)對(x，y)對應的點如圖所示，由圖可知y是x的一次函數(shù)．(1)設f(x)＝kx＋b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60＝30k＋b，,30＝40k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝150.))∴f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，檢驗成立．(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500,30≤x≤50，∴對稱軸x＝－eq\f(240,2×－3)＝40∈[30,50]．當銷售單價為40元時，所獲利潤最大．方法技巧一次函數(shù)、二次函數(shù)均是重要的函數(shù)模型，特殊是二次函數(shù)模型在函數(shù)建模中占有重要的地位．利用二次函數(shù)求最值時要留意取得最值時的自變量與實際意義是否相符．跟蹤探究1.某校高一(2)班共有學生51人，據(jù)統(tǒng)計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元，若該班全體學生改飲某品牌的桶裝純凈水，經(jīng)測算和市場調查，其年總費用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費用，另一部分是其它費用228元，其中，純凈水的銷售價x(元/桶)與年購買總量y(桶)之間滿意如圖所示關系．(1)求y關于x的函數(shù)關系式；(2)當a＝120時，若該班每年須要純凈水380桶，請你依據(jù)供應的信息比較，該班全體學生改飲桶裝純凈水的年總費用與該班全體學生購買飲料的年總費用，哪一種更少？說明你的理由；(3)當a至少為多少時，該班學生集體改飲桶裝純凈水的年總費用肯定比該班全體學生購買飲料的年總費用少？解析：(1)設y＝kx＋b(k≠0)，∵x＝8時，y＝400；x＝10時，y＝320.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400＝8k＋b，,320＝10k＋b，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－40，,b＝720，))∴y關于x的函數(shù)關系式為y＝－40x＋720(x＞0)．(2)該班學生買飲料每年總費用為51×120＝6120(元)．當y＝380時，380＝－40x＋720，得x＝8.5，該班學生集體飲用桶裝純凈水的每年總費用為380×8.5＋228＝3458(元)，所以，飲用桶裝純凈水的年總費用少．(3)設該班每年購買純凈水的費用為P元，則P＝xy＝x(－40x＋720)＝－40(x－9)2＋3240，∴當x＝9時，Pmax＝3240.要使飲用桶裝純凈水的年總費用肯定比該班全體學生購買飲料的年總費用少，則51a≥Pmax＋228，解得a≥68，故a至少為68元時全班飲用桶裝純凈水的年總費用肯定比該班全體學生購買飲料的年總費用少．探究二指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型[例2]某城市2009年底人口總數(shù)為100萬人，假如年平均增長率為1.2%，試解答以下問題：(1)寫出經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)y(萬人)與x(年)的函數(shù)關系；(2)計算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；(3)計算經(jīng)過多少年以后，該城市人口將達到120萬人(精確到1年)．(參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005)．[解析](1)2009年底人口總數(shù)為100萬人，經(jīng)過1年，2010年底人口總數(shù)為100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，經(jīng)過2年，2011年底人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，經(jīng)過3年，2012年底人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……所以經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)x，所以y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后該城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)10≈112.7(萬人)．(3)由題意得100×(1＋1.2%)x＞120，兩邊取常用對數(shù)得lg[100×(1＋1.2%)x]＞lg120，整理得2＋xlg1.012＞2＋lg1.2，得x≥16，所以大約16年以后，該城市人口將達到120萬人．方法技巧指數(shù)型函數(shù)模型：y＝max＋b(a＞0且a≠1，m≠0)，在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示．對數(shù)型函數(shù)模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a＞0且a≠1)，對數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關系式，然后利用對數(shù)的運算求解．跟蹤探究2.燕子每年秋天都要從北方飛到南方過冬，探討燕子的科學家發(fā)覺，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝5log2eq\f(Q,10)，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)計算：燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？解析：(1)由題意知，當燕子靜止時，它的速度為0，代入題目所給公式可得0＝5log2eq\f(Q,10).解得Q＝10，即燕子靜止時的耗氧量為10個單位．(2)將耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5log2eq\f(80,10)＝5log28＝15(m/s)，即當一只燕子的耗氧量為80個單位時，飛行速度為15m/s.探究三分段函數(shù)模型[例3]某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)全部商品按標價的80%出售；同時，當顧客在該商場內(nèi)消費滿肯定金額后，按如下方案獲得相應金額的獎券：消費金額(元)的范圍[188,388](388,588](588,888](888,1188]……獲得獎券的金額(元)285888128……依據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重實惠，例如：購買標價為400元的商品，則消費金額為320元，然后還能獲得對應的獎券金額為28元．于是，該顧客獲得的實惠額為：400×0.2＋28＝108元．設購買商品得到的實惠率＝eq\f(購買商品獲得的實惠額,商品的標價).試問：(1)購買一件標價為1000元的商品，顧客得到的實惠率是多少？(2)當商品的標價為[100,600]元時，試寫出顧客得到的實惠率y關于標價x元之間的函數(shù)關系式；(3)當顧客購買標價不超過600元的商品時，該顧客是否可以得到超過35%的實惠率？若可以，請舉一例；若不行以，試說明你的理由．[思路點撥]結合實例計算(1)；當x∈[100,235)，[235,485]，(485,600]，求y與x的關系式；在(2)的基礎上計算每一段上的實惠率，分析是否達到35%.[解析](1)由題意，標價為1000元的商品消費金額為1000×0.8＝800元，故實惠額為：1000×0.2＋88＝288元，則實惠率為eq\f(288,1000)＝28.8%.(2)由題意，當消費金額為188元時，其標價為235元；當消費金額為388元時，其標價為485元；當消費金額為588元時，其標價為735元．由此可得，當商品的標價為[100,600]元時，顧客得到的實惠率y關于標價x元之間的函數(shù)關系式為：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0.2x,x)＝0.2，x∈[100，235，,\f(0.2x＋28,x)＝\f(28,x)＋0.2，x∈[235，485]，,\f(0.2x＋58,x)＝\f(58,x)＋0.2，x∈485，600].))(3)當x∈(0,235)時，實惠率即為：20%；當x∈[235,485]時，實惠率為：y＝0.2＋eq\f(28,x)，此時的最大實惠率為0.2＋eq\f(28,235)≈0.319＜35%.當x∈(485,600]時，實惠率為：y＝0.2＋eq\f(58,x)，此時的實惠率y＜0.2＋eq\f(58,485)≈0.32＜35%；綜上，當顧客購買不超過600元商品時，可得到的實惠率不會超過35%延長探究假如此人實際消費1000元，問該人得到實惠額共多少元？解析：此人得到的實惠額為：eq\f(1000,0.8)×0.2＋128＝378元．方法技巧1.分段函數(shù)模型是日常生活中常見的函數(shù)模型．對于分段函數(shù)，一要留意規(guī)范書寫格式；二要留意各段的自變量的取值范圍，對于中間的各個分點，一般是“一邊閉，一邊開”，以保證在各分點的“不重不漏”．2．解決分段函數(shù)問題需留意幾個問題：(1)全部分段的區(qū)間的并集就是分段函數(shù)的定義域．(2)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，先要弄清自變量在哪個區(qū)間內(nèi)取值，然后再用該區(qū)間上的解析式來計算函數(shù)值．(3)一般地，分段函數(shù)由幾段組成，必需留意考慮各段的自變量的取值范圍．跟蹤探究3.如圖所示，等腰梯形ABCD的兩底分別為AD＝2，BC＝1，∠BAD＝45°，直線MN⊥AD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM＝x，試將梯形ABCD位于直線MN左側的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域和值域．解析：如圖，過B，C分別作AD的垂線，垂足分別為H和G，則AH＝eq\f(1,2)，AG＝eq\f(3,2)，當M位于H左側時，AM＝x，MN＝x，∴y＝S△AMN＝eq\f(1,2)x2,0≤x＜eq\f(1,2).當M位于H，G之間時，y＝eq\f(1,2)AH·HB＋HM·MN＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,8)，eq\f(1,2)≤x＜eq\f(3,2).當M位于G，D之間時，y＝S梯形ABCD－S△MDN＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(2＋1)－eq\f(1,2)(2－x)(2－x)＝－eq\f(1,2)x2＋2x－eq\f(5,4)，eq\f(3,2)≤x≤2.∴所求函數(shù)的關系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，0≤x＜\f(1,2)，,\f(1,2)x－\f(1,8)，\f(1,2)≤x＜\f(3,2)，,－\f(1,2)x2＋2x－\f(5,4)，\f(3,2)≤x≤2.))∴函數(shù)的定義域為[0,2]，值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).探究四擬合函數(shù)模型的應用[例4]環(huán)境污染已經(jīng)嚴峻危害人們的健康，某工廠因排污比較嚴峻，確定著手整治，一月時污染度為60，整治后前四個月的污染度如下表：月數(shù)1234…污染度6031130…污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又起先上升，現(xiàn)用下列三個函數(shù)模型從整治后第一個月起先工廠的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝eq\f(20,3)(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月數(shù)，f(x)，g(x)，h(x)分別表示污染度．問選用哪個函數(shù)模擬比較合理，并說明理由．[解析]用h(x)模擬比較合理．理由：因為f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.由此可得h(x)更接近實際值，所以用h(x)模擬比較合理．方法技巧對于此類實際應用問題，關鍵是先建立適當?shù)暮瘮?shù)關系式，再解決數(shù)學問題，然后驗證并結合問題的實際意義作出回答，這個過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題．函數(shù)擬合與預料的一般步驟是：(1)能夠依據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，描出數(shù)據(jù)點．(2)通過數(shù)據(jù)點，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線．假如全部實際點都落到了擬合直線或曲線上，滴“點”不漏，那么這將是個非常完備的事情，但在實際應用中，這種狀況一般是不會發(fā)生的．因此，使實際點盡可能地勻稱分布在直線或曲線兩側，得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了．(3)依據(jù)所學函數(shù)學問，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關系式．(4)利用函數(shù)關系式，依據(jù)條件對所給問題進行預料和限制，為決策和管理供應依據(jù)．跟蹤探究4.為了估計山上積雪溶化后對下游澆灌的影響，在山上建立了一個視察站，測量最大積雪深度xcm與當年澆灌面積yhm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料，如下表所示.年序最大積雪深度x/cm澆灌面積y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描點畫出澆灌面積y(hm2)隨積雪深度x(cm)改變的圖像；(2)建立一個能基本反映澆灌面積改變的函數(shù)模型y＝f(x)，并畫出圖像；(3)依據(jù)所建立的函數(shù)模型，求最大積雪深度為25cm時，可以澆灌的土地數(shù)量．解析：(1)描點作圖如圖甲．甲乙(2)從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點大致落在一條直線旁邊，由此，我們假設澆灌面積y和最大積雪深度x滿意線性函數(shù)模型y＝ax＋b(a≠0)．取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4，21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝ax＋b，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21.1＝10.4a＋b，,45.8＝24.0a＋b，))用計算器可算得a≈1.8，b≈2.4.這樣，我們得到一個函數(shù)模型y＝1.8x＋2.4.作出函數(shù)圖像如圖乙，可以發(fā)覺，這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與澆灌面積的關系．(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即當最大積雪深度為25cm時，可以澆灌土地47.4hm2.授課提示：對應學生用書第74頁[課后小結]1．函數(shù)模型的應用實