2020-2021學年浙江省杭州市拱墅區(qū)文瀾中學九年級上學期期中數(shù)學試卷 （解析版）

2020-2021學年浙江省杭州市拱墅區(qū)文瀾中學九年級第一學期期

中數(shù)學試卷

一、選擇題

1.（3分）如圖，。。是△A3C的外接圓，NO8C=40°,則NA等于（）

3.（3分）一塊圓形宣傳標志牌如圖所示，點4,B,C在上，C￡＞垂直平分A5于點

D.現(xiàn)測得4B=8d，"，DC=2dm,則圓形標志牌的半徑為（）

A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm

4.（3分）已知二次函數(shù)y=-/+2/?》,以下點可能成為函數(shù)頂點的是（）

A.（-2,4）B.（1,2）C.（-1,-1）D.（2,-4）

5.（3分）已知一元二次方程好+取-3=0的一根為-3,在二次函數(shù)>=必+云-3的圖象

上有三點（一1",yp、（-^l->丫2）、弓,Yj）>>1、/、”的大小關系是（）

A.J1<J2<J3B.J2<yi<j3C.J3<J1<J2D.J1<J3<}>2

6.（3分）已知機>0,關于x的一元二次方程（x+1）（x-2）-6=0的解為xi,X2（xi

<X2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.xi<-1<2<X2B.-1<XI<2<X2C.-1<XI<X2<2D.xi<-1<X2<2

7.（3分）二次函數(shù)7=。d+比什，的圖象開口向上，對稱軸為直線x=-2,圖象經(jīng)過（1,

0）,下列結(jié)論中，正確的一項（）

A.c>0B.4ac-b2>0C.9a+c>3bD.5a>b

8.（3分）在數(shù)學拓展課《折疊矩形紙片》上，小林發(fā)現(xiàn)折疊矩形紙片A5CD可以進行如

下操作：①把△48/翻折，點5落在C邊上的點E處，折痕為AF,點尸在8c邊上；

②把△AO/7翻折，點。落在AE邊上的點G處，折痕為點H在C。邊上，若AO

=6,CZ）=10,則旦旦=（）

EF

9.(3分)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，AE_LC5交C3的延長線于點E,若區(qū)4平分

ZDBE,40=7,CE=5,則AE=()

A.3B.2?C.2瓜

10.(3分)如圖，RtZiABC中，AC±BC,AD平分NBAC交BC于點、D,DEJ.AD^AB

于點E,M為AE的中點，BF_L5C交CM的延長線于點尸，BD=4,CD=3,下列結(jié)論

(T)ZAED=ZADC;②AGBE=12;③班曾；@3BF=4AC,其中結(jié)論正確的個數(shù)

DA4

C

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：每題4分，共24分

11.（4分）如圖，已知。，￡分別是△ABC的A3,AC邊上的點，DE//BC,S^DBCE

=8SAAOE,那么AE:AC等于.

12.（4分）寫一個實數(shù)/?的值,使得二次函數(shù)7=必-（m-1）x+3,當xV-3

時，y隨x的增大而減小.

13.（4分）如圖，在RtZUBC中，ZACB=90°,AC=BC=2,將Rt/XABC繞A點逆

時針旋轉(zhuǎn)30°后得到RtAADE,點B經(jīng)過的路徑為俞則圖中陰影部分的面積

是.

14.（4分）如圖，△4BC內(nèi)接于。。，A"_L8C于點〃，若AC=24,AH=IS,。。的半

徑OC=13,則

15.（4分）已知實數(shù)〃滿足,"-"2=1,則代數(shù)式/?2+2"2+4?1-1的最小值等于

16.(4分)在△A5C中，點A到直線BC的距離為d,AB>AC>d,以A為圓心，AC為

半徑畫圓弧，圓弧交直線8c于點，過點。作。E〃AC交直線48于點E,若BC=4,

DE=1,ZEDA=ZACD,JI'JAD=.

三、解答題：7小題，共66分

17.已知拋物線yi=ar2+/)x+c的頂點4是直線)2=2x與g=-2x+4的交點，且經(jīng)過直線

j3=-2x+4與y軸的交點B.

(1)求點A的坐標；

(2)求拋物線的表達式；

(3)寫出當時x的取值范圍.

18.如圖，在。0中，48是。。的直徑，點C在。。上，OO_LAC于點。，延長OO交00

于點E,連接EC、EB、BC,若4c=6,0D=-/j.

(1)求OO的直徑；

(2)求△BEC的面積.

19.如圖，已知銳角△ABC,AD.CE分別是8C、A8邊上的高.

(1)證明：

(2)若△4BC和△8OE的面積分別是24和6,DE=2近求點8到直線AC的距離.

A

E.

20.把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進行適當?shù)募舨?，折成一個長方體形盒子(紙板的

厚度忽略不計)，

(1)如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個

無蓋的長方體形盒子.要使折成的長方形體盒子的底面積為484cm2,那么剪掉的正方形

的邊長為多少？

(2)在(1)中，折成的長方體形盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個最大

值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由.

21.如圖，48是。。的直徑，E為00上位于A5異側(cè)的兩點，連接并延長至點C,

使得連接4C交。。于點死連接AE、DE.DF.

(1)證明：ZE=ZC;

(2)若NE=55°,求尸的度數(shù)；

(3)設OE交48于點G,若AB=10,E是應的中點，求EG?ED的值.

c

22.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)圖象的表達式￥=。/+(a+1)x,其中“#=0.

(1)若此函數(shù)圖象過點(1,-3),求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)函數(shù)了=始?+(a+i)x(a=#0),若(xi,ji),(X2,j2)為此二次函數(shù)圖象上的

兩個不同點，

①若XI+X2=2,則ji=j2,試求a的值；

②當XI>X2》-2,對任意的XI,X2都有力>以，試求a的取值范圍.

23.如圖1,在△4BC中，48=AC=20,8c=32,點。為8c邊上的動點(點O不與點

B,C重合).以點。為頂點作NAOE=N5,射線。E交AC邊于點E,過4作AF_L

4。交射線。E于尸，連接CF.

(1)求證：AABDsADCE;

(2)當OE〃A8時(如圖2),求AE的長；

(3)點。在BC邊上運動的過程中，是否存在某個位置，使得DF=CF?若存在，寫出

此時BO的長；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：每小題3分，共30分

1.（3分）如圖，。。是△ABC的外接圓，NO5C=40°,則NA等于（）

A.60°B.50°C.40°D,30°

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出NOC5=NOBC=40°,由三角形內(nèi)角和定理得出N

80c=100°,由圓周角定理得出NA=/N3OC=50°即可.

解：'：OB=OC,

NOCB=NOBC=40°,

N5OC=180°-40°-40°=100°,

AZA=—ZBOC=50°,

2

故選：B.

2.（3分）下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（）

【分析】本題主要應用兩三角形相似的判定定理，三邊對應成比例，做題即可.

解:設單位正方形的邊長為1,給出的三角形三邊長分別為2&,V10.

4、三角形三邊2,710,3衣，與給出的三角形的各邊不成比例，故4選項錯誤；

8、三角形三邊2,4,2依，與給出的三角形的各邊成正比例，故B選項正確；

C、三角形三邊2,3,713，與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項錯誤；

D、三角形三邊爬，4,713，與給出的三角形的各邊不成比例，故。選項錯誤.

故選：B.

3.（3分）一塊圓形宣傳標志牌如圖所示，點A,B,C在。O上，CZ）垂直平分45于點

D.現(xiàn)測得DC=2dm,則圓形標志牌的半徑為（）

A.6dmC.4dmD.3dm

【分析】連接。4,OD9利用垂徑定理解答即可.

解：連接。4,OD,

二?點A,B,C在。。上，CD垂直平分4B于點O.AB=Sdm,DC=2dm,

'.AD=4dm,

設圓形標志牌的半徑為r,可得：P=42+(r-2)2,

解得：r=5,

故選：B.

4.(3分)已知二次函數(shù)y=-/+2析*,以下點可能成為函數(shù)頂點的是()

A.(-2,4)B.(1,2)C.(-1,-1)D.(2,-4)

【分析】根據(jù)頂點公式求得頂點坐標為(/?,機2),即可得出橫坐標和縱坐標的關系,

然后就能確定可能的頂點.

解：Va=-1,b=2m,c=0,

.b_2m_

??-----------------7：—m,

2a2X(-1)

4ac-b2—0~(2m)2”產(chǎn)

4a4X(-1)

頂點坐標為(m,/n2),

...可能成為函數(shù)頂點的是(-2,4),

故選：A.

5.(3分)已知一元二次方程好+打-3=0的一根為-3,在二次函數(shù)7=必+加:-3的圖象

上有三點（得，y［）、（―|-,y2）>（看，了3），以、及、心的大小關系是（）

A.J1<J2<J3B.J2<J1<J3C.J3<J1<J2D.JI<J3<J2

【分析】方法1、將x=-3代入3=0中，求力，得出二次函數(shù)y=x2+bx-3的

解析式，再根據(jù)拋物線的對稱軸，開口方向確定增減性，比較）1、）2、”的大小關系.

方法2,先求出力的值，代入拋物線解析式中，再將橫坐標代入，求出y值，最后比較

大小.

解：方法1、把x=-3代入始+卮-3=0中，得9-3〃-3=0,解得〃=2,

.??二次函數(shù)解析式為j=x2+2x-3,

拋物線開口向上，對稱軸為x=----=-1,

2乂1

V--<-且一1一（一?）=—,---（-1）=—,而工〉工,

456445545

?41〈了2〈孫

故選A.

方法2、把x=-3代入/+加；-3=0中，得9-38-3=0,解得力=2,

二次函數(shù)解析式為y=x2+2x-3,

當一春時,=（一卷）2（一卷）24

x=Ji+2X3=-3—=-3.96,

55525

當*=一卷時，y2=（一卷）2+2X（-卷）-3=-3得=-3.9375,

當“忖時，％=

/?J1<J2<J3.

故選：A.

6.(3分)已知m>0,關于工的一^元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解為xi,X2(xi

<X2),則下列結(jié)論正確的是()

A.XI<-K2<X2B.-l<xi<2<xzC.-1V?VX2V2D.xiV-1Vx2V2

【分析】可以將關于x的方程(x+1)(x-2)-m=0的解為％］，42看作直線y=/w與

二次函數(shù)丁=(x+1)(x-2)交點的橫坐標，而與x軸交點坐標可以通過二次函數(shù)的關

系式求得，結(jié)合圖象可以求出XI與X2的取值范圍，進而做出判斷.

解：二次函數(shù)y=(x+1)(x-2)的圖象如圖所示：

它與x軸的交點坐標為(-1,0),(2,0),

關于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解為Xi,X2,可以看作是直線y=機(機

>0)與二次函數(shù)y=(x+1)(x-2)交點的橫坐標，

由圖象可知xiV-1,X2>2;

；?X1V-1V2VX2,

故選：A.

7.(3分)二次函數(shù)了二公^+加什。的圖象開口向上，對稱軸為直線x=-2,圖象經(jīng)過(1,

0),下列結(jié)論中，正確的一項()

A.c>()B.4ac-〃>0C.9a+c>3hD.5a>h

【分析】先根據(jù)題意畫出草圖，再由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，根據(jù)對稱

軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷.

解：,二次函數(shù)y=ax2+/)x+c的對稱軸為直線*=-2,圖象經(jīng)過(1,0),

.?.拋物線與x軸另一交點為（-5,0）,

.,.拋物線與x軸有兩個交點，b2-4at->0,

：.4ac-b2<0,3選項錯誤；

畫出草圖，可知拋物線與y軸交于負半軸，則cVO,A選項錯誤；

由圖象可知，x=-3時，j<0,即9a-3b+cV0,則9a+cV36,C選項錯誤;

V—=-2,：.b=4a.

2a

二?圖象開口向上，；.a>0,

'.a+b>b,

'.a+4a>b,

即5a>b,。選項正確.

故選：D.

8.（3分）在數(shù)學拓展課《折疊矩形紙片》上，小林發(fā)現(xiàn)折疊矩形紙片A3?？梢赃M行如

下操作：①把■翻折，點8落在C邊上的點E處，折痕為AF,點尸在8c邊上；

②把△AO”翻折，點。落在AE邊上的點G處，折痕為4",點”在C。邊上，若AO

=6,CD=10,則典=（）

EF

H

A.—B.—C.—D.—

2334

【分析】利用翻折不變性可得AE=A8=10,推出3E=8,EC=2,設8F=EF=x,在

RtZkEFC中，x2=22+(6-x)2,可得x=當，設OH=GH=y,在RtZkEG”中，y2+42

3

=(8-j)2,可得y=3,由此即可解決問題.

解：???四邊形ABC。是矩形，

，NC=N￡>=90°,AB=CD=10,AD=BC=69

由翻折不變性可知：AB=AE=10,AD=AG=6fBF=EF,DH=HG9

:?EG=4,

22==

在RtAADE中，DE=7AE-AD7102-62==8,

.?.EC=10-8=2,

設8P=EF=x,在RtZ^EFC中有：x2=22+(6-x)2,

6=辿，

3

ilDH=GH=y,在RtZkEG/7中，j2+42=(8-j)2,

；.y=3,

：.EH=5,

EH_^r_3

而一當一萬'

O

故選：A.

9.（3分）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，AEJLCB交C8的延長線于點E,若5A平分

ZDBE,40=7,CE=5,則AE=()

A.3B.273c.276D.啦

【分析】連接AC,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得到NA4E=NCZM,ZABD

=ZACD,從而得到NACD=NCZM,得出AC=AO=7,然后利用勾股定理計算AE的

長.

解：連接AC,如圖，

,：BA平分ZDBE,

：.ZABE=ZABD,

VZABE=ZCDA,NABD=ZACD,

：.ZACD=ZCDA,

：.AC=AD=7,

'：AE±CB,

NAEC=90°,

:?AE=dA12_CE2=1?2_52=2加.

故選：c.

10.（3分）如圖，RtZkABC中，ACA.BC,AD平分NBAC交BC于點、D,DEJLAD^AB

于點E,M為AE的中點，8尸_L8C交CM的延長線于點匕BD=4,CD=3,下列結(jié)論

?ZAED=ZADC;（2）AC-BE=12;③理2；?3>BF=AAC,其中結(jié)論正確的個數(shù)

DA4

有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①NAE0=9O°-ZEAD,ZADC=90°-ZDAC,ZEAD=ZDAC;③易

證△AOESAAC。，得DE:DA=DC:AC=3:3我；②由△AOEs/XACD和△8E。

S/\BDA得BE:BD=DC:AC;④連接OM,可證。得尸M:MC=BD:

0c=4:3;易證△尸MBs/iawA,得比例線段求解.

解：①NAE〃=90°-ZEAD,ZADC=90°-ADAC,

VZEAD=ZDAC,

:.ZAED=NADC.

故本選項正確;

③如圖，作ON■LAB于N,

'：AD平分NA4C交BC于點D,

：.DN=CD=3,

22=

?*-BN=VBD-DNA

.；NBND=NACB=9Q°,NBDN=2ABC,

.BNDN的3

，#BC-AC>4+3AC'

；.AC=3我,

VZEAD=ZDAC,NADE=NACD=9Q°,

：.AADE^AACD,得智爺=巖釬5，

ACAC77

故本選項錯誤；

②由①知NAEZ)=NAOC,

：.ZBED=ZBDA,

又；ZDBE=ZABD,

:.ABEDsABDA,

:.DE:DA=BE:BD,由③知OE:DA=DC:AC,

:.BE:BD=DC:AC,

：.AC*BE=BD?DC=12.

故本選項正確;

④連接DM,

在RtZXAOE中，MO為斜邊AE的中線.，

則DM=MA.

:.ZMDA=ZMAD=ADAC,

：.DM//BF//AC,

由。M〃B尸得/M:MC=BD:DC=4:3;

由BF〃AC得ArMBsACMA,有8戶：AC=FM:MC=4:3,

：.3BF=4AC.

故本選項正確.

綜上所述，①②④正確，共有3個.

故選：C.

二、填空題：每題4分，共24分

11.(4分)如圖，已知。，E分別是△ABC的A優(yōu)AC邊上的點，DE//BC,S^DBCE

=

8S^ADE9那么AE:4c等于1:3.

A

【分析】由OE〃BC,即可得△AOEs/ViBC,然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似

比的平方，即可得，q△虹'E..=(-^-)2=4_,又由S1a邊力；DBCE=8SAA￡)E,即可求得SAADE：

'△ABCAC9

SAABC=1:9,則可求得AE:AC的值.

解：VSoawI)BCE=SS^ADE,

:.Si^ABC=9S^ADE,

S^ADE：SAABC=1：9,

■:DE//BC,

:.△ADEs^ABC，

...江順-(AE)2=1

^AABCAC9'

：.AE:AC=1:3.

故答案為：1:3.

12.(4分)寫一個實數(shù)的值-2,使得二次函數(shù)7=必-(m-1)x+3,當xV-3

時，y隨x的增大而減小.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.

IR-1

解由題意可知：該二次函數(shù)的對稱軸為*=

2

要使得二次函數(shù)7=好-(/n-1)x+3,當xV-3時，y隨x的增大而減小,

**2'

..m^-5,

故答案為：-2(答案不唯一).

13.（4分）如圖，在RtAulBC中，NAC5=90°,AC=BC=2,將RtZkABC繞A點逆

時針旋轉(zhuǎn)30°后得到RtZkADE,點B經(jīng)過的路徑為統(tǒng)，則圖中陰影部分的面積是

2兀

~3~—'

【分析】先根據(jù)勾股定理得到AB=2加,再根據(jù)扇形的面積公式計算出S扇彩480,由旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Rt△AD￡5^Rt△ACB,于是Sm爵*?分=SAAD計Sh?AHi>~SAABC=S箴監(jiān)ABD.

解：VZACB=90",AC=BC=2,

."5=2&,

篇…=3。兀?(2仞2=等

3603

5LVRtAABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到RtAADE,

:.RtAADES^RtAACB,

■___2兀

:?S陰影部分=844&后+5南彩43。一SAABC=S扇彩4--―?

0

故答案為3兀

3

14.（4分）如圖，△A8C內(nèi)接于。0,于點〃，若AC=24,AH=1S,。0的半

徑0C=13,則45=_毀_.

【分析】首先作直徑AE,連接CE,易證得△AB//S/XAEC,然后由相似三角形的對應

邊成比例，即可求得。。半徑.

解：作直徑AE,連接CE,

/.ZACE=90°,

'JAHJ.BC,

：.ZAHB=90°,

ZACE=ZAHB,

"：ZB=ZE,

；.AABH^AAEC,

?膽=旭

??瓦一而‘

??.A“曄

AC

VAC=24,AH=18,AE=2OC=26,

18X2639

AB=

24~2

故答案為：—.

2

A

15.(4分)已知實數(shù)，“，〃滿足"?-/=],則代數(shù)式機2+2"2+4/“-1的最小值等于

【分析】已知等式變形后代入原式，利用完全平方公式變形，根據(jù)完全平方式恒大于等

于0,即可確定出最小值.

解："2=1,即=

:.原式=，〃2+2機-2+4/n-l=m2+6m+9-12=(zn+3)2-12,

則代數(shù)式，"2+2"2+4mT的最小值等于(1+3)2-12=4.

故答案為：4.

16.(4分)在△A8C中，點A到直線BC的距離為d,AB>AC>d,以A為圓心，4c為

半徑畫圓弧，圓弧交直線8c于點O,過點。作OE〃AC交直線48于點E,若8c=4,

DE=1,ZEDA=ZACD,則AO=2或一2+2證.

【分析】分兩種情形畫出圖形，利用平行線分線段成比例定理等知識構(gòu)建方程求解即可.

解：分兩種情形：

①如圖1中，當點O在線段5c上時.

?:DE〃AC,

ZADE=ZCAD9

?.?NAOE=NC,

：.ZCAD=ZC9

:.DA=DC9

*:AD=AC9

：.AD=DC=AC9設

■:DE"AC,

.DE=BD

??而一而‘

.14-x

*x4

解得x=2.

②如圖2中，當點O在線段6c的延長線上時,

圖2

同法可證：AD=DC=AC9設AO=X,

,:DEMAC,

.DE=BD

??記一而'

.14+x

,,x4

解得x=-2+2&或-2-2衣(舍棄)，

綜上所述，滿足條件的AO的值為2或-2+2、回，

故答案為2或-2+2&.

三、解答題：7小題，共66分

17.已知拋物線yi=ax2+〃x+c的頂點A是直線)2=2*與[3=-2x+4的交點，且經(jīng)過直線

J3=-2x+4與y軸的交點B.

(1)求點A的坐標；

(2)求拋物線的表達式；

(3)寫出當了1＞了3時X的取值范圍.

【分析】(1)?=2x與山=-2*+4聯(lián)立，組成方程組，解方程組即可求得；

(2)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合A、8的坐標即可求得.

解：⑴解,y"得!x=L

[y=-2x+4[y=2

：.A(1,2);

(2)在直線山=-2x+4中，令x=0,則y=4,

：.B(0,4),

設拋物線的解析式為y=a(x-1)2+2,

代入8(0,4)得，4=。+2,

解得a=2,

，拋物線的表達式為y=2(x-1)2+2=2^-4x+4;

(3)???拋物線與直線)3=-2工+4的交點為A(1,2),B(0,4),

/.當J1>J3時X的取值范圍是xVO或X>1.

18.如圖，在。0中，A8是。0的直徑，點。在。0上，0O_L4C于點O,延長。。交。0

于點E,連接EC、EB、BC,若4c=6,0。=有.

(1)求。。的直徑；

(2)求△8EC的面積.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理和勾股定理解答即可；

(2)過點E作EF_LC優(yōu)交的延長線于點居根據(jù)三角形面積公式解答即可.

解：（1）'：OD±AC,AC=6,

：.AD=3,

*：0D=近,

：.0A=4,

二。0的直徑=8;

(2)過點E作交CB的延長線于點尸,

'：AB為直徑，

:.ZACB=ZCDE=ZCFE=90°,

四邊形COE尸為矩形，

EF=CD=^AC=3>,BC=7AB2-AC2=782-62=2V7?

ASABEC=yXBCXEF=^-X2，^3=3后

19.如圖，已知銳角△48C,40、CE分別是BC、48邊上的高.

(1)證明：△ABZ)^>ACB￡;

(2)若△ABC和△BOE的面積分別是24和6,DE=2近,求點5到直線AC的距離.

A

￡A\

B'DC

【分析】（1）由有兩個角分別相等的三角形相似證明即可；

（2）利用兩組邊成比例夾角相等的兩個三角形相似判定△BEDsajJCA,再利用相似三

角形的面積比等于相似比的平方，得出比例式，求得AC的值，然后利用三角形的面積

公式求得答案即可.

解：（1）證明：VXD,CE分別是8C、AB邊上的高，

：.ZADB=ZCEB=90°,

義?:ZB=ZB,

:.△ABDsMBE;

（2）?:△ABDs^CBE,

，，EB-CB，

義?:NB=NB,

:.ABEDsABCA,

.SABDE_RE）2

^AABC

?.,△ABC和△3QE的面積分別是24和6,OE=2&,

五

*?*62_4/（2AC、）2'

.?.AC=4&,

2

...點B到直線AC的距離為："SAABC=f"=6^2.

AC4V2

20.把一邊長為40c,"的正方形硬紙板，進行適當?shù)募舨?，折成一個長方體形盒子（紙板的

厚度忽略不計），

（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個

無蓋的長方體形盒子.要使折成的長方膨體盒子的底面積為484cm2,那么剪掉的正方形

的邊長為多少？

(2)在(1)中，折成的長方體形盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個最大

值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由.

【分析】(1)假設剪掉的正方形的邊長為xcm,根據(jù)題意得出(40-2X)2=484,求出

即可；

(2)假設剪掉的正方形的邊長為acwi,盒子的側(cè)面積為yc,”2,則y與*的函數(shù)關系為：

y=4(40-2a)a,利用二次函數(shù)最值求出即可.

解：(1)設剪掉的正方形的邊長為xcm.

則(40-2x)2=484,

即40-2x=±22,

解得xi=31(不合題意，舍去)，X2=9,

...剪掉的正方形的邊長為9cm.

(2)側(cè)面積有最大值.

設剪掉的小正方形的邊長為acm,盒子的側(cè)面積為興”產(chǎn),

則y與4的函數(shù)關系為：y=4(40-2a)a,

即y=-8a2+160%

即y=-8(a-10)2+800,

；.a=10時，y*大=800.

即當剪掉的正方形的邊長為10C”?時，長方彩盒子的側(cè)面積最大為800cm2.

21.如圖，A8是的直徑，。、E為。O上位于4B異側(cè)的兩點，連接80并延長至點C,

使得歐=8。，連接AC交。。于點F,連接AE、DE.DF.

(1)證明：NE=NC;

(2)若NE=55°,求NBOf的度數(shù)；

(3)設OE交A3于點G,若43=10,E是血的中點，求EG?ED的值.

E

【分析】(1)直接利用圓周角定理得出ADA.BC,再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出

AB=AC,即可得出NE=NC;

(2)利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NA尸。=180°-NE,進而得出N8Z)F=NC+N

CFD,即可得出答案：

(3)根據(jù)AB的長，即可求出AE的長，再判斷△AEGs/kOEA,求出EG?的值.

【解答】證明：(1)連接A。，

,：AB是的直徑，

/.ZADB=90°,即AZJJLBC,

'：CD=BD,

：.AD垂直平分BC,

：.AB=AC,

N5=NC,

又,:NB=NE,

NE=NC;

(2)?.,四邊形A￡Z)尸是。。的內(nèi)接四邊形,

N4尸。=180°-NE,

又1?NCf￡>=18()°-ZAFD,

：.ZCFD=ZE=55",

又；NE=NC=55°,

AZBDF=ZC+ZCFD=110°;

(3)連接OE,

VAB=10,

是靠的中點，A8是OO的直徑，

/.ZAOE=90",

'：AO=OE=5,

：.AE=5y/2,

TE是定的中點，

：.ZADE=ZEAB,

.?.△AEGs^OEA,

.AEDE

**EG=AE，

即EG?ED=AE2=50.

22.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)圖象的表達式)=如2+(〃+1)x,其中。=#0.

(1)若此函數(shù)圖象過點(1,-3),求這個二次函數(shù)的表達式；

()

(2)函數(shù)y=ax2+(?+1)x(。中0),若xi,ji),(xz,J2為此二次函數(shù)圖象上的

兩個不同點，

①若Xl+X2=2,則刈=丁2,試求。的值；

②當Xl>M2-2,對任意的Xl,X2都有丁1>)2,試求。的取值范圍.

【分析】(1)直接將點(1,-3)代入即可；

(2)①利用等式的性質(zhì)，求解〃；②由已知當打>%22-2,對任意的xi,X2都有yi>

J2,則在乃>X2,-2時，二次函數(shù)是遞增的，結(jié)合圖象即可求解.

解：(1)丁函數(shù)圖象過點(1,-3),

；?將點代入(a+1)%,

解