專題05-倍長中線問題(解析版)

專題05倍長中線問題【要點提煉】一、【倍長中線法】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．倍長中線法的過程：延長某某到某點，使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角）+倍長中線最重要的一點，延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造。

二、【倍長中線法拓展;兩次全等】通常，在倍長中線后的第一組全等只是一個基礎(chǔ)，往往還需證明第二組全等，但是難點就在于如何去倍長中線，倍長中線后去連接什么線，這是問題的關(guān)鍵。這時一般需要去試錯，尤其是當有兩個中點時，一般是倍長中線后大概率會有另一組的全等。三、【倍長中線的常見類型】1.基本型如圖1，在中，為邊上的中線.

延長至點E，使得.若連結(jié)，則;若連結(jié)，則;若連結(jié)則四邊形是平行四邊形.

2.中點型如圖2,為的中點.

若延長至點，使得，連結(jié)，則;若延長至點，使得，連結(jié)，則.

總結(jié)：在線段外，與中點連結(jié)的點有和.事實上，和分別是和的中線，只不過是三角形不完整罷了，本質(zhì)就是隱蔽的“基本型”

3.中點+平行線型如圖3,，點為線段的中點.延長交于點(或交延長線于點)，則.小結(jié)若按“中點型”來倍長，則需證明點在上，為了避免證明三點共線，點就直接通過延長相交得到.因為有平行線，內(nèi)錯角相等，故根據(jù)“AAS”或“ASA”證明全等.這里“中點+平行線型”可以看做是“中點型”的改良版.【專題訓練】一、解答題（共14小題）

1.小明遇到這樣一個問題，如圖1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：（1）小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）（2）AD的取值范圍是小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G、F分別為AD，BC邊上的點，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長．【答案】【第1空】SAS

【第2空】1＜AD＜6【解答】解：（1）如圖2中，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．在△BED和△CAD中，，∴△BED≌△CAD（SAS）．（2）∵△BED≌△CAD，∴BE＝AC＝5，∵AB＝7，∴2＜AE＜12，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6．故答案分別為SAS，1＜AD＜6．解決問題：如圖3中，解：延長GE交CB的延長線于M．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，在△AEG和△BEM中，，∴△AEG≌△BEM，∴GE＝EM，AG＝BM＝2，∵EF⊥MG，∴FG＝FM，∵BF＝4，∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，∴GF＝FM＝6．【知識點】四邊形綜合題2.自主學習，學以致用先閱讀，再回答問題：如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長AD至E，使DE＝AD．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），進一步可得到AB＝CE，AB∥CE等結(jié)論．在已知三角形的中線時，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進一步解決一些相關(guān)的計算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，F(xiàn)為AD上一點，且BF＝AC，連結(jié)并延長BF交AC于點E，求證：AE＝EF．【解答】證明：延長AD到G，使DF＝DG，連接CG，∵AD是中線，∴BD＝DC，在△BDF和△CDG中∴△BDF≌△CDG，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠G，∵BF＝CG，BF＝AC，∴CG＝AC，∴∠G＝∠CAF，∴∠AFE＝∠CAF，∴AE＝EF．【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)3.閱讀并解答問題．如圖，已知：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC＞2AD．證明：延長AD至E使得DE＝AD，連接EC，則AE＝2AD∵AD為△ABC的中線∴BD＝CD在△ABD和△CED中，∴△ABD≌△CED∴AB＝EC在△ACE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有AC+ECAE而AB＝EC，AE＝2AD∴AB+AC＞2AD這種輔助線方法，我們稱為“倍長中線法”，請利用這種方法解決以下問題：（1）如圖，已知：CD為Rt△ABC的中線，∠ACB＝90°，求證：CD＝；（2）把（1）中的結(jié)論用簡潔的語言描述出來．【答案】＞【解答】解：（1）證明：延長CD至E使DE＝CD，連接EB，AE．∵CD為Rt△ABC的中線，∴AD＝CD，∵CD＝DE，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB，∴∠ACD＝∠DEB，AC＝BE，∴AC∥BE，∴四邊形ACBE是平行四邊形，又∵∠ACB＝90°，∴平行四邊形ACBE是矩形，∴AB＝CE，CD＝DE＝AD＝BD，∴CD＝AB；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【知識點】直角三角形斜邊上的中線、全等三角形的判定與性質(zhì)

4.我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當α+β＝180°時，我們稱△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”．①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD＝BC；②如圖3，當∠BAC＝90°，BC＝8時，則AD長為．猜想論證：（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，AB＝2．在四邊形內(nèi)部是否存在點P，使△PDC是△PAB的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補中線”長；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）①如圖2中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC，故答案為．②如圖3中，∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4，故答案為4．（2）結(jié)論：AD＝BC．理由：如圖1中，延長AD到M，使得AD＝DM，連接B′M，C′M∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，∴AC′＝B′M＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD＝BC．（3）存在．理由：如圖4中，延長AD交BC的延長線于M，作BE⊥AD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN．連接DF交PC于O．∵∠ADC＝150°，∴∠MDC＝30°，在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM＝BM＝7，∴DE＝EM﹣DM＝3，∵AD＝6，∴AE＝DE，∵BE⊥AD，∴PA＝PD，PB＝PC，在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，∴tan∠CDF＝，∴∠CDF＝60°∴∠ADF＝90°＝∠AEB，∴∠CBE＝∠CFD，∵∠CBE＝∠PCF，∴∠CFD＝∠PCF，∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°，∴∠CPF＝∠CDF＝60°＝∠CDF易證△FCP≌△CFD，∴CD＝PF，∵CD∥PF，∴四邊形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，∴△ADP是等邊三角形，∴∠ADP＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD+∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋補三角形”，∵AB＝2．∴△PAB的“旋補中線”長＝AB＝．【知識點】四邊形綜合題5.我們定義：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊相等，且它們的夾角互補，我們就把其中一個三角形叫做另一個三角形的“夾補三角形”，同時把第三邊的中線叫做“夾補中線．例如：圖1中，△ABC與△ADE的對應(yīng)邊AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，AF是DE邊的中線，則△ADE就是△ABC的“夾補三角形”，AF叫做△ABC的“夾補中線”．特例感知：（1）如圖2、圖3中，△ABC與△ADE是一對“夾補三角形”，AF是△ABC的“夾補中線”；①當△ABC是一個等邊三角形時，AF與BC的數(shù)量關(guān)系是：；②如圖3當△ABC是直角三角形時，∠BAC＝90°，BC＝a時，則AF的長是；猜想論證：（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AF與BC的關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在四邊形ABCD中，∠DCB＝90°，∠ADC＝150°，BC＝2AD＝6，CD＝，若△PAD是等邊三角形，求證：△PCD是△PBA的“夾補三角形”，并求出它們的“夾補中線”的長．【解答】解：（1）∵△ABC與△ADE是一對“夾補三角形”，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，①∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，∴∠ADE＝30°，∵AF是“夾補中線”，∴DF＝EF，∴AF⊥DE，在Rt△ADF中，AF＝AD＝AB＝BC，故答案為：AF＝BC；②當△ABC是直角三角形時，∠BAC＝90°，∵∠DAE＝90°＝∠BAC，易證，△ABC≌△ADE，∴DE＝BC，∵AF是“夾補中線”，∴DF＝EF，∴AF＝DE＝BC＝a，故答案為a；（2）解：猜想：AF＝BC，理由：如圖1，延長DA到G，使AG＝AD，連EG∵△ABC與△ADE是一對“夾補三角形”，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，∴AG＝AB，∠EAG＝∠BAC，AE＝AC，∴△AEG≌△ACB，∴EG＝BC，∵AF是“夾補中線”，∴DF＝EF，∴AF＝EG，∴AF＝BC；（3）證明：如圖4，∵△PAD是等邊三角形，∴DP＝AD＝3，∠ADP＝∠APD＝60°，∵∠ADC＝150°，∴∠PDC＝90°，作PH⊥BC于H，∵∠BCD＝90°∴四邊形PHCD是矩形，∴CH＝PD＝3，∴BH＝6﹣3＝3＝CH，∴PC＝PB，在Rt△PCD中，tan∠DPC＝＝，∴∠DPC＝30°∴∠CPH＝∠BPH＝60°，∠APB＝360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC＝150°，∴∠APB+∠CPD＝180°，∵DP＝AP，PC＝PB，∴△PCD是△PBA的“夾補三角形”，由（2）知，CD＝，∴△PAB的“夾補中線”＝＝．【知識點】四邊形綜合題6.如圖1，在△ABC中，點D是BC的中點，延長AD到點G，使DG＝AD，連接CG，可以得到△ABD≌△GCD，這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長中線法”．如圖2，在△ABC中，點D是BC的中點，點E是AB上一點，連接ED，小明由圖1中作輔助線的方法想到：延長ED到點G，使DG＝ED，連接CG．（1）請直接寫出線段BE和CG的關(guān)系：；（2）如圖3，若∠A＝90°，過點D作DF⊥DE交AC于點F，連接EF，已知BE＝3，CF＝2，其它條件不變，求EF的長．【答案】BE=CG【解答】解：（1）∵點D是BC的中點，∴BD＝CD，在△EBD和△GCD中，∵，∴△EBD≌△GCD（SAS），∴BE＝CG，故答案為：BE＝CG；（2）如圖，連接GF，由（1）知△EBD≌△GCD，∴∠B＝∠GCD，BE＝CG＝3，又∵∠A＝90°，∴∠B+∠BCA＝90°，∴∠GCD+∠BCA＝90°，即∠GCF＝90°，∵CG＝3，CF＝2，∴FG＝＝，∵DF⊥DE，且DE＝DG，∴EF＝FG＝．【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)7.[方法呈現(xiàn)]（1）如圖①，△ABC中，AD為中線，已知AB＝3，AC＝5，求中線AD長的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連結(jié)CE，則易證△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，則可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，從而可得中線AD長的取值范圍是．[探究應(yīng)用]（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系，并寫出完整的證明過程．（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F，點E是BC的中點，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】2＜AD＜8【解答】解：（1）由題意知AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AD＜5+3，∴2＜AD＜8，故答案為：2＜AD＜8；（2）如圖②，延長AE，DC交于點F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．（3）如圖③，延長AE，DF交于點G，同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，∴AB＝CG，∴AF+CF＝AB．【知識點】四邊形綜合題8.數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，請補充完整證明“△ADC≌△EDB”的推理過程．（1）求證：△ADC≌△EDB證明：∵延長AD到點E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（）CD＝BD（中點定義）∴△ADC≌△EDB（）（2）探究得出AD的取值范圍是；【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中線，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的長．【答案】【第1空】對頂角相等

【第2空】SAS

【第3空】1＜AD＜7【解答】解：（1）證明：延長AD到點E，使DE＝AD，在△ADC和△EDB中，AD＝ED（已作），∠ADC＝∠EDB（對頂角相等），CD＝BD（中點定義），∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案為：對頂角相等，SAS；（2）∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，8﹣6＜AE＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（3）延長AD交EC的延長線于F，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴∠ABD＝∠FCD，在△ABD和△FCD中，，∴△ABD≌△FCD，∴CF＝AB＝2，AD＝DF，∵∠ADE＝90°，∴AE＝EF，∵EF＝CE+CF＝CE+AB＝4+2＝6，∴AE＝6．【知識點】三角形綜合題9.我們定義：在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當α+β＝180°時，我們稱△AB'C'叫△ABC的“旋補三角形”，△AB'C'的邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”．下面各圖中，△AB'C'均是△ABC的“旋補三角形”，AD均是△ABC的“旋補中線”．（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，BC＝8，則AD的長等于；（2）如圖2，若∠BAC＝90°，求證：AD＝BC；（3）如圖3，若△ABC為任意三角形，（2）中結(jié)論還成立嗎？如果成立，給予證明；如果不成立，說明理由．【解答】解：（1）如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC＝4，（2）證明：如圖2中，∵AB繞點A旋轉(zhuǎn)得到AB'，AC繞點A旋轉(zhuǎn)得到AC'，∴AB′＝AB，AC'＝AC，∵∠BAC＝90°，α+β＝180°，∠B′AC′＝360°﹣（α+β）﹣∠BAC，∴∠B′AC′＝360°﹣180°﹣90°＝90°，∴∠BAC＝∠B′AC′，∴△BAC≌△B′AC′（SAS）∴BC＝B′C′，∵AD是△AB'C'邊B'C'上的中線，∠B′AC′＝90°．∴AD＝B′C′．∴AD＝BC．（3）結(jié)論AD＝BC成立．理由：如圖3中，延長AD到A′，使得AD＝DA′，連接B′A′，C′A′．∴AD＝AA′，∵B′D＝DC′，AD＝DA′，∴四邊形AB′A′C′是平行四邊形，∴AC′＝B′A′＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝360°﹣180°＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠AB′A′，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′A′（SAS）∴BC＝AA′，∴AD＝BC．【知識點】幾何變換綜合題10.閱讀理解：小明熱愛數(shù)學，在課外書上看到了一個有趣的定理﹣﹣“中線長定理”：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在△ABC中，點D為BC的中點，根據(jù)“中線長定理”，可得：AB2+AC2＝2AD2+2BD2．小明嘗試對它進行證明，部分過程如下：解：過點A作AE⊥BC于點E，如圖2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，為證明的方便，不妨設(shè)BD＝CD＝x，DE＝y(tǒng)，∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…（1）請你完成小明剩余的證明過程；理解運用：（2）①在△ABC中，點D為BC的中點，AB＝6，AC＝4，BC＝8，則AD＝；②如圖3，⊙O的半徑為6，點A在圓內(nèi)，且OA＝2，點B和點C在⊙O上，且∠BAC＝90°，點E、F分別為AO、BC的中點，則EF的長為；拓展延伸：（3）小明解決上述問題后，聯(lián)想到《能力訓練》上的題目：如圖4，已知⊙O的半徑為5，以A（﹣3，4）為直角頂點的△ABC的另兩個頂點B，C都在⊙O上，D為BC的中點，求AD長的最大值．請你利用上面的方法和結(jié)論，求出AD長的最大值．【解答】解：（1）過點A作AE⊥BC于點E，如圖2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，為證明的方便，不妨設(shè)BD＝CD＝x，DE＝y(tǒng)，∴AB2+AC2＝2AE2+（x+y）2+（x﹣y）＝2AE2+2x2+2y2、＝2AE2+2BD2+2DE2＝2AD2+2BD2．（2）①∵AB2+AC2＝2AD2+2BD2，∴62+42＝2AD2+2×42，∴AD＝②如圖3中，∵AF是△ABC的中線，EF是△AEO的中線，OF是△BOC的中線，∵2EF2+2AE2＝AF2+OF2，2AF2+2BF2＝AB2+AC2，OF2＝OB2﹣BF2，∴4EF2＝2OB2﹣4AE2＝2OB2﹣OA2，∴EF2＝OB2﹣OA2＝16，∴EF＝4（負根以及舍棄），故答案為．4．（3）如圖4中，連接OA，取OA的中點E，連接DE．由（2）的②可知：DE═OB2﹣OA2＝，在△ADE中，AE＝，DE＝，∵AD≤AE+DE，∴AD長的最大值為+＝10．【知識點】圓的綜合題

11.[問題提出]如圖①，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．[問題解決]解決此問題可以用如下方法，延長AD到點E使DE＝AD，再連結(jié)BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針裝轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷，由此得出中線AD的取值范圍是[應(yīng)用]如圖②，如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的長[拓展]如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上，過點D作DF⊥DE交邊AC于點F，連結(jié)EF，已知BE＝4，CF＝5，則EF的長為【解答】解：（1）在△DAC和△DEB中，，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC＝EB＝4，∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝6，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）延長AD到E，使得AD＝DE，連接BE，如圖②，在△DAC和△DEB中，，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC＝EB＝3，∵AE＝2AD＝4，AB＝5，∴BE2+AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，∴BD＝，∴BC＝2BD＝2；（3）延長FD到G，使得DG＝FD，連接BG，EG，如圖③，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF＝5，DG＝DF，∠DBG＝∠DCF，∵DE⊥DF，∴EG＝EF，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠DBG＝90°，∴EG＝，∴EF＝，故答案為：．【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、垂線段最短、三角形三邊關(guān)系、解直角三角形12.我們定義：如圖1，在△ABC看，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當α+β＝180°時，我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”．①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD＝BC；②如圖3，當∠BAC＝90°，BC＝8時，則AD長為．猜想論證：（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【解答】解：（1）①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD＝BC；理由：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC，故答案為．②如圖3，當∠BAC＝90°，BC＝8時，則AD長為4．理由：∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4，故答案為4．（2）猜想．證明：如圖，延長AD至點Q，則△DQB'≌△DAC'，∴QB'＝AC'，QB'∥AC'，∴∠QB'A+∠B'AC'＝180°，∵∠BAC+∠B'AC'＝180°，∴∠QB'A＝∠BAC，又由題意得到QB'＝AC'＝AC，AB'＝AB，∴△AQB'≌△BCA，∴AQ＝BC＝2AD，即．【知識點】幾何變換綜合題13.如圖1，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動點D在直線AM（點D與點A重合除外）上時，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．（1）判斷AD與BE是否相等，請說明理由；（2）如圖2，若AB＝8，點P、Q兩點在直線BE上且CP＝CQ＝5，試求PQ的長；（3）在第（2）小題的條件下，當點D在線段AM的延長線（或反向延長線）上時．判斷PQ的長是否為定值，若是請直接寫出PQ的長；若不是請簡單說明理由．【解答】解：（1）AD＝BE．理由如下：∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，∠BCE+∠BCD＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如圖，過點C作CN⊥BQ于點N，∵CP＝CQ，∴PQ＝2PN，∵△ABC是等邊三角形，AM是中線，∴CM⊥AD，CM＝BC＝×8＝4，∴CN＝CM＝4（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），∵CP＝CQ＝5，∴PN＝＝＝3，∴PQ＝2PN＝2×3＝6