數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.4數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)一、單選題1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且）的過(guò)程，由到時(shí)，左邊增加了（

）A．項(xiàng) B．項(xiàng)C．項(xiàng) D．k項(xiàng)2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗(yàn)證成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式是（

）A．1 B． C． D．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，第一步驗(yàn)證時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（

）A．1 B． C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，時(shí)，在第二步證明從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（

）A． B． C． D．5．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要再證（

）A．時(shí)等式成立 B．時(shí)等式成立C．時(shí)等式成立 D．時(shí)等式成立6．現(xiàn)有命題：，用數(shù)學(xué)歸納法探究此命題的真假情況，下列說(shuō)法正確的是（

）A．不能用數(shù)學(xué)歸納法判斷此命題的真假B．此命題一定為真命題C．此命題加上條件后才是真命題，否則為假命題D．存在一個(gè)無(wú)限大的常數(shù)，當(dāng)時(shí)，此命題為假命題二、多選題7．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）A．使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)B．使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)C．推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是D．推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）A．使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)B．使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)C．推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是D．推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是三、填空題9．在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時(shí)，則當(dāng)時(shí)，除了時(shí)必須有歸納假設(shè)的代數(shù)式相關(guān)的表達(dá)式外，還必須有與之相加的代數(shù)式為．10．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n為正整數(shù)，且）時(shí)，第一步取驗(yàn)證．四、解答題11．用數(shù)學(xué)歸納法證明：12．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立．證明分為下面兩個(gè)步驟：1．證明當(dāng)（）時(shí)命題成立；2．假設(shè)（，且）時(shí)命題成立，推導(dǎo)出在時(shí)命題也成立．用模取余運(yùn)算：表示“整數(shù)除以整數(shù)，所得余數(shù)為整數(shù)”．用帶余除法可表示為：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)，即，整數(shù)是商．如，則；再如，則．當(dāng)時(shí)，則稱(chēng)整除．現(xiàn)從序號(hào)分別為，，，，…，的個(gè)人中選出一名幸運(yùn)者，為了增加趣味性，特制定一個(gè)遴選規(guī)則：大家按序號(hào)圍成一個(gè)圓環(huán)，然后依次報(bào)數(shù)，每報(bào)到（）時(shí)，此人退出圓環(huán)；直到最后剩1個(gè)人停止，此人即為幸運(yùn)者，該幸運(yùn)者的序號(hào)下標(biāo)記為．如表示當(dāng)只有1個(gè)人時(shí)幸運(yùn)者就是；表示當(dāng)有6個(gè)人而時(shí)幸運(yùn)者是；表示當(dāng)有6個(gè)人而時(shí)幸運(yùn)者是．(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，，求；當(dāng)時(shí)，解釋上述遞推關(guān)系式的實(shí)際意義；(3)由（2）推測(cè)當(dāng)（）時(shí)，的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．參考答案1．B【分析】根據(jù)給定條件，探討從變到不等式左邊增加的部分即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，增加的項(xiàng)為，共有項(xiàng).故選：B2．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法分析判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以左邊為.故選：C.3．D【分析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可得答案.【詳解】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知：當(dāng)時(shí)，等式的左邊是.故選：D．4．A【分析】列出增加的項(xiàng)，即可得解.【詳解】從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)為，，…，，因此增加的項(xiàng)數(shù)是.故選：A．5．B【分析】直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法分析判斷即可.【詳解】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知，假設(shè)（，k為偶數(shù)）時(shí)命題為真，還需要再證明下一個(gè)偶數(shù)，即時(shí)等式成立.故選：B6．B【分析】直接用數(shù)學(xué)歸納法證明可得答案．【詳解】①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，即時(shí)，等式成立；②假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，等式成立．綜上，對(duì)任意，等式恒成立，所以ACD錯(cuò)誤.故選：B．7．BC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；即使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；兩式相減得：，所以推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC.8．BC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；即使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；兩式相減得：，所以推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC.9．【分析】按數(shù)學(xué)歸納法寫(xiě)出證明過(guò)程即可得答案.【詳解】設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除，所以時(shí)，，因此必須有代數(shù)式．故答案為：10．2【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟一：取證明的命題對(duì)象中的最小自然數(shù)，即可得出．【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n為正整數(shù)，且）時(shí)，第一步取驗(yàn)證．故答案為：2.11．證明見(jiàn)解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟進(jìn)行證明即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，左邊，左邊右邊，不等式成立；②假設(shè)時(shí)不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，左邊，即當(dāng)時(shí)，不等式也成立.由①②可知，原不等式成立.12．(1)(2)，答案見(jiàn)解析(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）用模取余法可求結(jié)論；（2）由，，可求；從個(gè)人中選出一個(gè)幸運(yùn)者時(shí)，幸運(yùn)者的序號(hào)下標(biāo)為，從個(gè)人中選出一個(gè)幸運(yùn)者時(shí)，幸運(yùn)者的序號(hào)下標(biāo)為，后者的圓環(huán)可以認(rèn)為是前者的圓環(huán)退出一人而形成的，可推得結(jié)論；（3）取時(shí)，分別求得，，，；可得當(dāng)（）時(shí)，，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．【詳解】（1）因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，且，所以，故．?dāng)時(shí)，遞推關(guān)系式的實(shí)際意義：當(dāng)從個(gè)人中選出一個(gè)幸運(yùn)者時(shí)，幸運(yùn)者的序號(hào)下標(biāo)為，而從個(gè)人中選出一個(gè)幸運(yùn)者時(shí)，幸運(yùn)者的序號(hào)下標(biāo)為．如果把二者關(guān)聯(lián)起來(lái)，后者的圓環(huán)可以認(rèn)為是前者的圓環(huán)退出一人而形成的，當(dāng)然還要重新排序，由于退出來(lái)的是，則原環(huán)的就成了新環(huán)的，也就是說(shuō)原環(huán)的序號(hào)下標(biāo)要比新環(huán)的大，原環(huán)的就成了新環(huán)的．需要注意，新環(huán)序號(hào)后面一直到，如果下標(biāo)加上，就會(huì)超過(guò)．如新環(huán)序號(hào)對(duì)應(yīng)的是原環(huán)中的，…，新環(huán)序號(hào)對(duì)應(yīng)的是原環(huán)中的．也就是說(shuō)，得用新環(huán)的序號(hào)下標(biāo)加上再減去，才能在原環(huán)中找到對(duì)應(yīng)的序號(hào)，這就需要用模取余，即．（3）由題設(shè)可知，由（2）知：；；；；；；；由此推測(cè)，當(dāng)（）時(shí)，．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1．當(dāng)時(shí)，，推測(cè)成立；2．假設(shè)當(dāng)（，，且）時(shí)推測(cè)成立，即．由（2）知．（?。┊?dāng)時(shí)，；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即．故當(dāng)時(shí)，