2020-2021學年江蘇省南通市海安某中學高二（下）期末數(shù)學試卷

2020-2021學年江蘇省南通市海安高級中學高二（下）期末數(shù)學

試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是符合題目要求的.

1.（5分）設集合A,B是全集U的兩個子集，則“AUB”是“ACCu8=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

)

3.（5分）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究、應用與推廣，發(fā)明了

“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術體

系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻；某雜交水稻種植

研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為

（x-100）1

f（x）=一―一200—,x€（-8,XQ）,則下列說法正確的是（）

10V2K

A.該地水稻的平均株高為lOOon

B.該地水稻株高的方差為10

C.隨機測量一株水稻，其株高在\20cm以上的概率比株高在70c”?以下的概率大

D.隨機測量一株水稻，其株高在（80,90）和在（10（）,110）（單位：cm）的概率一樣

大

4.（5分）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是

中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，塔群

隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,

5,5,7,…，該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為（）

A.39B.45C.48D.51

5.（5分）設向量之=（1,0）,（工，-1）,則下列結論正確的是（）

22

A.|；|=lbB,返C.（a~b）-LbD.a〃b

2

02

6.（5分）已知a=cosl°-sinl,b=272cos22.5°c-l+tanl,則小兒

I-tanl

c的大小順序為（）

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

7.（5分）己知拋物線C：丁=?的焦點為凡其準線/與x軸相交于點M,過點例作斜率

為人的直線與拋物線C相交于A,B兩點，若N4尸B=60°,則A=（）

A.+AB.±返C.+返D.土返

24-22

8.（5分）3。打印屬于快速成形技術的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎，運用粉末

狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構造物體的技術（即“積層造

型法”）.過去常在模具制造、工業(yè)設計等領域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直

接制造，特別是一些高價值應用（比如微關節(jié)、牙齒或一些飛機零部件等）.已知利用3D

打印技術制作如圖所示的模型，該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個正方體后的剩余部分（正

方體四個頂點在圓錐母線上，四個頂點在圓錐底面上），圓錐底面直徑為母線

與底面所成角的正切值為加.打印所用原料密度為Ig/cwA不考慮打印損耗，制作該模

型所需原料的質(zhì)量約為（取精確到0.1）（）

A.609.4gB.447.3gC.398.3gD.357.3g

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.（5分）下列結論中正確的有（）

A.若a,為正實數(shù)，a￥b,貝ij匕+。區(qū)

B.若三>則a>b

22

cc

C.若mb,〃?為正實數(shù)，a<b,則三也<且

b+mb

D.當x>0時，x+2的最小值為2料

X

10.（5分）關于函數(shù)/（x）=|sinjt|+|cosx|（x€R），如下結論中正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的周期是事

B.函數(shù)/（x）的值域是［0,V21

C.函數(shù)/（x）的圖象關于直線x=n對稱

D.函數(shù)/'（X）在（三，竺）上遞增

24

22

11.（5分）已知雙曲線C：A_-2_=l（?>0,b>0）的右頂點、右焦點分別為A,F,

2,2

ab

過點A的直線，與C的一條漸近線交于點Q,直線。尸與C的一個交點為B,AQ-AB=

AQ-FB,且前=3而，則下列結論正確的是（）

A.直線/與x軸垂直

B.C的離心率為生醫(yī)

3_

C.C的漸近線方程為y=±±叵

9

D.\FQ\=\OF］（其中O為坐標原點）

12.（5分）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口

袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復〃（?GN*）次這樣的操作，記甲口袋中黑球

個數(shù)為X,”恰有2個黑球的概率為P，”恰有1個黑球的概率為孫”則下列結論正確的是

（）

A167

P2育^2^7

B.數(shù)列｛2p“+qu1｝是等比數(shù)列

C.X”的數(shù)學期望E（Xn）=l+（方）n（〃€N*）

D.數(shù)列仍”｝的通項公式為pn工（二）n_L（L）nJ（?GN*）

n109235

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）若一組樣本數(shù)據(jù)2,3,7,8,a的平均數(shù)為5,則該組數(shù)據(jù)的方差52

14.（5分）已知復數(shù)z對應的點在復平面第四象限內(nèi)，甲、乙、丙、丁四人對復數(shù)z的陳述

--「一2

如下（i為虛數(shù)單位）：甲：z+z=2；乙：z-z=-2V3i；丙：z?z=4；T：=1——,在

z2

甲、乙、丙、丁四人陳述中，有且只有兩個人的陳述正確，則復數(shù)z=.

15.（5分）已知圓Ci：7+9+2^-8y+8=0,若圓C2與圓Ci關于直線y=-x+2對稱，且

與直線/：mx+y+m-2=0交于A、B兩點，貝口4用的取值范圍是.

16.（5分）已知三棱錐P-A8C內(nèi)接于表面積為36n的球中，面租8_1面48<7,

I,PB工BC,ZAPB=\20°,則三棱錐P-A8c體積為.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

17.（10分）在①S”="2+〃，②“3+45=16,53+55=42,③0±1=三包，$7=56這三個條件

ann

中任選一個補充在下面的問題中，并加以解答.

設等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”數(shù)列｛為｝為等比數(shù)列，—，b\=a\,歷=上1.求

2

數(shù)列｛_1_+小｝的前n項和Tn.

5n

18.（12分）2019年12月份，我國湖北武漢出現(xiàn)了新型冠狀病毒，人感染后會出現(xiàn)發(fā)熱、

咳嗽、氣促和呼吸困難等，嚴重的可導致肺炎甚至危及生命.為了增強居民防護意識，

增加居民防護知識，某居委會利用網(wǎng)絡舉辦社區(qū)線上預防新冠肺炎知識答題比賽，所有

居民都參與了防護知識網(wǎng)上答卷，最終甲、乙兩人得分最高進入決賽，該社區(qū)設計了一

個決賽方案：①甲、乙兩人各自從6個問題中隨機抽3個.已知這6個問題中，甲能正

確回答其中的4個，而乙能正確回答每個問題的概率均為2,甲、乙兩人對每個問題的

3

回答相互獨立、互不影響；②答對題目個數(shù)多的人獲勝，若兩人答對題目數(shù)相同，則由

乙再從剩下的3道題中選一道作答，答對則判乙勝，答錯則判甲勝.

(1)求甲、乙兩人共答對2個問題的概率；

(2)試判斷甲、乙誰更有可能獲勝？并說明理由；

(3)求乙答對題目數(shù)的分布列和期望.

19.(12分)如圖，在梯形ABCD中，已知AD〃BC,AD=\,2^/10，ZCAD^^L,

tanZA￡)C=-2,求：

(1)CO的長；

(2)/\BCD的面積.

20.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中,A?！˙C,ZADC=ZB4B=90°,BC=CD=1AD.E

2

為棱4。的中點，異面直線以與CO所成的角為90°.

(I)在平面以8內(nèi)找一點使得直線CM〃平面P8E,并說明理由；

(II)若二面角P-CC-A的大小為45°,求直線％與平面PCE所成角的正弦值.

22_

21.(12分)橢圓E：%+J=I的離心率工，長軸端點和短軸端點的距離為由.

a2b22

(1)求橢圓E的標準方程;

(2)點P是圓/+/=，(r>0)上異于點A(-r,0)和8(r,0)的任一點，直線AP

與橢圓E交于點M,N,直線BP與橢圓E交于點S,T.設。為坐標原點，直線OM,

ON,OS,。7的斜率分別為hw，koN，kos，koT.問:是否存在常數(shù)r,使得

=垢5+&07恒成立？若存在，求r的值；若不存在，請說明理由.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)—X---minx,g(x)=x+』-Unx)m,其中x>0,，托R.

XX

(I)若函數(shù)f(x)無極值，求用的取值范圍；

(II)當"?取(1)中的最大值時，求函數(shù)g(x)的最小值；

(III)若不等式(1+工)"-"We對任意的〃6N*恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

n

2020-2021學年江蘇省南通市海安高級中學高二（下）期末數(shù)學

試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是符合題目要求的.

1.（5分）設集合A,B是全集U的兩個子集,貝U“AUB”是“AnCuB=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：由韋恩圖可知

AUBnACCuB=0,

反之也可得出4nCu8=0=AU2

二“4U8”是“ACCuB=0”的充要條件

【解答】解：由題意，/(-X)=2」3?cos(-X)=-fG),函數(shù)是奇函數(shù)，排除A,

2-x-l

B;

x-0+,f(x)f+8,排除D.

故選：C.

3.(5分)“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究、應用與推廣，發(fā)明了

“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術體

系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻；某雜交水稻種植

研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高(單位：c/n)服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為

(x-100)z

f(x)=-―一200—,xt(-8,*Q),則下列說法正確的是()

10V2H

A.該地水稻的平均株高為IOOCTO

B.該地水稻株高的方差為10

C.隨機測量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70c〃z以下的概率大

D.隨機測量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(單位：cm)的概率一樣

大

【解答】解：由正態(tài)分布密度曲線函數(shù)為

(x-100)Z

x『-8,g),

得|1=100>。=10.

...該地水稻的平均株高為E(X)=100a",故A正確；

該地水稻株高的標準差。=10,方差為100,故5錯誤；

'：P(X>120)=A[1-P(LL-2O<x<u+2o)J=A(I-0.9544)=0.0228,

22

P(X<70)=A[|-P(n-3o<X<n+3o)]=A(1-0.9974)=0.0013,

22

隨機測量一株水稻，其株高在120c/n以上的概率比株高在70c機以下的概率大，故C

正確；

P(80<X<90)=A[P(p-2o<X<n+2o)-P(R-o<X<u+。)]

2

=A(0.9544-0.6826)=0.1359,

2

P（100<X<110）=』[P（H-。<X<H+O）]=Ax0.6826=0.3413.

22

，隨機測量一株水稻，其株高在（80,90）和在（100,110）（單位：加）的概率不一樣

大,

故。錯誤.

故選：AC.

4.（5分）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是

中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，塔群

隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,

5,5,7,…，該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為（）

A.39B.45C.48D.51

【解答】解：設該數(shù)列為｛斯卜由題意得，。5,。6,…成等差數(shù)列，公差d=2,45=5,

設塔群共有〃層，則1+3+3+5+5（n-I）+（n-4）（n-5）X9=IQ8>

2

解得,71=12,

故最下面三層的塔數(shù)之和為。10+。11+02=3。11=3（5+2X6）=51.

故選：D.

5.（5分）設向量之=（1,0）,b=（X1）,則下列結論正確的是（）

22

A.Ial=lblB.W返c.（a-b）±bD.a^b

2

【解答】解：對于4：??響量彳=（1，0）,b=（X工），.?.0=1,畝=返，故A錯

222

誤，

對于8：a?b=lxA+0xA=A,故8錯誤，

222

對于C：（a_b）*b—（―，-A）=工1=0,（a-b）-Lb>故C正

222244

確，

對于D：...1XJL-0XJL=」_W0,，之不平行于總故。錯誤

222

故選：c.

6.（5分）已知a=cosl°-sinl0,b=272cos222.5°-瓜則a,b,

I-tanl

c的大小順序為（）

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

【解答】解：?；a=cosl°-sinl°,

；.a=&sin（45°-1°）=V^sin44°<1

b=2V2cos22.5°2_&=&COS45。=1

又：c=l+tanl°

1-tanl0

.,.<?=tan（45°+1°）=tan46°>1

可得a<b<c

故選:B.

7.(5分)已知拋物線C：J=4x的焦點為凡其準線/與x軸相交于點M,過點M作斜率

為女的直線與拋物線C相交于A,B兩點，若/AFB=60°,則Z=()

A.±AB.土返C.+返D.土瓜

24~22

【解答】解：拋物線V=4x的焦點為F(1,0),準線方程為x=-l,M(-1,0),

過點M作斜率為4的直線方程設為y=k(x+1),聯(lián)立拋物線方程，可得

F/+(2^-4)x+F=0,k手0,

設A（xi，yi）,B（X2,”），可得依同=加+1,\BF\=x2+l,

則4=（22-4）2-4/>o,即-ivy1,且依o,

4

川+元2=-----2,X\X2=1?

k2

可得|AB尸五市|XLX2|=GHJ（X]+X2）2-4XIX2=

1-k4

k2

在△AFB中，由余弦定理可得HB|2=|AF|2+|8砰-2\AF\'\BF]-cos600

=（X|+1）2+（X2+1）2-2（xi+1）（X2+1）,—=（JC1+X2）2+（X1+X2）-2=（_A_-2）2+

乙9ki2

（_L_2）.2=16.12=16（1-1?）

V~2~4T274，

kkkk

解得&=±通,

2

故選：D.

8.（5分）3D打印屬于快速成形技術的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎，運用粉末

狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構造物體的技術（即“積層造

型法”）.過去常在模具制造、工業(yè)設計等領域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直

接制造，特別是一些高價值應用（比如微關節(jié)、牙齒或一些飛機零部件等）.己知利用3D

打印技術制作如圖所示的模型，該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個正方體后的剩余部分（正

方體四個頂點在圓錐母線上，四個頂點在圓錐底面上），圓錐底面直徑為10近河,母線

與底面所成角的正切值為，5.打印所用原料密度為\gk后,不考慮打印損耗，制作該模

精確到0.1）（）

C.398.3gD.357.3g

【解答】解：如圖，是幾何體的軸截面

?圓錐底面直徑為，半徑為

?.?母線與底面所成角的正切值為我，...圓錐的高為10cm,

返

2&10-a

設正方體的棱長為a,則―,■解得〃=5.

5近~10

，該模型的體積丫=〈冗X（5如）2X10-53&用-125（/）?

OO

制作該模型所需原料的質(zhì)量約為（迎三一125）X1=500兀-125加398.3（g）?

33

故選：C

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.(5分)下列結論中正確的有()

A.若a,b為正實數(shù)，aWb,貝!jQ'/v/b+Q序

B.若則

22

C.若“，b,”為正實數(shù)，a<b,則至也《旦

b+mb

D.當x>0時，x+2的最小值為2M

【解答】解：對于選項A：若a,6為正實數(shù)，a于b,因為(aW)-(c^b+ab2)=(a

-b)2(a+b)>0,HPai+b3>a2b+ab2,故4錯誤；

對于選項B：因為2〉包，所以二一—L=總土>0,又因為J>0,所以>0,

22222

即。>匕，故B正確；

對于選項C：若小4，〃為正實數(shù)，a<b,則>0,即空也>旦，故

b+mbb(b+m)b+mb

C錯誤；

對于選項當x>0時，x+2》2c=2圾，故。正確.

故選：BD.

10.(5分)關于函數(shù)f(x)=|sirir|+|cosx|(xGR),如下結論中正確的是()

A.函數(shù)/(x)的周期是三

函數(shù)/(x)的值域是［0,V21

函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=n對稱

函數(shù)/(x)在(工，竺)上遞增

24

、TTTT

當2k兀+■5~<x42k兀+兀，k€Z,f(x)=sinx-cosx^/2sin(x--

當2k兀+兀<x42k冗耳二，k€Z,f(x)=_sinx_cosx=^/^sin(x+^_)，

當2k兀+^-<x42k冗+2冗，k€Z,f(x)=-sinx+cosx=5/2sin(x—

作出函數(shù)/(x)的圖象如圖：

函數(shù)f（x）的周期是三，故A正確；

2

函數(shù)/（x）的值域是[1,a],故B錯誤；

函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=K對稱，故C正確;

函數(shù)/G）在（子，等）上遞增，故O正確.

故選：ACD.

11.（5分）己知雙曲線C：（?>0,/?>0）的右頂點、右焦點分別為A,F,

2,2

ab

過點A的直線/與。的一條漸近線交于點Q,直線QF與C的一個交點為5,AQ?AB=

AQ'FB.且配=3而，則下列結論正確的是（）

A.直線/與x軸垂直

B.C的離心率為2個而

3_

C.C的漸近線方程為、=±2叵

9

D.\FQ\=\OF\（其中0為坐標原點）

【解答】解：由雙曲線的方程可得A（a,0）,設尸（c,0）,由而?瓦=瓦?而,

可得與?（語麗）=AQ,AF=0,所以/垂直于x軸，即/：x=a,故A正確；

設8（xo,/），由前=3而，所以（c-孫-泗）=2（4-c,b）,

所以xo=3c-2a,y()=-2'即B(3c-2〃，-2b),

22

因為8（刈，加）在雙曲線上，所以（3c-2a）_（-2b）=1，

2,2

ab

整理可得9c2-\2ac-a2=0,

由e=￡,可得9e2-12e-1=0,解得6=竺區(qū)（負的舍去），故B正確；

a3

由史=e2-l=（蘭逅）2一1=運

a239

即有雙曲線的漸近線的斜率的平方為延■,故C錯誤；

9

不妨設。在第一象限，則Q（〃，b）,

所以IPQFlFA|2+|AQ|2=Y（c-a）2+b2汽。分故。錯誤

故選：AB.

12.（5分）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口

袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n（nGN*）次這樣的操作，記甲口袋中黑球

個數(shù)為X,”恰有2個黑球的概率為p”，恰有1個黑球的概率為孫，則下列結論正確的是

（）

A167

P2亍^2^7

B.數(shù)列｛2.+%-1｝是等比數(shù)列

C.為的數(shù)學期望￡篁/=1+（方）11（〃6*）

D.數(shù)列｛p“｝的通項公式為pnq-（二）n_L（L）nJ（nGN*）

n109235

【解答】解：（1）由題意可知：21=工，卬=2,

33

貝ijp2=1]3X—q.^—：

3P1334127

^2=—p+（—x--Ax—）q^—?故A錯誤；

3Pl133334127

由題意可知：pn+i^pn+fx/q/Pn帝/

+=

^n+i卷。n+等xy+fxf）qnfd-Pn-qn）'/qn管

兩式相加可得:

2Pn+l(2Pn+qn)項，

??,2pn+qn=/(2PnT+qnT)卷’

.'.2p,i+qn-(2p“-1+4"-1-1),

3

???2p]+q「i=l,???數(shù)列｛2p"+%「1｝是首項為工，公比為」的等比數(shù)列，故8正確;

333

:數(shù)列｛2p“+q“-1｝是首項為工，公比為工的等比數(shù)列，

33

：.2pn+qn-1=(A)",即2加"=(A)"+1,

33

：.E(X?)=2p"+g”+0X(1-pn-qn)=(A)?+l,(”CN*),故C正確；

若數(shù)列｛〃｝的通項公式為Pn工(二)n_L(L)n』(〃6N*),

n109235

則pi=w_x(」)」x!a=ow工，故。錯誤.

10、9，2353

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)若一組樣本數(shù)據(jù)2,3,7,8,。的平均數(shù)為5,則該組數(shù)據(jù)的方差s2=空.

一5一

【解答】解：?.?數(shù)據(jù)2,3,7,8,。的平均數(shù)為5,

二2+3+7+8+。=25,解得a=5,

...方差$2=』[(2-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(5-5)2]=空.

55

故答案為：26.

5

14.(5分)已知復數(shù)z對應的點在復平面第四象限內(nèi)，甲、乙、丙、丁四人對復數(shù)z的陳述

___2

如下(i為虛數(shù)單位)：甲：z+z=2；乙：z-z=-2底i；丙：z-z=4；T：=2-=^—,在

z2

甲、乙、丙、丁四人陳述中，有且只有兩個人的陳述正確，則復數(shù)z=LJ

【解答】解：設z=a+6i,5!%=。-〃，

甲：由z+z=2=2。，即。=1；

乙：由z-z=-2匾i=2Z?i,BPb--V3；

丙：由Z?2=4=6?+/；

2皿.22

由馬一_得但=年==三_,

22

z2a-bia+b2

21

所以a+b=2f

若b=-如,則j+3=2顯然不成立，

故丙丁不能同時成立，乙丁不能同時成立，且甲乙丙可以知二推一,

所以甲丁正確，此時。=1,b=-1,z=l-i.

15.(5分)已知圓jr+y2+2x-8)H-8=0,若圓C2與圓CI關于直線y=-x+2對稱，且

與直線/：必+)，+次-2=0交于A、8兩點，則L48I的取值范圍是_12放，61.

【解答】解：化圓。：/+)?+2x-8y+8=0為(x+1)2+()，-4)2=9,

可得圓心Cl(-1,4),半徑門=3.

設Ci關于直線y=-x+2的對稱點Ci（〃，/?）,

b-4

則上+1,解得卜=-2,即C2（-2,3）,

b+4=_a-lIb=3

22

...圓C2的方程為（x+2）2+（廠3）2=9.

由直線/：rwc+y+m-2=0,即優(yōu)（x+1）+y-2=0,

得卜+1=°,解得卜=-l.

ly-2=0ly=2

.?.直線/過定點尸（-1,2）,

把P代入圓C2的方程，可知點P在圓內(nèi)，則當AB與C2P垂直時最小，

由IC2P|=4(一2+1)2+區(qū)-2)2=-可得|C2Plm1nx何02V?

|。2尸］〃心=6.

的取值范圍是［20,6］.

故答案為：［2訴，6］.

16.(5分)已知三棱錐P-A8C內(nèi)接于表面積為36Tl的球中，面面ABC,PA=PB=

1,PBLBC,ZAPB=l20°,則三棱錐P-ABC體積為逅.

-3-

【解答】解：如圖，

取A8的中點。，連接PO,取4c的中點凡連接OR

"：PA=PB,：.AB±PD,

又平面％B_L平面ABC,平面物BCI平面ABC=A3,

平面ABC,則尸。J_BC,

又PB-LBC,PDCPB=P,...BCl,平面以B,得BC_LA8,

:.F為AABC的外心，又△mB的外心在PD的延長線上，

球心O滿足OF_L平面ABC,OE_L平面PAB,

"：PA=PB=\,ZAPS=120°,可得P￡)=』，AB=M，

在△以8中，由正弦定理求得PE=1,

?.?三棱錐P-ABC內(nèi)接于表面積為36Tt的球，；.OP=3,

求得EO=O尸=2后，貝|J8C=S，

三棱錐P-ABC體積為V=1x—XV3XW2X上巫,

3223

故答案為：逅.

3

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在①S"="2+〃，②。3+“5=16,S3+S5=42,③0!!=生1,$7=56這三個條件

中任選一個補充在下面的問題中，并加以解答.

a,ac

設等差數(shù)列｛“"｝的前”項和為S”數(shù)列｛與｝為等比數(shù)列，—，bi=ai，歷=—L2.求

2

數(shù)列｛J一+仇｝的前〃項和T,,.

Sn

【解答】解:選①：

當n—1時，=Si=2,當時，-1=2〃，又〃=1輛足所以cin

=2".設｛尻｝的公比為q,又因為a「2,a2=4,由b]=a]，b22產(chǎn)，得加=2,

q=2,所以b=2”；

n

由數(shù)歹(J｛5｝的前n項和為2；2；1=291-2,又可知亡二11^11

n2+n-n(n+1)-nn+T

數(shù)列合｝的前〃項和為i蔣總卷+…△一11

=1-

n+1n+1

故中2E2+1一*=2加一告

選②:

2aJ6d=16,a?=2

設公差為d,由aq+a.16,S0+Sc=42,得解得w

?j00D8aj+13d=42,d=2,

所以2設｛bn]的公比為又因為

an=2n,Sn=n+nq

==

ai2,&2=4,由b[=的，b2~5"^"'得"=2，夕=2,所以b=2以

x乙ixCtyn

n+l

由數(shù)列｛為｝的前〃項和為之2二2班1-2，又可知」-=■11^11

1-2n2+nn(n+l)"nn+l'

數(shù)列Q｝的前〃項和為+?.._1=1七故

Snnn+l

中小2+磊_9n+l]

*-n+i-r

選③:

由也皿，得當，1,所以與，即」=a|n，S7=744=28,“=56,所

n1

annn+lnn1

2

以ai=2,所以aQZn,Sn=n+n-

設｛5｝的公比為4，

又因為a[=2,a2=4,由b[=a[b2=a1；2,得b=2,q=2,所以匕小2凡

n+1又可知。1

由數(shù)列｛為｝的前n項和為Nj?_=2-2,

2

Snn+nn(n+l)nn+l

數(shù)歹ij上的前〃項和為「4」+...」二^=i」_,

Sn223nn+ln+l

故Tn=2/1-2+b2*1-士_

nn+ln+l

18.（12分）2019年12月份，我國湖北武漢出現(xiàn)了新型冠狀病毒，人感染后會出現(xiàn)發(fā)熱、

咳嗽、氣促和呼吸困難等，嚴重的可導致肺炎甚至危及生命.為了增強居民防護意識，

增加居民防護知識，某居委會利用網(wǎng)絡舉辦社區(qū)線上預防新冠肺炎知識答題比賽，所有

居民都參與了防護知識網(wǎng)上答卷，最終甲、乙兩人得分最高進入決賽，該社區(qū)設計了一

個決賽方案：①甲、乙兩人各自從6個問題中隨機抽3個.已知這6個問題中，甲能正

確回答其中的4個，而乙能正確回答每個問題的概率均為2,甲、乙兩人對每個問題的

3

回答相互獨立、互不影響；②答對題目個數(shù)多的人獲勝，若兩人答對題目數(shù)相同，則由

乙再從剩下的3道題中選一道作答，答對則判乙勝，答錯則判甲勝.

（1）求甲、乙兩人共答對2個問題的概率；

（2）試判斷甲、乙誰更有可能獲勝？并說明理由;

（3）求乙答對題目數(shù)的分布列和期望.

【解答】解：（1）甲、乙共答對2個問題分別為：兩人共答6題，甲答對2個，乙答對0

個；兩人共答7題，甲答對1個，乙答對1個.

所以甲、乙兩名學生共答對2個問題的概率：

3

p等江消）噂朝《父白尸詩

（2）設甲獲勝為事件，則事件包含“兩人共答6題甲獲勝”和“兩人共答7題甲獲勝”

兩類情況，其中第一類包括甲乙答對題個數(shù)比為1：0,2：0,3：0,2：],3：1,3：2

六種情況，第二類包括前三題甲乙答對題個數(shù)比為1：1,2：2,3：3三種情況，所以甲

的

概

獲

勝

1221

CCCC3

42/2O1121

PXX,/-xCX-X-

=3-C3XIz)+3

C333

6

3223

^x[c°（f）+cjxfx（f）+c2x（|）xl+c3（|）x1]m，

A

設乙獲勝為事件3,則A,3為對立事件，

所以P（A）+P（B）=1,P（B）=1-P（A）-77T>P（A）>

405

所以乙勝出的可能性更大.

（3）設學生乙答對的題數(shù)為X,則X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

p(x=o)=c：(y)3=yy

,1,2

c；+c：LL