2020-2021學(xué)年人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試仿真模擬試卷四（人教A版（2019））解析版

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試仿真模擬試卷四

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.若iz=-3+2i（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】由力=一3+2，可得2=—-3匕+2/=一-3/++2、/=—-3—z-2=2+33

ii2-1

所以z的的共規(guī)復(fù)數(shù)1=2-3〃根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，I在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（2,-3）,位于第四象

限.故選：D

2.在AABC內(nèi)角A，B,C的對邊分別是。，b,c,已知&=2指，c=20，=y,則NC的大

小為（)

n…3兀口兀-5萬c兀c71

A.一或—B.一或—C.-D.一

446664

【答案】C

27620?

【解析】由正弦定理‘一=」一得.萬一sinC，得sinC=一，

sinAsinCsin—2

3

因?yàn)閍=2-^6>c=2>所以C<A=彳,

乃

所以c=上.故選：C.

6

3.在某中學(xué)舉行環(huán)保知識競賽中，將三個(gè)年級參賽的學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分為5組，繪制出如圖所示

的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組，已知第二小組的頻數(shù)是40,

則成績在80-100分的學(xué)生人數(shù)是（）

5060708090100

A.15B.18C.20D.25

【答案】A

【解析】第二組的頻率是0.04x10=0.4,所有參賽的學(xué)生人數(shù)為一=100,那么80-100分的頻率是

0.4

（0.01+0.（X）5）x10=0.15,所以人數(shù)為0.15x100=15，故選：A.

4.已知AO,BE分別為△ABC的邊8C,4c上的中線，設(shè)而=￡,屁=6，則成等于（）

B.—a+—b

33

D.——2a-+—4b2

33

所以2詼=麗+品，①

同理得2茄=而+而=—麗+（前—麗）=一2麗+豆心

即2AD^-2BA+BC-?

①x2+②得4而+2而=3BC，

即4b+2M=3品,

2-4-

所以+故選：B.

5.在AA3C中，內(nèi)角A，B,C的對邊分別為“，b,c.若sinA:sin3:sinC=3:7:8，則AABC的形

狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

【答案】C

【解析】因?yàn)閟inA:sinB:sinC=3:7:8,所以a:b:c=3:7:8，設(shè)a=3Z，b=k,c=8k,則角C為

AA3C的最大角，由余弦定理可得cosC=,=—三＜0,即一＜C〈》，故AABC是鈍

42k272

角三角形.故選：C.

6.在四棱錐P—ABCP中，平面A8CD,四邊形ABC。是正方形，PD=AD，M，N分別為A3,

PC的中點(diǎn)，則8N與MC所成角的余弦值是（）

A.叵B.五C.叵D

6610f

【答案】D

【解析】如圖，不妨設(shè)AT>=2.

取PO的中點(diǎn)為Q,連接QM,QN,QC,

則QNHCDHMB電QN=；CD=MB,

故四邊形MBNQ為平行四邊形，...BN//MQ.

：.NQMC即為所求異面直線所成的角.

在△QMC中，MC=CQ=BQM=瓜,

則cosZQMC=5+<5=叵故選：D.

2xx/5xv610

7.已知向量〃=(Ji,o),5=3—2),且&_1.(&-25),則》=()

A.-73B.-立C.百D.

【答案】D

【解析】由題意，向量￡=（、回,0）,B=（x—2）,，￡一2萬=（百一2x,4）,

又楊，可得G（6-2X）=（）,解得1=走，故選：D.

8.在三棱錐A—BCD中，AB=CD<，AD=BC=2,AC=\,且二面角B—AC—。等于工，則

3

三棱錐A—BC￡>的內(nèi)切球的表面積為（）

C.—D.兀

2

【答案】A

【解析】依題意得：

AC2+BC2=AB2，AC2+AD2=CD2，

則AC_LBC,AC±AD,

分別過點(diǎn)A、8作AE〃BC、BEPAC交于點(diǎn)七，則AC_LA￡,作￡)〃_LAE交AE于點(diǎn)“，則

平面ACBE

.?.〃4”即為二面角5—AC—。所成平面角，則NZMH=4

3

AH,DH=J3

2

，%-ABc=gsABC.DH=；xgx\x2xC=,

連接“8

?rBE口AC,BCUAE,AC±AE

四邊形ACBE是矩形

ZAEB=90°

在m!JHEB中,HE=\,EB=AC=l

：.HB=41

*/￡>〃_L平面ACBE

：.ZDHB=90°

在改口中，DH=6HB=y/2

：.BD=y[5

過點(diǎn)。作OE，BC交BC于點(diǎn)F，

:.DF=2

設(shè)內(nèi)切球的半徑為一，則

=

^D-ABC§「（SABC+SACD+SABD+SBCD）

即r（S[A8C+S[ACD+邑ABD+^^BCD）=6

r|-xlx2+-xlx2+-x2x2+-x2x21=^

<2222J

V3

r=——

6

,、71

/.S=4^r2=—故選：A

3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若復(fù)數(shù)z滿足z<2+i）=）（1-i）+l,則關(guān)于復(fù)數(shù)z的說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1B.復(fù)數(shù)z的虛部為0

C.復(fù)數(shù)z的模長為1D.復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限

【答案】AD

【解析】設(shè)z=。+初（a、bwR）,則（a+沆）?（2+i）=（a-?沅）?（1-i）+1,

2

化簡得（2a-/?）+（?+2b）i-（a-h+\）-（a+b）i,b=——

3

2a—b-a-b+\

根據(jù)對應(yīng)相等得：\C,

a+28=二-（Q+Z?）

解得a=1,,z=1---i,

3

1,一|）在第四象限，故選：AD.

復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)|

10.我國是世界第一產(chǎn)糧大國，我國糧食產(chǎn)量很高，整體很安全按照14億人口計(jì)算，中國人均糧食產(chǎn)量約

為950斤-比全球人均糧食產(chǎn)量高了約250斤.如圖是中國國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站中2010-2019年，我國糧食產(chǎn)

量（千萬噸）與年末總?cè)丝冢ㄇf人）的條形圖，根據(jù)如圖可知在2010-2019年中（）

懾食產(chǎn)址（千萬噸）年末總?cè)丝冢ㄇf人）

,，八《』40.01

上.…聞管T

M—吠嘴f?IT*

t11111||4

-1iII1IM■II1—J」“、1|1T11|?1?1|

IIBIiHBl1T

ci■■■■■■■■■r

201弊XM1年2012年2013年2014年2015年2016年237年2018年期9年?1哂2011隼201旄2013隼20M隼2015隼201碑201碑201碑2019年

A.我國糧食年產(chǎn)量與年末總?cè)丝诰鹉赀f增

B.2011年我國糧食年產(chǎn)量的年增長率最大

C.2015年-2019年我國糧食年產(chǎn)量相對穩(wěn)定

D.2015年我國人均糧食年產(chǎn)量達(dá)到了最高峰

【答案】BCD

【解析】由中國國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站中2010-2019年，我國糧食產(chǎn)量（千萬噸）與年末總?cè)丝冢ㄇf人）的條

形圖,知:

對于A,我國糧食年產(chǎn)量在2010年至2015年逐年遞增，在2015年至2019年基本穩(wěn)定在66千萬噸左右，

2016年，2018年略低；而我國年末總?cè)丝诰鹉赀f增，故A錯(cuò)誤；

對于B,由糧食產(chǎn)量條形圖得2011年我國糧食年產(chǎn)量的年增長率最大，約為5%,故B正確；

對于C,在2015年至2019年基本穩(wěn)定在66千萬噸以上，故C正確；

對于D,2015年我國人均糧食年產(chǎn)量達(dá)到了最高峰，約為0.48噸/人，故D正確.故選：BCD

11.設(shè)加、〃為兩條直線，夕為兩個(gè)平面，則下列說法正確的是（）

A.若加_L〃，mVa,nVp,則

B.若加〃〃，〃//￡,則。_1_尸

C.若加_L",ml!a,nll/3,則aUp

D.若相〃〃，m±a>則a//，

【答案】C

【解析】A.若加_L〃，〃z_La,〃，力，相當(dāng)于兩平面的法向量垂直，兩個(gè)平面近出，A正確:

B.若加〃〃，mla，則〃，a,又〃//￡,則平面月內(nèi)存在直線c〃〃，所以c_La，所以a_L￡,B

正確;

C.若加上〃，mlla〃//￡,則￡可能相交，可能平行，C錯(cuò)；

D.若m//n,mla,U/3,則。，，的法向量平行，所以。//4，D正確.故選：C.

12.對于給定的AABC,其外心為0,重心為G,垂心為“，則下列結(jié)論正確的是（）

-----------J---.2

A.AOAB^-AB

2

B.OAOB^OAOC=OBOC

C.過點(diǎn)G的直線/交45、AC于區(qū)F,若方后=4麗，AF=^tAC,則!+上=3

A〃

ABAC

與斤司+共線

D.AHABcos8?\~AACT\cosC1

【答案】ACD

如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為M,則OM1AB..'.\AO\cosZOAM=\AM\

AOAB=|AO||AB|COSZOAB=|AB|(|AO|COSNQA3)=I荏=J通(，故A正確:

OAOB=OAOC等價(jià)于OA.{OB-0C)=0等價(jià)于OA-CB=0,即04，3C，

對于一般三角形而言，。是外心，。4不一定與BC垂直，比如直角三角形ABC中,

若3為直角頂點(diǎn)，則。為斜邊AC的中點(diǎn)，。4與5c不垂直.故B錯(cuò)誤；

設(shè)的中點(diǎn)為。，

則而=2而」（通+而）」仕荏+工通〕=-5-通+工/，

33、>3（/1〃）3A3〃

11,11c

"EG三點(diǎn)共線’..?瓦+次=L即萬+1=3,故C正確;

（_____

ABACABBCAC.BC\AB\-\BCcos（乃-B）|AC|-|BCC\|cosC

]=I+1J

網(wǎng)cosB|AC|cosCcosC\ABcos8AC\cosC

=-|BC|+|SC|=O,

A.A.A.

??-i==i―-+\=\―7與BC垂直，又'：AHLBC，'-i==j―-+\=\―7與正共線，故D正確.

L4Bcos/?L4CcosCAficos/?ACcosC

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若一個(gè)圓錐的軸截面是面積為48的等邊三角形，則該圓錐的表面積為.

【答案】12萬

【解析】設(shè)圓錐軸截面正三角形的邊長是“，

因?yàn)檎唤切蔚拿娣e為4百，

所以正/=46,...。=4,

4

所以圓錐的底面半徑r=0=2,

2

圓錐的母線/=“=4，

這個(gè)圓錐表面枳是：jtr+7rrl=^x224-^x2x4=12^.故答案為：12乃.

14.《易經(jīng)》中記載著一種幾何圖形一八封圖，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，圖中

八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，去測量當(dāng)?shù)匕素蕴锏拿娣e如圖，現(xiàn)測得正八邊

2

形的邊長為8m,代表陰陽太極圖的圓的半徑為2m,則每塊八卦田的面枳為__________m.

【答案】1672+16--

2

【解析】由圖可知，正八邊形分割成8個(gè)全等的等腰三角形，

頂角為360°=45°,

8

設(shè)等腰三角形的腰長為

。_8

由正弦定理可得.135°=嬴杳,

sin----

2

汨oA-135°

解M得a=872sin----.

2

所以三角形的面積S=&sin等)sin45°=320.】-co;135。=⑹&+1),

則每塊八卦田的面積為16(0+1)—1*乃x2?=16&+16-](m2).

故答案為：16>/2+16---.

2

15.在四邊形ABC。中，A8=6.若。—A=—2Cf4+—IC->8,則4%.方"=.

【答案】12

【解析】根據(jù)題意，如圖，

T1T

在A8上取一點(diǎn)E,使AE=-AB,

3

->->->T1TI/7t'2T17

則有CE=CA+AE=CA+=CA+-1CB-CAl=-CA+-CB,

f2T1->

又由D4=§C4+§CB,則有&=&，

所以四邊形AEC￡?為平行四邊形，則有。"=怠=，45，

3

又由A3=6，

->->-1--1-->9-

則ABDC=A8—AB=—A3=—x36=12；故答案為：12.

333

16.己如三棱錐力-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，若AB=AC=BC=O8=ZX?=1,當(dāng)三棱錐力-A8C

的體積取到最大值時(shí)，球O的表面積為一

【答案】y

【解析】如圖所示，當(dāng)三棱錐。-A3C的體積取到最大值時(shí)，則平面ABC與平面D3C垂直，

取的中點(diǎn)G，連接AG,DG,則4G，8C,OG_L5C,

分別取A4BC與ADBC的外心及尸，分別過及尸作平面ABC與平面OBC的垂線，相交于。，則。為

四面體ABCO的球心,

由A8=AC=8C=DB=OC=1,可得正方形OEGF的邊長為正，則OG=，S

所以四面體A—BCD的外接球的半徑E=dOG?+BG2=

5萬

所以球。的表面積為S=4〃X

T故答案為：

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

7

17.己知復(fù)數(shù)z使得z+2ieH,——wR,其中i是虛數(shù)單位.

2-z

（1）求復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)三；

(2)若復(fù)數(shù)(z+〃”)2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴4+2/；(2)(-2,2).

【解析】(1)設(shè)2=》+克(羽丁€/?),則z+2i=x+(y+2)i

*.*z+2i￡R

AJ=-2

zx-2i2x+2x-4.?

又----=------=------+-----1&R.

2-i2-i55

二次=4

綜上，有z=4—2iz=4+2i

(2)m為實(shí)數(shù),且(z+就/=[4+(根-2)，丁=(12+4〃?->)+8(加-2)i

12+4m-in2>0

???由題意得〈。/八，解得一2<加<2

8(〃?—2)<0

故，實(shí)數(shù)加的取值范圍是(—2,2)

18.某市為了解疫情過后制造業(yè)企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100家企業(yè)，得到這些企業(yè)4月份較3月

份產(chǎn)值增長率x的頻率分布表如下:

X的分組[-0.20,0)L0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企業(yè)數(shù)13403584

(1)估計(jì)制造業(yè)企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于60%的企業(yè)比例及產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；

(2)求制造業(yè)企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與方差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

【答案】(1)4%,13%.：(2)平均數(shù)為0.20,方差估計(jì)值為0.0364.

4

【解析】(1)制造業(yè)企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于60%的企業(yè)比例為同x100%=4%,

13

產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例—xlOO%=13%,

所以制造業(yè)企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于60%的企業(yè)比例4%,產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例13%.

(2)1()0家制造業(yè)企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)為

-^[13x(-0.10)+40x0.10+35x0.30+8x0.50+4x0.70]=0.20,

方差為

y^[13x(-0.10-0.20)2+40x(0.10-0.20)2+35x(0.30-0.20)2+8x(0.50-0.20)2+4x(0.70-0.20)2

=0.0364

所以制造、業(yè)企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)為0.20,方差的估計(jì)值為0.0364.

19.如圖，在四棱錐P—A8CD中，平面A5C￡>_L平面Q4B，APAB為等邊三角形,四邊形A8CD為矩

形，E為尸3的中點(diǎn).

（1）證明：平面4）E_L平面PBC.

（2）平面AOE分此棱錐為兩部分，若/W=2A￡>，求大的部分體積與小的部分體積之比.

【答案】（1）證明見解析；（2）

3

【解析】（1）證明：因?yàn)椤魇珹B為等邊三角形，E為尸6的中點(diǎn)，所以

因?yàn)槠矫鍭BCD1平面且相交于AB,ADLAB,

所以AD_L平面243，則

乂ADcAE=A，所以PB_L平面AQE.

因?yàn)?歸u平面PBC，所以平面AQE_L平面尸BC.

（2）設(shè)F為PC的中點(diǎn)，連接DE，EF，所以瓦7/D4，EF=-DA

2

令A(yù)0=1，則AB=2，AE=+，所以VPYBCD=；X2X1XG=￥

v_3.._3.__311.r-_y/3

Vp-ADFE-^P-ADE~g^D-AEP-~，

（2G石）65

所以大的部分體積與小的部分體積之比為V-—一：-=-.

I34；43

E

P

20.某工廠的A,B,C三個(gè)不同車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品的數(shù)量（單位:件）如下表所示.質(zhì)檢人員用分層抽樣的方

法從這些產(chǎn)品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測：

車間ABC

數(shù)量50150100

（1）求這6件樣品中來自A,B,C各車間產(chǎn)品的數(shù)量；

（2）若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件產(chǎn)品來自相同車間的概率.

4

【答案】⑴1,2,3;⑵石.

【解析】（1）因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是—~^――=-4?

50+150+10050

所以A車間產(chǎn)品被選取的件數(shù)為50x^=l,

3車間產(chǎn)品被選取的件數(shù)為150x\=3,

C車間產(chǎn)品被選取的件數(shù)為100x媼=2.

（2）設(shè)6件自A、8、。三個(gè)車間的樣品分別為：A;%B.；C、，C2.

則從6件樣品中抽取的這2件產(chǎn)品構(gòu)成的所有基本事件為：

（A4）,（A,B2）,（4員），（AC,）.（AG）,（4，四），（4,四）,（用cj,

（4C）,（冬鳴），（/G）,（四,1）,（&CJ,（%G）,（G，G）,共15個(gè).

每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

記事件￡＞：“抽取的這2件產(chǎn)品來自相同車間”，

則事件D包含的基本事件有：（4,不），（耳,用），（男,員），共4個(gè)

44

所以「（￡＞）=—.所以這2件商品來自相同車間的概率為一.

-bcos8+1?

21.在①一=-y=----,②2/?sinA=atan6,③（a-c）sinA+csin（A+B）=Z?sinB這三個(gè)條件中任選

a，3sinA

一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

已知AA3C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,若.

（1）求角8；

（2）若a+c=4,求AABC周長的最小值，并求出此時(shí)八4BC的面積.

【答案】(1)B=y;(2)3

_sinBcosB+1

【解析】⑴選①'由正弦定理得3=引'

sinA0■5/3sinB-cosB=1>即sin18-彳]_

2

八c7tC兀5兀

VQ<B<n,:.——<B——<—，

666

663

asinR

選②，V2Z?sinA=?tanB,2Z?sinA=—,

cosB

,ry

由正弦定理可得2sinBsinA=sinA-把一,

cos3

?；sinAw0,，cosB