寒假作業(yè)03全等三角形的性質(zhì)與判定-2024年八年級數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時練習(xí)：40min完成時間：月日天氣：寒假作業(yè)03全等三角形的性質(zhì)與判定1.全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形；“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)位置上．2.全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等；（2）全等三角形的對應(yīng)角相等.說明：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等；②全等三角形的周長相等，面積相等；③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.3.全等三角形的判定（1）全等三角形的判定1：邊邊邊（SSS）文字：在兩個三角形中，如果有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.（2）全等三角形的判定2：邊角邊（SAS）文字：在兩個三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.（3）全等三角形的判定3：角邊角（ASA）文字：在兩個三角形中，如果有兩個角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.（4）全等三角形的判定4：角角邊（AAS）文字：在兩個三角形中，如果有兩個角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.（5）直角三角形全等的判定：HL（6）文字：在兩個直角三角形中，如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：HL）.1．如圖的正方形網(wǎng)格中，點均為格點，，點在同一直線上，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，，，故A不符合題意，D符合題意；∵，∴，∴，，故B不符合題意；∴，∴，故C不符合題意.故選D.2．如圖，在四邊形中，連接，且，，若用“”判定和全等，則需要添加的條件是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，∴，在和中，，∴，故選D．3．根據(jù)下列已知條件，能唯一畫出的是（）A．，， B．，，C．，， D．，【答案】B【解析】A、，不能構(gòu)成三角形，該選項錯誤．B、已知兩角夾邊，即，三角形就確定了，該選項正確．C、邊邊角不能確定三角形，該選項錯誤．D、一角一邊不能確定三角形，該選項錯誤．故選B．4．如圖，小明把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．①②③都帶去【答案】A【解析】由，可知帶①去可以配一塊完全一樣的玻璃，故選A．5．如圖，，要使，還需添加一個條件是．（只需寫出一種情況）【答案】（答案不唯一）【解析】添加的條件是，理由如下：∵，∴，即，在和中，，∴.6．在的正方形方格中，和的位置和大小分別如圖所示，則．【答案】【解析】如圖所示，由網(wǎng)格的特點可得，∴，∴，∵，∴，故答案為：．7．如圖所示，已知于點D，．(1)若，，求的長；(2)求證：．【解析】（1）∵，∴，，∵，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．8．如圖，在中，都是上的點，且．(1)求證：；(2)若，求的大小．【解析】（1），，在和中，，，．（2），，，，．9．如圖，在四邊形中，為上一點，，連接，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【解析】（1），，在和中，，．（2），．，．10．在中，，，直線經(jīng)過點，且于點，于點．(1)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：；(2)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，若，，求的長．

圖1

圖2【解析】（1），，，，，．在和中，，，，，．（2），．，，，．在和中，，，，，．又，，．11．如圖，在和中，，，，，連接交于點M，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的是．（填序號）【答案】①②④【解析】，，即，在和中，，∴，，①正確；∴，由三角形的外角性質(zhì)得：，，②正確；作于，于，如圖所示，則，在和中，，，，∴平分，④正確；∵，∴當(dāng)時，才平分，假設(shè)，∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，與矛盾，∴③錯誤；正確的是①②④.故答案為：①②④．12．【閱讀理解】倍長中線是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想．小聰在學(xué)習(xí)過程中，遇到這樣一個問題：如圖，中，，求邊上的中線的取值范圍，經(jīng)過和小組同學(xué)的探討，共同得到了這樣的解決辦法：延長到點E，使．請根據(jù)小聰?shù)姆椒ń鉀Q以下問題：（1）求得的取值范圍是___________；【問題解決】請利用上述方法（倍長中線）解決下列三個問題：已知，，P為的中點．（2）如圖1，若A，C，D共線，，，求四邊形的面積；（3）如圖2，若A，C，D不共線，，求證：；（4）如圖3，若點C在上，記銳角，且，則的度數(shù)是______．（用含α的代數(shù)式表示）【解析】（1）延長到點E，使，連接．∵是邊的中線，∴，∵，∴，∴，，∴，即，∴，故答案為：．（2）如圖1，延長交延長線于點，圖1圖2∵，（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），，，為的中點，，，，，，∵，，∵，，∴，，，則，．（3）如圖2，延長至點，使得，連接、、，∵，∴，，，，且，∴，，∵，，，，∵，，，同理可得，，，．（4）過點C作交于點M，如圖3，由（3）可知，圖3，，和互余，，，∴∴，又∵，∴，故答案為：．13．（1）問題背景：如圖1：在四邊形中，，，，E、F分別是上的點且，探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長到點G，使，連接，先證，再證明可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______；（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形中，，E、F分別是上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）實際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以46海里/時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東的方向以70海里/時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩地分別到達E、F處，且兩艦艇之間的夾角為，請直接寫出此時兩艦艇之間的距離．【解析】（1）結(jié)論：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：.（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長到點G，使，連接．

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴.（3）如圖3，連接，延長相交于點C．由題意可知，①，∵，∴②，又∵③，∴由①②③可知，符合（2）中的條件，∴結(jié)論成立，∴（海里）．答：此時兩艦艇之間的距離為232海里．14．已知是經(jīng)過頂點C的一條直線，．E，F(xiàn)分別是直線上的兩點，且．(1)若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線上，請解決下面兩個問題：①如圖1，若，，則_______；_______（填“＞”，“＜”或“=”）；②如圖2，若，請?zhí)砑右粋€關(guān)于與關(guān)系的條件_______，使①中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立；(2)如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，請寫出三條線段，，的數(shù)量關(guān)系的合理猜想_______（不要求證明）．(3)拓展應(yīng)用：如圖4，在中，，．點D在邊上，，點E，F(xiàn)在線段上，．若的面積為，與的面積之和是_______．【解析】（1）①∵，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故答案為：=，=；②添加一個關(guān)于與關(guān)系的條件：，理由如下：在中，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故答案為：；（2）三條線段，，的數(shù)量關(guān)系的合理猜想為：，理由如下：∵，，，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故答案為：；（3）∵的面積為，，∴，∵，，，，∴，，在和中，，∴，即，∴，故答案為：6．15．【學(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；反射角r等于入射角i．這就是光的反射定律．【同題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點F到地面的高度，點A、點C到平面鏡B點的距離相等．圖中點A，B，C，D在同一條直線上．求燈泡到地面的高度．【解析】根據(jù)題意得：法線垂直于平面鏡，且，∴，在和中，，∴，∴.16．我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，，回答下列問題：(1)和__________（“是”或“不是”）兄弟三角形．(2)“取的中點P，連接，試說明．”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍長”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列問題．①請在圖中通過作輔助線構(gòu)造，并證明；②求證：．【解析】（1）∵，∴，又∵，，∴和是兄弟三角形．故答案為：是.（2）①延長至E，使，連接，如圖，∵P為的中點，∴．又∵，∴，∴；②∵，∴，∴，∴．又∵，∴．∵，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．17．我們規(guī)定：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形四邊形，如圖1，四邊形中，若，，則稱四邊形是箏形四邊形．(1)如圖2，箏形四邊形中，，，對角線，相交于點．①求證：垂直平分；②若，求證：；(2)如圖3，箏形四邊形中，，，對角線，相交于點，若，求證：，互相垂直平分．【解析】（1）①，，，，，，，，，，，，故垂直平分；②由（1）得，，，，，，又，，；（2）由（1）得，，，，，，由（1）得，，，互相垂直平分．18．（2023·四川涼山·中考真題）如圖，點E、點F在上，，，添加一個條件，不能證明的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，即，∵，∴當(dāng)時，利用可得，故A不符合題意；當(dāng)時，利用ASA可得，故B不符合題意；當(dāng)時，利用SAS可得，故C不符合題意；當(dāng)時，無法證明，故D符合題意.故選D．19．（2023·吉林長春·中考真題）如圖，工人師傅設(shè)計了一種測零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑的長度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實是（

）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例 D．兩點之間線段最短【答案】A【解析】O為、的中點，，，（對頂角相等），在與中，，，，故選A．20．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖，在中，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點D，E．分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，交于內(nèi)一點F.連結(jié)并延長，交于點G．連結(jié)，.添加下列條件，不能使成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題中所給的作圖步驟可知，是的角平分線，即．當(dāng)時，又，且，所以，所以，故A選項不符合題意．當(dāng)時，，又，且，所以，所以，故B選項不符合題意．當(dāng)時，因為，，，所以，所以，又，所以，即．又，所以，則可證得，故C選項不符合題意．故選D．21．（2023·浙江衢州·中考真題）已知：如圖，在和中，在同一條直線上．下面四個條件：①；②；③；④．(1)請選擇其中的三個條件，使得（寫出一種情況即可）；(2)在（1）的條件下，求證：．【解析】（1）根據(jù)題意，可以選擇的條件