寒假作業(yè)02三角形有關(guān)的角與多邊形的內(nèi)角和-2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)02三角形有關(guān)的角與多邊形的內(nèi)角和1．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形相鄰兩邊的夾角．每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．2．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．3．多邊形（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．（3）正多邊形的概念：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．4．多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）；（2）多邊形的外角和等于360°．1．已知在直角△ABC中，∠C為直角，∠B是∠A的2倍，則∠A的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，由題意得：，即，解得，即，故選A．2.下列說法錯(cuò)誤的是（）A．多邊形是平面圖形，平面圖形不一定是多邊形B．四邊形由四條線段組成，但四條線段組成的圖形不一定是四邊形C．多邊形是一個(gè)封閉圖形，但封閉圖形不一定是多邊形D．多邊形是三角形，但三角形不一定是多邊形【答案】D【解析】A．由不在同一直線上的幾條線段首尾順次相連所組成的封閉平面圖形叫多邊形，所以多邊形是平面圖形，平面圖形不一定是多邊形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B．在同一平面內(nèi)，由四條線段首尾順次相接組成的封閉圖形是四邊形，四邊形由四條線段組成，但四條線段組成的圖形不一定是四邊形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C．多邊形是一個(gè)封閉圖形，但封閉圖形不一定是多邊形，例如圓，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D．多邊形構(gòu)成要素：組成多邊形的線段至少有3條，三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選D．3．一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可引出7條對(duì)角線，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【解析】設(shè)該多邊形為n邊形，∵從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線條數(shù)為：n﹣3，∴n﹣3＝7，解得：n＝10．故選A．4．湖南革命烈士紀(jì)念塔是湖南烈士公園的標(biāo)志性建筑，塔于1959年建成，以紀(jì)念近百年為人民解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命先烈，塔底平面為八邊形，這個(gè)八邊形的內(nèi)角和是（）A．720° B．900° C．1080° D．1440°【答案】C【解析】（n﹣2）?180＝（8﹣2）×180°＝1080°．故這個(gè)八邊形的內(nèi)角和是1080°．故選C．5．在現(xiàn)實(shí)生活中，鋪地最常見的是用正方形地板磚，某小區(qū)廣場(chǎng)準(zhǔn)備用多種地板磚組合鋪設(shè)，則能夠選擇的組合是（）A．正六邊形，正八邊形B．正方形，正七邊形C．正五邊形，正六邊形D．正三角形，正方形【答案】D【解析】∵正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是108°，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，正七邊形的每個(gè)內(nèi)角是正八邊形的每個(gè)內(nèi)角是180°360°÷8=135°，∴能夠組合的是正三角形，正方形，故選D．已知在中，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)作，垂足為，若，則的度數(shù)為（

）A．76° B．65° C．56° D．54°【答案】D【解析】，，在中，，，在中，，，故選D．如圖，為的一個(gè)外角，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，連接，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；由三角形外角性質(zhì)即可直接得出，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；沒有條件可以證明出和的關(guān)系，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；∵，，∴，∴，故D選項(xiàng)正確，不符合題意.故選C．8．在△AOB中，BO＝AO，OP交AB于點(diǎn)C，量角器的擺放如圖所示，則∠BCP＝（）A．80° B．90° C．85° D．95°【答案】C【解析】∵BO＝AO，∠AOB＝130°，∴∠CAO＝25°，又∵∠AOP＝70°，∴∠BCP＝∠ACO＝180°﹣∠CAO﹣∠AOC＝180°﹣25°﹣70°＝85°，故選C．9．如圖，把一副七巧板按如圖所示進(jìn)行①~⑦編號(hào)，①~⑦號(hào)分別對(duì)應(yīng)著七巧板的七塊，如果編號(hào)①對(duì)應(yīng)的面積等于2，則由這副七巧板拼得的“天鵝”的面積等于______．【答案】16【解析】由七巧板的原理可設(shè)⑤，⑥的面積為x，則②，③的面積為4x，①的面積為2x，④的面積為2x，⑦的面積為2x，∵①對(duì)應(yīng)的面積等于2，即2x=2，則x=1，∴這副七巧板拼得的“天鵝”的面積等于x+x+4x+4x+2x+2x+2x=16x=16，故答案為：16．10．如圖，把紙片沿DE折疊，使點(diǎn)B落在圖中的B處，設(shè)EC1，DA2.若25，則21=______.【答案】50【解析】，，，，，故答案為50．11．用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”如圖，∠BAE、∠FBC、∠DCA是△ABC的三個(gè)外角．求證：∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360°.（1）第一種思路可以用下面的框圖表示，請(qǐng)?zhí)顚懫渲械目崭瘢海?）根據(jù)第二種思路，完成證明．【解析】（1）①；②；③，④三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.提示：①根據(jù)后面推論可以推測(cè)是根據(jù)三角形內(nèi)角和，故答案為：；②根據(jù)左右兩邊的等式可以推測(cè)是根據(jù)外角的性質(zhì)，填寫+，故答案為：，③，④三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.（2）過B作BM∥AC，∴，，∵，∴∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360°.12．【相關(guān)概念】將多邊形的內(nèi)角一邊反向延長(zhǎng)，與另一條邊相夾形成的那個(gè)角叫做多邊形的外角．如圖，將△ABC中∠ACB的邊CB反向延長(zhǎng)，與另一邊AC形成的∠ACD即為△ACB的一個(gè)外角．三角形外角和與三角形內(nèi)角和對(duì)應(yīng)，為與三個(gè)內(nèi)角分別相鄰的三個(gè)外角的和．【求解方法】借助一組內(nèi)角與外角的數(shù)量關(guān)系，可以求出三角形的外角和．如圖，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．【自主探究】根據(jù)以上提示，完成下列問題：（1）將下列表格補(bǔ)充完整．名稱圖形內(nèi)角和外角和三角形180°360°四邊形五邊形…………n邊形…（2）如果一個(gè)八邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，請(qǐng)用兩種不同的方法求出這個(gè)八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【解析】（1）內(nèi)角和分別為：四邊形內(nèi)角和是（4﹣2）×180°＝360°，五邊形內(nèi)角和是（5﹣2）×180°＝540°，n邊形內(nèi)角和是（n﹣2）180°；外角和分別為：360°、360°、360°.故答案為：360°、540°、（n﹣2）180°，360°、360°、360°；（2）這個(gè)八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是：方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．13．如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長(zhǎng)線上，、分別平分、，、分別平分、，則_______．【答案】52°【解析】、分別平分、，，，，，即，，，、分別平分、，，，，，∴，∴，、分別平分、，，，∴，，故答案為：52°．14．如圖1，，的角平分線、相交于點(diǎn).（1）如果，那么的度數(shù)是多少，試說明理由并完成填空；（2）如圖2，，如果，的角平分線、相交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出度數(shù)；（3）如圖2，重復(fù)上述過程，，的角平分線、相交于點(diǎn)得到，設(shè)，請(qǐng)用表示的度數(shù)（直接寫出答案）.解：（1）結(jié)論：______度．說理如下：因?yàn)?，平分和（已知），所以，（角平分線的意義）．因?yàn)椋ǎ?，（完成以下說理過程）【解析】（1）結(jié)論：.理由如下：∵，分別平分和（已知），，∴，（角平分線的定義），∵，（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴，（等式性質(zhì)），∴（等量代換），∴.（2）.提示：∵，的角平分線、相交于點(diǎn)，∴，（角平分線的定義），∵，（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴，（等式性質(zhì)），∴（等量代換），∴.（3）.提示：∵，，，∴當(dāng)時(shí)，．15．如圖1，已知，A，B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B沿射線運(yùn)動(dòng)．（1）如圖2，點(diǎn)C為三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，連接，，在點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；（2）如圖3，在（1）的條件下，連接并延長(zhǎng)，與的平分線交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q．①與的數(shù)量關(guān)系為____．②在中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，求的度數(shù)．【解析】（1）的度數(shù)不變，理由如下：點(diǎn)為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，，，，，，，，即的度數(shù)不變.（2）①點(diǎn)為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，，，∴，為的平分線，，∴，，，整理得：.②設(shè)，則，，為的平分線，，，點(diǎn)為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，，，，，中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，分四種情況：（a），則，解得，此時(shí);（b），則，解得，此時(shí)；（c），則，解得，此時(shí)；（d），則，解得，故舍去，∴中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，則為或．16.閱讀下列材料并解答問題：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱為“夢(mèng)想三角形”，例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是，，，這個(gè)三角形就是一個(gè)“夢(mèng)想三角形”．反之，若一個(gè)三角形是“夢(mèng)想三角形”，那么這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中一定有一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍．（1）如果一個(gè)“夢(mèng)想三角形”有一個(gè)角為，那么這個(gè)“夢(mèng)想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為．（2）如圖，已知，在射線上取一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，以A為端點(diǎn)作射線，交線段于點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），若，判定、是否是“夢(mèng)想三角形”，為什么？【解析】（1）36°或18°.提示：當(dāng)108°是三角形的一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí)，則這個(gè)內(nèi)角為36°，第三個(gè)內(nèi)角也是36°，故最小的內(nèi)角是36°；當(dāng)另外兩個(gè)內(nèi)角是3倍關(guān)系時(shí)，則另外兩個(gè)內(nèi)角分別為：54°，18°，故最小的內(nèi)角是18°.故答案為：36°或18°．（2）結(jié)論：，都是“夢(mèng)想三角形”.理由：，，，，是“夢(mèng)想三角形”，，，，，，是“夢(mèng)想三角形”．17．如圖1，赤道式日晷是中國古代最經(jīng)典和傳統(tǒng)的計(jì)時(shí)儀器，由底座、晷面、晷針三部分組成，其中底坐面與日晷所處地球半徑垂直，其示意圖如圖2.（1）晷針與晷面夾角為___________；（2）如圖2，日晷所處緯度為，若太陽光（平行光）與日晷底座面夾角為，則太陽光與該晷面所夾的銳角度數(shù)為___________．【解析】（1）.提示：根據(jù)題意晷面與赤道平行，地軸與赤道垂直，∴地軸與晷面垂直，又∵晷針與地軸平行，∴晷針與晷面垂直．即晷針與晷面夾角為．（2）.提示：可將題干中圖簡(jiǎn)化為如圖：根據(jù)題意結(jié)合圖形可知：，，，．∵，∴，即，∴，即．∵，∴．∴．∴．即太陽光與該晷面所夾的銳角度數(shù)為．18．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出cobb角的大小，需將轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與相等的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由示意圖可知：和都是直角三角形，，，，故選B．19．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在三角形紙片中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將三角形紙片沿對(duì)折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為．【答案】或【解析】由折疊的性質(zhì)得：.∵，∴.①當(dāng)在下方時(shí)，如圖，∵，∴，∴；②當(dāng)在上方時(shí)，如圖，∵，∴，∴.綜上，的度數(shù)為或.故答案為：或．20．（2021·河北中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)___________（填“增加”或“減少”）___________度．【答案】減少，10【解析】∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長(zhǎng)，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應(yīng)將∠D減少10度.故答案為：減少，10．21．（2022·北京·中考真題）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，，求證：方