11空間向量及其運算（九大題型）（講義）

1.1空間向量及其運算目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 3【思維導(dǎo)圖】 3【知識點梳理】 4【典型例題】 8題型一：空間向量的有關(guān)概念 8題型二：空間向量的加減運算 9題型三：空間向量的數(shù)乘運算 12題型四：共線向量定理的應(yīng)用 14題型五：共面向量及應(yīng)用 17題型六：空間向量的數(shù)量積 20題型七：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角 24題型八：利用空間向量的數(shù)量積證垂直 29題型九：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度 32

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點梳理】知識點一：空間向量的有關(guān)概念1、空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識點詮釋：（1）空間中點的一個平移就是一個向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2、幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點二：空間向量的線性運算(1)向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點詮釋：（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，可以將向量合并；（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識點三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。知識點四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進而證面面平行）。知識點五：空間向量數(shù)量積的運算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識點詮釋：（1）由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識點六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當(dāng)a⊥b時，a·b＝0.知識點七：夾角問題1、定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個向量、的夾角的余弦。知識點詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2、利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角。知識點八：空間向量的長度1、定義：在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2、利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解?！镜湫屠}】題型一：空間向量的有關(guān)概念【典例11】（2024·高二·新疆·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，互為相反向量，則C．空間中兩平行向量相等 D．在四邊形ABCD中，【答案】D【解析】對于A，向量不可以比較大小，所以A錯誤；對于B,若，互為相反向量，則，故B錯誤；對于C，兩向量相等需要向量的方向相同，且長度相同，故C錯誤；對于D，四邊形ABCD中，，故D正確.故選：D【典例12】（2024·高二·山東日照·階段練習(xí)）下列命題中為真命題的是（

）A．向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【答案】A【解析】選項A：因為空間向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確；選項B：將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，所以B錯誤；選項C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤；選項D：兩個空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟龋部赡懿幌嗟?，如向量與的模相等，所以D錯誤；故選：A.【方法技巧與總結(jié)】空間向量的概念與平面向量的概念類似，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的概念．【變式11】（2024·高二·福建泉州·期中）在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，可知是的相反向量.故選：A【變式12】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）給出下列命題：①空間向量就是空間中的一條有向線段；②在正方體中，必有；③是向量的必要不充分條件；④若空間向量滿足，，則．其中正確的命題的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【解析】有向線段起點和終點是固定的，而空間向量是可以平移的，故①錯誤；和大小一樣、方向相同，則，故②正確；若，則和的模相等，方向不一定相同，若，則和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分條件，故③正確；向量的平行不具有傳遞性，比如當(dāng)為零向量時，零向量與任何向量都平行，則不一定平行，故④錯誤.綜上所述，②③正確.故選：B．題型二：空間向量的加減運算【典例21】（2024·高二·江蘇·課前預(yù)習(xí)）已知平行六面體，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡得到的向量：

(1)；(2)；(3).【解析】（1）；（2）；（3），設(shè)是線段的中點，則.向量如圖所示，【典例22】（2024·高二·新疆·階段練習(xí)）如圖E，F(xiàn)分別是長方體的棱AB，CD的中點，化簡下列表達式：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）；（2）；（3）；（4）因為E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點，所以.【方法技巧與總結(jié)】在用已知向量表示未知向量的時候，要注意尋求兩者之間的關(guān)系，通?？蓪⑽粗蛄窟M行一系列的轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化到與已知向量在同一四邊形（更多的是平行四邊形）或三角形中，從而可以建立已知與未知之間的關(guān)系式．【變式21】（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）化簡下列算式：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.【變式22】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在長方體ABCD一A1B1C1D1中，，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點，求證：.

【解析】，則，則.題型三：空間向量的數(shù)乘運算【典例31】（2024·高二·河南開封·期末）已知四面體ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對于A，因為E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，所以，正確；對于B，，錯誤；對于C，，正確；對于D，，錯誤.故選：AC【典例32】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在空間四邊形中，為△的重心，分別為和的中點，試化簡，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量．【解析】∵為△的重心，是邊上的中線，∴，又，∴.標注的向量如圖所示.【方法技巧與總結(jié)】利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向量．【變式31】（2024·高二·河南·階段練習(xí)）在四面體中，為棱的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】,故選:A【變式32】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若，其中，，為已知向量，則未知向量.【答案】【解析】由題設(shè)，則，故.故答案為：題型四：共線向量定理的應(yīng)用【典例41】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體中，點在上，且，點在體對角線上，且．求證：，，三點共線．

【解析】連接，，∵，，∴，∴，又，∴，，三點共線．【典例42】（2024·高二·陜西·階段練習(xí)）在正四棱臺中，，，，，，若平面，則．

【答案】/0.75【解析】如圖所示：連接，設(shè)，平面平面，因為平面，且平面，所以；因為四棱臺底面為正方形，且，，所以，，從而，又因為，，所以，，因為，所以.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】利用共線向量定理可以判定兩直線平行、證明三點共線．證平行時，先從直線上取有向線段來表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，此為證明平行問題的一種重要方法；證明三點共線問題時，通常不用圖形。直接利用向量的線性運算，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點．【變式41】（2024·高二·江蘇·課后作業(yè)）設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A，B，D三點共線，求實數(shù)k的值．【解析】因為，，則有，又A，B，D三點共線，于是，即，而不共線，因此，解得，所以實數(shù)k的值是.【變式42】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在正方體中，G為的重心，證明：三點共線.【解析】設(shè)的中點為，連接GB，GD，，，，因為G為的重心，所以，所以，所以，即三點共線.題型五：共面向量及應(yīng)用【典例51】（2024·高二·河南洛陽·階段練習(xí)）在四面體中，點E滿足F為BE的中點，且則實數(shù)λ=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由F為BE的中點，得又所以，由得即所以故選：D【典例52】（2024·高二·浙江杭州·期末）對于空間一點和不共線三點，且有，則（

）A．四點共面 B．四點共面C．四點共面 D．五點共面【答案】B【解析】由，可得，即，根據(jù)平面向量的基本定理，可得共面，又因為三個向量有公共點，所以四點共面.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對照形式將已知條件進行轉(zhuǎn)化運算．【變式51】（2024·高二·廣東江門·期中）若是空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】對于A，因為，所以，，三個向量共面，所以A錯誤，對于B，因為，所以，，三個向量共面，所以B錯誤，對于C，假設(shè)，，三個向量共面，則存在實數(shù)，使，所以三個向量共面，因為是空間的一個基底，所以三個向量不共面，所以假設(shè)錯誤，所以，，三個向量不共面，所以C正確，對于D，因為，所以，，三個向量共面，所以D錯誤，故選：C【變式52】（2024·高二·遼寧大連·期末）在四面體中，E為的中點，G為平面的重心．若與平面交于點F，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖：連接交于H，則H為中點，連接,因為平面，平面，設(shè)，則，又平面，所以平面，故K為與平面的交點，又因為與平面交于點F，所以F與K重合，又E為的中點，G為平面的重心，因為點A，F(xiàn)，G三點共線，則又因為點E，F(xiàn)，H三點共線，則，,所以，解得，即，故.故選：C.【變式53】（2024·高二·浙江溫州·期末）在正四面體中，點在平面內(nèi)的投影為，點是線段的中點，過的平面分別與，，交于，，三點.(1)若，求的值；(2)設(shè)，，，求的值.【解析】（1）正四面體中，在底面內(nèi)的投影為正的中心，∴，∴，，，∴.（2）因為，且，，，所以，即，因為，，，共面，所以，即.【變式54】（2024·高二·河北滄州·階段練習(xí)）如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點D，M，N分別為BC，AB，OB的中點．(1)試用向量表示向量；(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點共面．【解析】（1）因為，而，又D為的中點，所以，所以．（2）因為，，所以，，所以．所以四點共面．題型六：空間向量的數(shù)量積【典例61】（2024·高二·江蘇·課前預(yù)習(xí)）已知正四面體的棱長為1，如圖所示.(1)確定向量在直線上的投影向量，并求·；(2)確定向量在平面上的投影向量，并求.【解析】（1）在正四面體OABC中，取OB的中點P，連接，則有，因此即為在直線上的投影向量.所以·（2）在正四面體中，設(shè)O在底面內(nèi)的投影為Q，易知Q為底面中心，則平面,連接并延長交于M，則M為中點，，且即為平面內(nèi)的投影向量.∴【典例62】（2024·高二·山西呂梁·期末）如圖所示，平行六面體中，，.

(1)用向量表示向量，并求；(2)求.【解析】（1）根據(jù)空間向量的線性運算，可得，可得，所以.（2）由空間向量的運算法則，可得，因為且，所以.【方法技巧與總結(jié)】向量的數(shù)量積運算除不滿足乘法結(jié)合律外，其它都滿足，所以其運算和實數(shù)的運算基本相同。求空間向量數(shù)量積的運算同平面向量一樣，關(guān)鍵在于確定兩個向量之間的夾角以及它們的模，利用公式：即可順利計算．【變式61】（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）如圖，棱長為的正四面體中，點為棱的中點，求與．

【解析】因為，所以；因為，所以.【變式62】（2024·高二·山東煙臺·階段練習(xí)）已知球的半徑為是球的直徑，點在球的球面上.若空間中一點與點間的距離為，則的最小值為.【答案】【解析】由題意可得點在以為球心，為半徑的球上，所以，因為，所以，所以，所以的最小值為，故答案為：【變式63】（2024·高二·貴州遵義·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，平面，為的中點，．

(1)設(shè)，，，用表示；(2)若，求．【解析】（1）如圖所示，連接，可得，因為為的中點，則，所以，所以.（2）因為，所以，因為平面，平面，且平面,平面，所以，又因為，所以，所以.題型七：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角【典例71】（2024·高二·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，在四面體中，，，，，點，分別在棱，上，且，.

(1)用，，表示，；(2)求異面直線，所成角的余弦值.【解析】（1）因為點，分別在棱，上，且，，所以，，所以，；（2）因為，，，，所以，，所以，，，所以，即異面直線，所成角的余弦值為.【典例72】（2024·高二·四川遂寧·期中）如圖，四面體的每條棱長都相等，M，N，P分別是，，的中點(1)求證：，，為共面向量；(2)求與平面所成角的正弦值.【解析】（1）因為M，N，P分別是，，的中點，故，所以，，為共面向量；（2）四面體的每條棱長都相等，設(shè)為2，連接，因為均為等邊三角形，又N是的中點，所以⊥，⊥，因為，平面，故⊥平面，所以平面的法向量為，其中，，故，又，故，，故，設(shè)與平面所成角的大小為，則.【方法技巧與總結(jié)】本題用傳統(tǒng)立體幾何方法求異面直線BN和SM所成角，可以利用中位線平移或補形在正方體中計算，但是圖形添加輔助線后不易觀察，計算量也稍大。如用向量夾角公式求解，無須添加輔助線，便于觀察圖形，更能有效地解決問題?！咀兪?1】（2024·高二·廣東江門·期中）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長度都為2，且兩兩夾角為．求：(1)的長；(2)與夾角的余弦值．【解析】（1）設(shè)，，，由題意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的長為，（2）∵，∴，∴，，∴，即與夾角的余弦值為．【變式72】（2024·高二·四川成都·期中）如圖，平行六面體的底面是菱形，且(1)用空間的一個基底表示，并求的長；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【解析】（1）由題，，，構(gòu)成空間的一個基底．因為，所以，所以．（2）又，，所以∴∴異面直線與所成的角為，余弦值為0．【變式73】（2024·高二·湖北·期末）如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，．(1)求的長．(2)求異面直線與所成的角的余弦值．【解析】（1），所以，即的長為.（2），又由余弦定理得，所以設(shè)所求異面直線所成角為，.題型八：利用空間向量的數(shù)量積證垂直【典例81】（2024·高二·重慶九龍坡·期末）如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，(1)求線段的長；(2)求證：．【解析】（1）設(shè)，則，∵，則.∵，∴.故線段的長為.（2）證明：∵，∴.故.【典例82】（2024·高二·山東棗莊·期中）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.(1)求證：共面；(2)當(dāng)為何值時，.【解析】（1）在平行六面體中，連接，因為，所以，，所以，即且，所以四邊形為平行四邊形，即共面；（2）當(dāng)時，，理由如下，設(shè)，且與、與、與的夾角均為，因為底面為菱形，所以，，，若，則，即，即，解得或舍去，即時，.【方法技巧與總結(jié)】立體幾何中有關(guān)判斷線線垂直問題，通?？梢赞D(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積為零.【變式81】（2024·高二·河南周口·階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為