猜想08銳角三角函數(shù)（易錯(cuò)必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

猜想08銳角三角函數(shù)（易錯(cuò)必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）銳角三角函數(shù)的定義（共4小題）二．同角三角函數(shù)的關(guān)系（共2小題）三．特殊角的三角函數(shù)值（共5小題）四．解直角三角形（共4小題）五．解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）六．解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題（共9小題）七．解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題（共4小題）一．銳角三角函數(shù)的定義（共4小題）1．（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則tanA的值是（）A． B． C． D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?太倉(cāng)市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cosA的值是（）A． B． C． D．【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴cosA＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，CB＝5，∠B的余弦值為．【分析】在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，CB＝5，∴cosB＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?濟(jì)南期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則sinB＝．【分析】先根據(jù)已知條件，得出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出本題的答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴sinB＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，在解題時(shí)要根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義找出相應(yīng)的對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．二．同角三角函數(shù)的關(guān)系（共2小題）5．（2022秋?西安期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，則tanA＝（）A． B． C． D．【分析】在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB＝5，然后利用勾股定理求出AC＝4，最后利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，∴AB＝＝＝5，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?興化市期末）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，則sinA的值為（）A． B． C． D．2【分析】先利用正切的定義得到tanA＝＝2，則設(shè)AC＝x，BC＝2x，利用勾股定理表示出AB＝x，然后利用正弦的定義求解．【解答】解：如圖：∵∠C＝90°，∴tanA＝＝2，設(shè)AC＝x，則BC＝2x，∴AB＝＝x，∴sinA＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系：利用一個(gè)銳角的一個(gè)三角函數(shù)值表示出邊之間的關(guān)系，再利用勾股定理表示出第三邊，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求這個(gè)角的另兩個(gè)三角函數(shù)值．三．特殊角的三角函數(shù)值（共5小題）7．（2022秋?云州區(qū)期末）已知∠α為銳角，且sinα＝，則∠α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，判斷即可．【解答】解：∵∠α為銳角，且sinα＝，∴∠α＝60°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?鄭州期末）若sin（x+15°）＝，則銳角x＝45°．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可解答．【解答】解：∵sin（x+15°）＝，∴x+15°＝60°，解得：x＝45°，故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?永定區(qū)期末）△ABC中，∠A，∠B都是銳角，若cosA＝，tanB＝1，則∠C＝105°．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得∠A＝30°，∠B＝45°，然后利用三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故答案為：105°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?甘井子區(qū)校級(jí)期末）cos45°tan45°＝1．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：cos45°tan45°＝××1＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．11．（2023春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．四．解直角三角形（共4小題）12．（2022秋?承德縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是（）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷A，B，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷C，最后利用同角的余角相等可得∠C＝∠BAD，從而在Rt△BAD中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出cos∠BAD＝，即可判斷D．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，cosC＝，tanC＝，故A、B不符合題意；在Rt△BAC中，sinC＝，故C符合題意；∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠C＝∠BAD，在Rt△BAD中，cos∠BAD＝，∴cosC＝cos∠BAD＝，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝4，則AC＝4．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，然后在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝AB?sin45°＝4×＝2，在Rt△ADC中，∠ACB＝30°，∴AC＝2AD＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?煙臺(tái)期末）如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，則tanB＝．【分析】先利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，從而可得∠BAC＝90°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)是定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：AB2＝22+22＝8，AC2＝12+12＝2，CB2＝12+32＝10，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝，AB＝2，∴tanB＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?桐柏縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)B作CD的垂線，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．已知AC＝30，．則sin∠DBE的值為．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB＝50，從而利用勾股定理求出BC＝40，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CD＝AB＝25，再利用面積法求出CF＝24，從而在Rt△CDF中，利用勾股定理求出DF＝7，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)的定義求出sin∠DCF的值，最后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠DCF，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，在Rt△ABC中，AC＝30，，∴AB＝＝＝50，∴BC＝＝＝40，∵D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝25，∵△ABC的面積＝AB?CF＝AC?CB，∴AB?CF＝AC?CB，∴50CF＝30×40，∴CF＝24，在Rt△CDF中，DF＝＝＝7，∴sin∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴sin∠DBE＝sin∠DCF＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．五．解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）16．（2022秋?承德縣期末）消防車是救援火災(zāi)的主要裝備．圖①是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸縮的，且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)上下轉(zhuǎn)動(dòng)，張角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面的高度AE為4米．（1）當(dāng)起重臂AC的長(zhǎng)度為24米，張角∠CAE＝120°時(shí)，云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度CF的長(zhǎng)為16米．（2）某日一棟大樓突發(fā)火災(zāi)，著火點(diǎn)距離地面的高度為26米，該消防車在這棟樓下能否實(shí)施有效救援？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：≈1.7）（提示：當(dāng)起重臂AC伸到最長(zhǎng)且張角∠CAE最大時(shí)，云梯頂端C可以達(dá)到最大高度）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CF，垂足為F．先在Rt△AGC中求出CG，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出CF；（2）先計(jì)算當(dāng)AC長(zhǎng)30米、∠CAE＝150°時(shí)救援的高度，再判斷該消防車能否實(shí)施有效救援．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CF，垂足為F．由題意知：四邊形AEFG是矩形．∴FG＝AE＝4米，∠EAG＝∠AGC＝∠AGF＝90°．∵∠CAE＝120°，∴∠CAG＝∠CAE﹣∠EAG＝30°．在Rt△AGC中，∵sin∠CAG＝，AC的長(zhǎng)度為24米，∴CG＝AC×sin30°＝24×＝12（米）．∴CF＝CG+GF＝4+12＝16（米）．答：云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度CF的長(zhǎng)為16米；故答案為：16；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE，交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．當(dāng)AC＝30米，∠CAE＝150°時(shí)，∠HAC＝30°．在Rt△AHC中，∵cos∠HAC＝，∴AH＝cos∠HAC×AC＝cos30°×30＝×30＝15≈1.7×15＝25.5（米）．∴HE＝AE+AH＝4+25.5＝29.5（米）．由題意知，四邊形HEFC是矩形，∴CF＝HE＝29.5米，∵29.5＞26，∴該消防車能夠?qū)嵤┯行Ь仍军c(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系及線段的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．17．（2022秋?南宮市期末）桑梯是我國(guó)古代發(fā)明的一種采桑工具．圖1是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC與AB的張角為α，為保證安全，α的調(diào)整范圍是30°≤a≤60°，BC為固定張角α大小的繩索．（1）求繩索BC長(zhǎng)的最大值．（2）若α＝40°時(shí)，求桑梯頂端D到地面BC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，最后結(jié)果精確到0.01米）【分析】（1）根據(jù)題意可得：當(dāng)∠BAC＝α＝60°時(shí)，繩索BC的長(zhǎng)最大，然后根據(jù)已知易得△ABC是等邊三角形，從而利用等邊三角形的性質(zhì)可得BC＝AB＝AC＝1.5米，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠C＝70°，再根據(jù)已知可得DC＝2.7米，然后在Rt△DEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：當(dāng)∠BAC＝α＝60°時(shí)，繩索BC的長(zhǎng)最大，∵AB＝AC＝1.5米，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝AC＝1.5米，∴繩索BC長(zhǎng)的最大值為1.5米；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，∴∠DEC＝90°，∵AB＝AC＝1.5米，∠BAC＝α＝40°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∵AD＝1.2米，∴DC＝AD+AC＝2.7（米），在Rt△DEC中，DE＝DC?sin70°≈2.7×0.94≈2.54（米），∴桑梯頂端D到地面BC的距離約為2.54米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．六．解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題（共9小題）18．（2023春?懷化期末）如圖，為了測(cè)量古塔的高，小明在點(diǎn)A測(cè)得看古塔頂點(diǎn)C處的仰角為30°，然后向古塔方向前進(jìn)到40米的點(diǎn)B處測(cè)得古塔頂點(diǎn)C的仰角是60°，A、B、D在同一直線上，那么古塔CD的高是34.6米．（≈1.414，≈1.732，結(jié)果保留一位小數(shù)）【分析】根據(jù)題意可得：CD⊥AD，AB＝40米，∠A＝30°，∠CBD＝60°，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠A＝∠ACB＝30°，從而可得AB＝BC＝40米，最后在Rt△CBD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：CD⊥AD，AB＝40米，∠A＝30°，∠CBD＝60°，∵∠CBD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝30°，∴∠A＝∠ACB＝30°，∴AB＝BC＝40米，在Rt△CBD中，CD＝BC?sin60°＝40×＝20≈34.6（米），∴古塔CD的高約為34.6米，故答案為：34.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?宜賓期末）如圖，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B處有一棵樹BA，小彭在坡底O處測(cè)得樹梢A的仰角為45°，沿坡面OM上行30米到達(dá)D處，測(cè)得∠ADB＝30°．（1）求DA的長(zhǎng)；（2）求樹BA的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【分析】（1）由題意得：∠AON＝45°，OD＝30米，從而可得∠AOD＝15°，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠OAD＝15°，然后利用等角對(duì)等邊即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)D作DH∥ON，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠BDH＝∠MON＝30°，進(jìn)而可得∠ADH＝60°，然后在Rt△ADH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AH，DH的長(zhǎng)，再在Rt△BDH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BH的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：∠AON＝45°，OD＝30米，∵∠MON＝30°，∴∠AOD＝∠AON﹣∠MON＝45°﹣30°＝15°，∵∠ADB是△AOD的一個(gè)外角，∴∠OAD＝∠ADB﹣∠AOD＝15°，∴∠AOD＝∠OAD＝15°，∴OD＝AD＝30米，∴DA的長(zhǎng)為30米；（2）過(guò)點(diǎn)D作DH∥ON，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∴∠BDH＝∠MON＝30°，∵∠ADB＝30°，∴∠ADH＝∠ADB+∠BDH＝60°，由題意得：∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，AD＝30米，∴AH＝AD?sin60°＝30×＝15（米），DH＝AD?cos60°＝30×＝15（米），在Rt△BDH中，BH＝DH?tan30°＝15×＝5（米），∴AB＝AH﹣BH＝15﹣5＝10（米），∴樹BA的高度為10米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?大連期末）數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量建筑物AB的高度．如圖，在建筑物AB前方搭建高臺(tái)CD進(jìn)行測(cè)量．高臺(tái)CD到AB的距離BC為6米，在高臺(tái)頂端D處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為40°，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為30°．（1）填空：∠ADB＝70°；（2）求建筑物AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，根據(jù)題意可得：∠ADE＝40°，∠BDE＝30°，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)題意可得：DE＝BC＝6米，然后分別在Rt△ADE和Rt△DEB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE，BE的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，由題意得：∠ADE＝40°，∠BDE＝30°，∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝40°+30°＝70°，故答案為：70；（2）由題意得：DE＝BC＝6米，在Rt△ADE中，∠ADE＝40°，∴AE＝DE?tan40°≈6×0.84＝5.04（米），在Rt△DEB中，∠BDE＝30°，∴BE＝DE?tan30°＝6×＝2≈3.46（米），∴AB＝AE+EB＝5.04+3.46≈9（米），∴建筑物AB的高度約為9米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?閔行區(qū)期末）2022年11月12日10時(shí)03分，搭載天舟五號(hào)貨運(yùn)飛船的長(zhǎng)征七號(hào)遙六運(yùn)載火箭，在海南文昌航天發(fā)射場(chǎng)成功發(fā)射．天舟五號(hào)貨運(yùn)飛船重約13.6噸，長(zhǎng)度BD＝10.6米，貨物倉(cāng)的直徑可達(dá)3.35米，是世界現(xiàn)役貨物運(yùn)輸能力最大、在軌支持能力最全面的貨運(yùn)飛船，堪稱“在職最強(qiáng)快遞小哥”．已知飛船發(fā)射塔垂直于地面，某人在地面A處測(cè)得飛船底部D處的仰角45°，頂部B處的仰角為53°，求此時(shí)觀測(cè)點(diǎn)A到發(fā)射塔CD的水平距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根據(jù)題意可得：∠ACD＝90°，然后在Rt△ACD和Rt△ABC中，分別利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC，CD的長(zhǎng)，最后根據(jù)BD＝10.6米，列出關(guān)于AC的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，∴DC＝AC?tan45°＝AC，在Rt△ABC中，∠BAC＝53°，∴BC＝AC?tan53°≈1.33AC，∵BD＝10.6米，∴BC﹣CD＝10.6，∴1.33AC﹣AC＝10.6，∴AC≈32.1米，∴此時(shí)觀測(cè)點(diǎn)A到發(fā)射塔CD的水平距離約為32.1米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）某市在地鐵施工期間，相關(guān)部門在施工路段設(shè)立了矩形安全警示牌ABCD（如圖所示），小東同學(xué)在距離安全警示牌8米（EF的長(zhǎng)）遠(yuǎn)的建筑物上的窗口P處，測(cè)得安全警示牌頂端A點(diǎn)和底端B點(diǎn)的俯角分別是30°和45°，求安全警示牌寬AB的值．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】延長(zhǎng)BA交PH于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：EF＝PG＝8米，∠PGA＝90°，在Rt△PAG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出GA的長(zhǎng)，再在Rt△PGB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出GB的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：延長(zhǎng)BA交PH于點(diǎn)G，由題意得：EF＝PG＝8米，∠PGA＝90°，在Rt△PAG中，∠GPA＝30°，∴AG＝PG?tan30°＝8×＝（米），在Rt△PGB中，∠GPB＝45°，∴GB＝PG?tan45°＝8×1＝8（米），∴AB＝GB﹣GA＝（8﹣）米，∴安全警示牌寬AB的值為（8﹣）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?槐蔭區(qū)期末）無(wú)人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測(cè)．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無(wú)人機(jī)對(duì)一塊試驗(yàn)田進(jìn)行監(jiān)測(cè)作業(yè)時(shí)，在距地面高度為135m的A處測(cè)得試驗(yàn)田右側(cè)邊界N處俯角為43°，無(wú)人機(jī)垂直下降40m至B處，又測(cè)得試驗(yàn)田左側(cè)邊界M處俯角為35°，求MN的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，結(jié)果保留整數(shù)）【分析】根據(jù)題意可得：∠ANO＝43°，∠BMO＝35°，AO⊥MN，然后在Rt△AON中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出NO的長(zhǎng)，再利用線段的和差關(guān)系求出BO的長(zhǎng)，最后在Rt△MBO中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出MO的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：∠ANO＝43°，∠BMO＝35°，AO⊥MN，在Rt△AON中，AO＝135m，∴ON＝≈＝150（m），∵AB＝40m，∴BO＝AO﹣AB＝95（m），在Rt△MBO中，MO＝≈≈135.7（m），∴MN＝NO+MO＝150+135.7≈286（m），∴MN的長(zhǎng)約為286m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．24．（2023春?零陵區(qū)期末）2023年“水州陸港杯”中國(guó)龍舟公開賽（湖南一水州站）在冷水灘瀟湘平湖舉行，為確保此次龍舟競(jìng)賽水域安全，特別是謹(jǐn)防青少年在觀賽時(shí)溺水，某單位在一處觀賽臺(tái)后方小山坡上豎立了“防溺水”宣傳牌．小剛為了測(cè)得宣傳牌的高度，他站在山坡底端C處，測(cè)得宣傳牌頂端A的仰角∠DCA＝45°，然后小剛從山坡底端C沿著傾斜角為30°的斜坡走了20米，到達(dá)E處平臺(tái)，與宣傳牌底端B水平，此時(shí)測(cè)得宣傳牌頂端A的仰角∠BEA＝60°，求“防溺水”宣傳牌的高度．【分析】延長(zhǎng)AB交CD于點(diǎn)F，根據(jù)題意可得：AF⊥CF，ED⊥CD，BF＝DE，BE＝DF，然后在Rt△EDC中，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)求出DE和CD的長(zhǎng)，再設(shè)BE＝DF＝x米，則CF＝（x+10）米，最后在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長(zhǎng)，從而求出AF的長(zhǎng)，再在Rt△AFC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：延長(zhǎng)AB交CD于點(diǎn)F，由題意得：AF⊥CF，ED⊥CD，BF＝DE，BE＝DF，在Rt△EDC中，CE＝20米，∠DCE＝30°，∴DE＝CE＝10（米），CD＝DE＝10（米），∴BF＝DE＝10米，設(shè)BE＝DF＝x米，∴CF＝DF+CD＝（x+10）米，在Rt△ABE中，∠AEB＝60°，∴AB＝BE?tan60°＝x（米），∴AF＝AB+BF＝（x+10）米，在Rt△AFC中，∠ACF＝45°，∴AF＝CF?tan45°＝（x+10）米，∴x+10＝x+10，解得：x＝10，∴AB＝x＝10（米），∴“防溺水”宣傳牌的高度為10米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋?商河縣期末）如圖大樓AB的高度為37m，小可為了測(cè)量大樓頂部旗桿AC的高度，他從大樓底部B處出發(fā)，沿水平地面前行32m到達(dá)D處，再沿著斜坡DE走20m到達(dá)E處，測(cè)得旗桿頂端C的仰角為30°．已知斜坡ED與水平面的夾角∠EDG＝37°，圖中點(diǎn)A，B，C，D，E，G在同一平面內(nèi)（結(jié)果精確到0.1m）（1）求斜坡ED的鉛直高度EG和水平寬度GD．（2）求旗桿的AC高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】（1）在Rt△DEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H，根據(jù)題意可得：DB＝32m，則EH＝GB＝48m，然后在Rt△CEH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CH的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）在Rt△DEG中，∠EDG＝37°，DE＝20m，∴EG＝DE?sin37°≈20×0.60＝12（m），DG＝DE?cos37°≈20×0.80＝16（m），∴斜坡ED的鉛直高度EG約為12m，水平寬度GD約為16m；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H，由題意得：DB＝32m，∴EH＝GB＝GD+DB＝16+32＝48（m），在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，∴CH＝EH?tan30°＝48×＝16（m），∴AC＝CH+BH﹣AB＝16+12﹣37≈2.7（m），∴旗桿的AC高度約為2.7m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）如圖是某景區(qū)的觀光扶梯建設(shè)示意圖．起初工程師計(jì)劃修建一段坡度為3：2的扶梯AB，扶梯總長(zhǎng)為米．但這樣坡度太陡，扶梯太長(zhǎng)容易引發(fā)安全事故．工程師修改方案：修建AC、DE兩段扶梯，并減緩各扶梯的坡度，其中扶梯AC和平臺(tái)CD形成的∠ACD為135°，從E點(diǎn)看D點(diǎn)的仰角為30°，AC段扶梯長(zhǎng)20米．（參考數(shù)據(jù)：，）（1）求點(diǎn)A到BE的距離．（2）DE段扶梯長(zhǎng)度約為多少米？（結(jié)果保留1位小數(shù)）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EB，垂足為F，根據(jù)已知可設(shè)AF＝3x米，則BF＝2x米，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理求出AB＝x米，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）延長(zhǎng)DC交AF于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF，垂足為H，根據(jù)題意可得：DG⊥AG，DH＝GF，再利用平角定義可得∠ACG＝45°，然后在Rt△ACG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG的長(zhǎng)，從而求出DH，F(xiàn)G的長(zhǎng)，最后在Rt△DEH中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EB，垂足為F，∵扶梯AB的坡度為3：2，∴＝，∴設(shè)AF＝3x米，則BF＝2x米，在Rt△ABF中，AB＝＝＝x（米），∵AB＝10米，∴x＝10，∴x＝10，∴AF＝3x＝30（米），∴點(diǎn)A到BE的距離為30米；（2）延長(zhǎng)DC交AF于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF，垂足為H，由題意得：DG⊥AG，DH＝GF，∵∠ACD＝135°，∴∠ACG＝180°﹣∠ACD＝45°，在Rt△ACG中，AC＝20米，∴AG＝AC?sin45°＝20×＝10（米），∵AF＝30米，∴DH＝GF＝AF﹣AG＝（30﹣10）米，在Rt△DEH中，∠DEH＝30°，∴DE＝2DH＝60﹣20≈31.8（米），∴DE段扶梯長(zhǎng)度約為31.8米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．七．解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題（共4小題）27．（2023春?橋西區(qū)期末）學(xué)校在小明家南偏東30°方向上，距小明家6km，以小明家所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，1km為一個(gè)單位長(zhǎng)度，則學(xué)校所在位置的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，在Rt△AOB中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AB和OB的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，在Rt△AOB中，AO＝6km，∠AOB＝30°，∴AB＝AO＝3（km），OB＝AB＝3（km），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，﹣3），∴學(xué)校所在位置的坐標(biāo)為（3，﹣3），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件畫出圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．28．（2023春?廈門期末）如圖所示的四邊形ABCD是正在建設(shè)的某景區(qū)示意圖，A—B—C—D—A是環(huán)繞景區(qū)的道路，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏西45°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方向，經(jīng)測(cè)量AD＝2km，AB＝1km．設(shè)計(jì)單位計(jì)劃在該景區(qū)內(nèi)修建一個(gè)觀景平臺(tái)P，并鋪設(shè)若干條小路連接景區(qū)道路．其中點(diǎn)P在點(diǎn)A的正北方向，在點(diǎn)D的正東方向．（1）求AP的長(zhǎng)度；（2）延長(zhǎng)DP與BC交于點(diǎn)E，測(cè)得CE＝2km，設(shè)計(jì)單位設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)小路的方案：方案1：鋪設(shè)小路DE和AP；方案2：鋪設(shè)小路CP和AP．要使得鋪設(shè)小路的總長(zhǎng)度更短，應(yīng)選擇哪種鋪設(shè)方案，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題意可得：AP⊥DP，∠DAP＝45°，然后在Rt△ADP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AP的長(zhǎng)，即可解答；（2）在Rt△ADP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DP的長(zhǎng)，然后根據(jù)題意可得：DE⊥BC，AB⊥BC，PE＝AB＝1km，AP＝BE＝km，從而可得DE＝（+1）km，再在Rt△CPE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CP的長(zhǎng)，最后分別求出方案一和方案二鋪設(shè)小路的總長(zhǎng)度，比較即可解答．【解答】解：（1）由題意得：AP⊥DP，∠DAP＝45°，在Rt△ADP中，AD＝2km，∴AP＝AD?cos45°＝2×＝（km），∴AP的長(zhǎng)度為km；（2）要使得鋪設(shè)小路的總長(zhǎng)度更短，應(yīng)選擇鋪設(shè)方案二，理由：在Rt△ADP中，AD＝2km，∠DAP＝45°，∴DP＝AD?sin45°＝2×＝（km），由題意得：DE⊥BC，AB⊥BC，PE＝AB＝1km，AP＝BE＝km，∴DE＝DP+PE＝（+1）km，在Rt△CPE中，CE＝2km，∴CP＝＝＝（km），∴方案一：DE+AP＝+1+＝（2+1）km；方案二：CP+AP＝（+）km，∵（2+1）km＞（+）km，∴要使得鋪設(shè)小路的總長(zhǎng)度更短，應(yīng)選擇鋪設(shè)方案二．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．29．（2023春?豐都縣期末）在奧林匹克運(yùn)動(dòng)的故鄉(xiāng)古希臘，奧林匹亞阿爾菲斯河岸的巖壁上保留著古希臘人的一段格言：“如果你想聰明，跑步吧!如果你想強(qiáng)壯，跑步吧!如果你想健康，跑步吧!”古人對(duì)聰明、強(qiáng)壯、健康的奔跑追求，至今仍然在愛(ài)跑步的人群中得到傳承．跑步已經(jīng)成為一種大眾化運(yùn)動(dòng)，越來(lái)越多的人從跑步中受益．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)環(huán)湖公園的步行道，AB＝AD＝4km，B在A正東方；C在D正東方，D在A的東北方，C在B北偏東60°方向．（1）求BC的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）小強(qiáng)和小剛同時(shí)從A出發(fā)，小強(qiáng)沿A→D→C方向跑，小剛沿A→B→C方向跑，若兩人速度相同，問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)C？（參考數(shù)據(jù)：，【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)