142乘法公式（講練）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)(人教版)

14.2乘法公式平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如題型1：平方差公式用面積探究公式1.如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的小正方形，將陰影部分剪下，拼成右邊的矩形，由圖形①到圖形②的變化過程能夠驗(yàn)證的一個(gè)等式是（）A．a(chǎn)(a+bC．(a+b)【答案】B【解析】【解答】解：由圖形①可知剪掉后剩下的圖形面積是：a2圖形②的長為(a+b)，寬為∴故答案為：B.

【分析】由圖形①可知剪掉后剩下的圖形面積是a2b2，圖形②的長為(a+b)，寬為(ab)，表示出其面積，進(jìn)而可得等式.【變式11】如圖，在邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形(a>bA．a(chǎn)2-b2C．(a+b)【答案】A【解析】【解答】解：∵左圖中陰影部分的面積是a2?b2，

右圖中梯形的面積是12（2a＋2b）（a?b）＝（a＋b）（a?b），∴a2?b2＝（a＋b）（a?b）.故答案為：A.【分析】左圖中陰影部分的面積=大正方形的面積小正方形的面積，右圖中陰影部分的面積=梯形的面積，根據(jù)面積相等可得公式.【變式12】如圖，從邊長為a的正方形中去掉一個(gè)邊長為b的小正方形，然后將剩余部分剪后拼成一個(gè)長方形，上述操作能驗(yàn)證的等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 D．a(chǎn)2＋ab＝a（a＋b）【答案】A【解析】【解答】解：大正方形的面積﹣小正方形的面積＝a2﹣b2，矩形的面積＝（a+b）（a﹣b），故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：A．

【分析】利用陰影部分的面積等于大正方形的面積﹣小正方形的面積列出等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即可得到答案。題型2：平方差公式識(shí)別2.下列式子可用平方差公式計(jì)算的是（）A．(a+b)(a?b) B．(a?b)(b?a)C．(a+2b)(2b+a) D．(y2x)(2x+y)【答案】D【解析】【解答】解：A.括號(hào)中的兩項(xiàng)符號(hào)都相反，不符合公式特點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.括號(hào)中的兩項(xiàng)符號(hào)都相反，不符合公式特點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.括號(hào)中的兩項(xiàng)符號(hào)都相同，不符合公式特點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.y的符號(hào)相同，2x的符號(hào)相反，符合公式特點(diǎn)，故此選項(xiàng)正確.故答案為：D.【分析】由平方差公式(a+b)(a?b)=a2b2，進(jìn)行逐一判斷即可.【變式21】下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣a2﹣b2 B．x2+（﹣y）2C．（﹣x）2+（﹣y）2 D．﹣m2+1【答案】D【解析】【解答】解：A、-a2-B、x2+C、(-x)D、-m2故答案為：D．【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可?！咀兪?2】下列兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式計(jì)算的，寫出計(jì)算結(jié)果．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【點(diǎn)撥】兩個(gè)多項(xiàng)式因式中，如果一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)就可以用平方差公式.【答案與解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式計(jì)算，(1)、(6)不能用平方差公式計(jì)算．(2)＝－＝．(3)＝－＝．(4)＝－＝．(5)＝－＝．【總結(jié)】利用平方差公式進(jìn)行乘法運(yùn)算，一定要注意找準(zhǔn)相同項(xiàng)和相反項(xiàng)（系數(shù)為相反數(shù)的同類項(xiàng)）．題型3：平方差公式計(jì)算3.計(jì)算（4＋x）（x－4）的結(jié)果是（）A．x2-16 B．x2+16 C．【答案】A【解析】【解答】解：(4+x故答案為：A．【分析】利用平方差公式計(jì)算即可.【變式31】計(jì)算(-2a-3A．4a2-9C．-4a2-【答案】B【解析】【解答】解：(-2=-=-=9b2故答案為：B.【分析】根據(jù)平方差公式，用完全相同的項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方可得結(jié)果.【變式32】計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．題型4：平方差公式混合運(yùn)算及簡便運(yùn)算4.2、計(jì)算：(1)59.9×60.1；(2)102×98．【答案】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996．【總結(jié)】用構(gòu)造平方差公式計(jì)算的方法是快速計(jì)算有些有理數(shù)乘法的好方法，構(gòu)造時(shí)可利用兩數(shù)的平均數(shù)，通過兩式(兩數(shù))的平均值，可以把原式寫成兩數(shù)和差之積的形式．這樣可順利地利用平方差公式來計(jì)算．【變式41】計(jì)算：（1）991×1009解：991×1009=(1000-9)×(1000+9)=（2）用公式進(jìn)行簡便計(jì)算.20222﹣2023×2021．解：原式=20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）=20222﹣20222+1=1（3）(【答案】解：原式=(=【解析】【分析】考查平方差公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算，結(jié)果為3xy?！咀兪?2】閱讀并完成下列各題：通過學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)體會(huì)到靈活運(yùn)用整式乘法公式給計(jì)算和化簡帶來的方便、快捷．相信通過下面材料的學(xué)習(xí)、探究，會(huì)使你大開眼界，并獲得成功的喜悅．【例】用簡便方法計(jì)算995×1005．解：995×1005=（1000﹣5）（1000+5）①=10002﹣52②=999975．（1）例題求解過程中，第②步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（2）用簡便方法計(jì)算：9×11×101×10001；【答案】（1）平方差公式（2）解：9×11×101×10001=（10﹣1）（10+1）×101×10001=99×101×10001=（100﹣1）（100+1）×10001=9999×10001=（10000﹣1）（10000+1）=99999999；【解析】【解答】解：（1）例題求解過程中，第②步變形是利用平方差公式；故答案為：平方差公式；【分析】（1）通過觀察，利用平方差公式進(jìn)行化簡。（2）利用平方差公式，進(jìn)行拆分，通過觀察規(guī)律，進(jìn)行化簡。題型5：平方差公式巧用公式計(jì)算5.計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．解：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1=264﹣1+1=264．【變式51】某同學(xué)在計(jì)算3（4+1）（42+1）時(shí)，把3寫成4﹣1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差公式計(jì)算：3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=162﹣1=255．請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：(1+12【答案】解：原式=2（1﹣12）（1+12）（1+122）（1+124）（=2（1﹣1216）=2【解析】【分析】原式變形后，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果．完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.注意：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形（重要）：題型6：完全平方公式用面積探究公式6.如圖，根據(jù)計(jì)算正方形ABCD的面積，可以說明下列哪個(gè)等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a(chǎn)（a﹣b）=a2﹣ab【答案】B【解析】【解答】解：據(jù)題意得：（a+b）2=a2+2ab+b2.故答案為：B.【分析】利用正方形和矩形面積公式，結(jié)合完全平方公式計(jì)算求解即可?！咀兪?1】通過計(jì)算幾何圖形的面積可表示一些代數(shù)恒等式，下圖可表示的代數(shù)恒等式是（）A．(a-b)C．(a+b)【答案】B【解析】【解答】解：長方形的面積等于：2a（a+b），也等于四個(gè)小圖形的面積之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab，即2a（a+b）=2a2+2ab．故答案為：B．

【分析】根據(jù)大長方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積和兩個(gè)長方形的面積之和，依此列出等式，再將兩邊計(jì)算化簡，即可作出判斷.【變式62】如圖，將圖1中陰影部分拼成圖2，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的關(guān)系，可以驗(yàn)證下列哪個(gè)計(jì)算公式（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【答案】A【解析】【解答】根據(jù)題意得：圖1中陰影部分面積＝（a﹣b）2，圖2中陰影部分面積＝a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案為：A．【分析】分別計(jì)算出甲、乙兩圖中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等，即可解答．題型7：完全平方公式識(shí)別7.下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（）A．(x-y)(C．(x-y)(-【答案】B【解析】【解答】解：A、原式＝x2﹣y2，不符合題意；B、原式＝x2﹣2xy+y2，符合題意；C、原式＝y(tǒng)2﹣x2，不符合題意；D、原式＝﹣x2+y2，不符合題意，故答案為：B.【分析】根據(jù)(ab)2=a22ab+b2進(jìn)行逐一判斷即可.【變式71】下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（）A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）C．(-12p+q)(q+12p) D【答案】B【解析】【解答】A、原式＝b2﹣a2，本選項(xiàng)不合題意；B、原式＝﹣（m2+n2）2，本選項(xiàng)符合題意；C、原式＝q2﹣14p2D、原式＝4x2﹣9y2，本選項(xiàng)不合題意，故答案為：B．【分析】A、原式利用平方差公式化簡得到結(jié)果，不合題意；B、原式第一個(gè)因式提取﹣1變形后利用完全平方公式計(jì)算得到結(jié)果，符合題意；C、原式利用平方差公式化簡得到結(jié)果，不合題意；D、原式利用平方差公式化簡得到結(jié)果，不合題意．【變式72】下列式子滿足完全平方公式的是（）A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x+y）C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y+3x）【答案】D【解析】【解答】完全平方指的是兩數(shù)的和（差）相乘，即兩因式相同，故選D．【分析】根據(jù)完全平方的定義直接得出答案．題型8：完全平方公式計(jì)算8.下列計(jì)算正確的是（）A．??B．?C．?D．?【答案】D【解析】【解答】解：A.??（B.?（C.?（D.?（故答案為：D

【分析】利用完全平方公式逐項(xiàng)判斷即可?！咀兪?1】下列運(yùn)算正確的是（）A．(x+y)2=x2+y2 B．(xy)2=x2+2xy+y2C．(x+y)2=x2+y2+2xy D．(xy)2=x2xy+y2【答案】C【解析】【解答】解：∵只有C選項(xiàng)正確故答案為：C【分析】利用完全平方公式進(jìn)行逐一判斷即可.【變式82】計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【點(diǎn)撥】此題都可以用完全平方公式計(jì)算，區(qū)別在于是選“和”還是“差”的完全平方公式.【答案】解：(1)．(2)．(3)．(4)．【總結(jié)】(1)在運(yùn)用完全平方公式時(shí)要注意運(yùn)用以下規(guī)律：當(dāng)所給的二項(xiàng)式符號(hào)相同時(shí)，結(jié)果中三項(xiàng)的符號(hào)都為正，當(dāng)所給的二項(xiàng)式符號(hào)相反時(shí)，結(jié)果中兩平方項(xiàng)為正，乘積項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)．(2)注意之間的轉(zhuǎn)化．題型9：完全平方公式混合運(yùn)算9.簡便計(jì)算：（1）982（2）20202﹣4040×2019+20192【答案】（1）解：982＝（100﹣2）2＝1002﹣2×100×2+22＝10000﹣400+4＝9604；（2）解：20202﹣4040×2019+20192＝20202﹣2×2020×2019+20192＝（2020﹣2019）2＝12＝1．【解析】【分析】（1）由982＝（100﹣2）2，根據(jù)完全平方公式展開即可；（2）﹣4040×2019＝﹣2×2020×2019，將原式變形后，根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可．（3）計(jì)算（2x+y）2﹣（y﹣2x）2【答案】解：原式＝4x2+4xy+y2﹣y2+4xy﹣4x2＝8xy【解析】【分析】先根據(jù)完全平方公式展開，再合并同類項(xiàng)即可.【變式91】計(jì)算：（1）(2解：原式=4（2）（x+2）（x﹣2）﹣（x+1x）解：原式＝x2﹣4﹣x2﹣2﹣1x2＝﹣6﹣（3）(x+2)【答案】解：原式=x2+4x+4﹣x2+1=4x+5（4）9（a－1）2－（3a＋2）（3a－2）；解：9（a－1）2－（3a＋2）（3a－2）=9=9=-18【變式92】（1）簡算：20182－4036×2017＋20172解：201=201=(2018-2017)=1（2）計(jì)算(解：(2=4x=4x=4xy題型10：完全平方公式公式變形求代數(shù)式的值10.a+b=5，ab=-2，求【答案】解：∵a+b=5，ab=2，∴a2+b2=（a+b）22ab=522×（2）=29；（ab）2=a2+b22ab=292×（2）=33.【解析】【分析】①將a2+b2變形為（a+b）22ab，再代入計(jì)算即可；②利用完全平方公式可得（ab）2=a2+b22ab，然后整體代入計(jì)算即可.【變式101】已知(m+n)2=9,(【答案】解：∵(m+n)2=m①+②得m2+①②得mn=2∴m2【解析】【分析】利用完全平方公式將兩個(gè)等式的左邊展開，然后將兩個(gè)等式相加可以得出m2+n2=5，將兩個(gè)等式相減可以得出mn【變式102】已知(a+b)2=60，(a-b)2【答案】解：∵（a+b）2=60，（ab）2=80，∴a2+b2+2ab=60①，a2+b22ab=80②，∴①+②得：2（a2+b2）=140，解得：a2+b2=70，∴70+2ab=60，解得：ab=5．【解析】【分析】利用完全平方公式的展開，再計(jì)算即可。添括號(hào)法則添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).注意：添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化也是一致的，可以用去括號(hào)法則檢查添括號(hào)是否正確.題型11：完全平方公式添括號(hào)11.運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）；（2）．【點(diǎn)撥】（1）是一個(gè)三項(xiàng)式的平方，不能直接運(yùn)用完全平方公式，可以用加法結(jié)合律將化成，看成與和的平方再應(yīng)用公式；（2）是兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，其中與完全相同，，與，分別互為相反數(shù)，與平方差公式特征一致，可適當(dāng)添加括號(hào)，使完全相同部分作為“一項(xiàng)”，互為相反數(shù)的部分括在一起作為“另一項(xiàng)”．【答案】解：（1）原式．（2）原式．【總結(jié)】配成公式中的“”“”的形式再進(jìn)行計(jì)算.【變式111】運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】解：(1)＝[－(－)][＋(－)]＝＝．(2)＝[2＋(－1)][2－(－1)]＝＝．(3)＝．(4)＝＝－＝－＝題型12：完全平方公式構(gòu)造完全平方公式12.若x，y是等腰三角形的兩條邊，且滿足4x2+17y【答案】解：∵4x∴4x則(2x∴2x-4解得：x=4，y當(dāng)2為腰，4為底時(shí)，△ABC不存在；當(dāng)4為腰，2為底時(shí)，△ABC的周長=2×4+2=10【解析】【分析】把左式配成兩個(gè)完全平方式之和的形式，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)等于0，分別列方程聯(lián)立求解，再分兩種情況討論，即當(dāng)2為腰，4為底時(shí)，當(dāng)4為腰，2為底時(shí)，先根據(jù)三角形的三邊的關(guān)系進(jìn)行判斷，再求其周長即可.【變式121】已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周長.【答案】解：∵a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，∴a2﹣4a+4+b2﹣8b+16=0，∴（a﹣2）2+（b﹣4）2=0，又∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a﹣2=0，b﹣4=0，∴a=2，b=4，∴△ABC的周長為a+b+c=2+4+3=9，答：△ABC的周長為9.【解析】【分析】由a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a，b的值，然后根據(jù)三角形的周長公式進(jìn)行求解即可得.【變式122】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且滿足a2+b2+12c2＝ac+bc，試判定【答案】無法構(gòu)成△ABC．理由如下：∵a2+∴a2+∴(a2∴(a-∴a-12c=0即a=12c且∴a+b=c，∴無法構(gòu)成△ABC．【解析】【分析】將已知等式移項(xiàng)后變形為(a2-ac+14c2)+(b2-bc+1題型13：用乘法公式證明整除問題13.求證：對(duì)任意整數(shù)n,整式（3n+1）（3n1）（3n）（3+n）的值都能被10整除．【解答】證明：原式=（3n）21（32n2）

=9n219+n2

=10n210

=10（n21）．

∵n為整數(shù)，

∴10（n21）能被10整除，

∴對(duì)任意整數(shù)n,原式的值都能被10整除．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式131】求證：對(duì)任意自然數(shù)n,式子（n1）（n+1）（n5）（n7）的值都能被12整除．【分析】應(yīng)用平方差公式及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算得12（n3），由n為自然數(shù)，即12（n3）能被12整除，即可得出答案．【解答】證明：（n1）（n+1）（n5）（n7）

=（n21）（n212n+35）

=n21n2+12n35

=12n36

=12（n3），

∵n為自然數(shù)，12（n3）能被12整除，

∴對(duì)任意自然數(shù)n,式子（n1）（n+1）（n5）（n7）的值都能被12整除．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方差公式及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握平方差公式及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式132】設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n1和2n+1，則這兩個(gè)數(shù)的平方差（較大的減去較小的）是否一定被8整除？請(qǐng)說明理由．【分析】先列出算式，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再判斷即可．【解答】解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n1和2n+1，則這兩個(gè)數(shù)的平方差（較大的減去較小的）一定能被8整除，

理由是：（2n+1）2（2n1）2

=4n2+4n+14n2+4n1

=8n,

8n÷8=n,

∵n為整數(shù)，

∴設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n1和2n+1，則這兩個(gè)數(shù)的平方差（較大的減去較小的）一定能被8整除．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式和平方差公式，能熟記公式是解此題的關(guān)鍵，注意：（a+b）（ab）=a2b2，（a+b）2=a2+2ab+b2，（ab）2=a22ab+b2．題型14：乘法公式在幾何中的應(yīng)用14.圖①是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）將圖②中的陰影部分面積用2種方法表示可得一個(gè)等式，求等式。（2）若m+2n=7，mn=3，利用（1）的結(jié)論求m﹣2n的值．【答案】解：（1）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；故答案為：（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2（2）（m﹣2n）2=（m+2n）2﹣8mn=25，則m﹣2n=±5．【解析】【分析】（1）大正方形的面積減去矩形的面積即可得出陰影部分的面積，也可得出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之間的等量關(guān)系；（2）根據(jù)（1）所得出的關(guān)系式，可求出（m﹣2n）2，繼而可得出m﹣2n的值．【變式141】用4個(gè)相同的小長方形與1個(gè)小正方形密鋪而成的大正方形圖案如圖所示，已知大正方形的面積為36，小正方形的面積為4，用x、y（x＞y）分別表示小長方形的兩邊長．

（1）求x2+y2的值；（2）求xy的值．【答案】（1）解：∵大正方形的面積為36，小正方形的面積為4，∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，即x2+2xy+y2＝36，x2﹣2xy+y2＝4，兩式相加，可得2（x2+y2）＝40，∴x2+y2＝20；（2）解：∵x2+2xy+y2＝36，x2﹣2xy+y2＝4，兩式相減，可得4xy＝32，∴xy＝8．【解析】【分析】（1）依據(jù)大正方形的面積為36，小正方形的面積為4，可得（x+y）2=36，（xy）2=4，展開變形即可得到x2+y2的值；（2）依據(jù)（x+y）2=36，（xy）2=4，展開變形即可得到xy的值．【變式142】我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)等式．例如圖1可以得到(a+（1）根據(jù)圖2，完成數(shù)學(xué)等式：(2a)2=（2）觀察圖3，寫出圖3中所表示的等式：＝.（3）若a=7x-5、b=-4x+2、c=-3x+4，且【答案】（1）4（2）(a+（3）解：由(a+b[(71ab【解析】【解答】解：（1）4a2；（2）【分析】（1）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（2）正方形面積公式，邊長乘邊長。先求出大正方形的面積，他就等于里面所拼接的各個(gè)小的正方形面積的和（3）將各個(gè)的值代入（2）得到的公式中，進(jìn)行化簡，消除同類項(xiàng)，最終得到值題型15：乘法公式與化簡求值15.先化簡，再求值：(a+b)(a【答案】解：原式=a2b2+a22ab+b22a2+3ab=ab，當(dāng)a=-12，b=1時(shí)，原式=-【解析】【分析】根據(jù)平方差公式以及完全平方公式的性質(zhì)，化簡式子，代入a和b的值，求出答案即可?！咀兪?51】先化簡，再求值：(a+3)2(a+1)(a1)2(2a+4)，其中a=1【答案】解：原式=a2+6a+9(a21)4a8，=2a+2，當(dāng)a=12∴原式=2×12【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式，將式子化簡得到答案，繼而代入a的值求出答案即可?！咀兪?52】先化簡，再求值：(2x+y)2-(2x+y)(2【答案】解：原式=4x2+4=4x2=4xy+2∵x=12，∴原式=4×12=6+18，=24.【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式以及平方差公式的性質(zhì)，化簡式子得到答案，代入x和y的值，得到答案即可。題型16：用乘法公式解規(guī)律探究題16.閱讀下面內(nèi)容回答問題：

（x1）（x+1）=x21

（x1）（x2+x+1）=x31

（x1）（x3+x2+x+1）=x41

（x1）（x4+x3+x2+x+1）=x51

……

（1）按這樣的規(guī)律寫出第6個(gè)式子用你找出的規(guī)律計(jì)算1+2+22+23+24+25+26的值【分析】（1）根據(jù)規(guī)律寫出第6個(gè)式子；

（2）把1化為（21），原式化為（21）（1+2+22+23+24+25+26），根據(jù)規(guī)律寫出結(jié)果．【解答】解：（1）第6個(gè)式子：x71，

故答案為：x71；

（2）1+2+22+23+24+25+26

=（21）（1+2+22+23+24+25+26）

=271．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方差公式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，掌握平方差公式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，巧妙運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式161】觀察下面各式規(guī)律：12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2…寫出第n行的式子，并證明你的結(jié)論．【分析】本題考查學(xué)生的觀察歸納的能力．仔細(xì)觀察各式的結(jié)構(gòu)特征，不難發(fā)現(xiàn)式子的左側(cè)是連續(xù)兩整數(shù)及它們乘積的平方和，右側(cè)是它們的乘積與1的和的平方．然后，證明結(jié)論．【解答】解：第n個(gè)式子：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2，

證明：因?yàn)樽筮?n2+[n（n+1）]2+（n+1）2，

=n2+（n2+n）2+（n+1）2，

=（n2+n）2+2n2+2n+1，

=（n2+n）2+2（n2+n）+1，

=（n2+n+1）2，

而右邊=（n2+n+1）2，

所以，左邊=右邊，等式成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，關(guān)鍵是湊成（n2+n）2+2（n2+n）+1的形式，考查了學(xué)生對(duì)完全平方公式的變形應(yīng)用能力．【變式162】你能很快計(jì)算出19952嗎？

（1）通過計(jì)算，探索規(guī)律：

152=225=100×（1+1）+25，

252=625=100×2×（2+1）+25，

352=1225=100×3×（3+1）+25，

452=2025=100×4×（4+1）+25，

…

752=5625=852=7225=…

（2）觀察以上結(jié)果，歸納、猜想得（10n+5）2=。并運(yùn)用整式運(yùn)算的知識(shí)給予說明．

（3）利用上述結(jié)論，計(jì)算19952．【分析】根據(jù)題目給出的計(jì)算過程可得規(guī)律：第n個(gè)數(shù)可以表示為100×n×（n+1）+25，據(jù)此填空即可．【解答】解：（1）752=5625=100×7×（7+1）+25

852=7225=100×8×（8+1）+25．

故答案是：100×7×（7+1）+25；100×8×（8+1）+25；

（2）100n（n+1）+25，（10n+5）=100n2+100n+25=100n（n+1）+25．

故答案是：100n（n+1）+25；

（3）19952=100×199（199+1）+25=3980025．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方數(shù)的計(jì)算技巧，同時(shí)考查了規(guī)律的探索問題，可以激發(fā)同學(xué)們的探索意識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．一、單選題1．下面計(jì)算正確是（）A．x3+4x3＝5x6 B．a(chǎn)2?a3＝a6C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2【答案】C【解析】【解答】解：A、x3+4x3＝5x3，故本選項(xiàng)不符合題意；B、a2?a3＝a5，故本選項(xiàng)不符合題意；C、（﹣2x3）4＝16x12，故本選項(xiàng)符合題意；D、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故本選項(xiàng)不符合題意；故答案為：C．【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)即可判斷A；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則求出即可判斷B；根據(jù)積的乘方和冪的乘方的運(yùn)算法則求出即可判斷C；根據(jù)平方差公式求出即可判斷D．2．下列運(yùn)算正確的是（）A．2x+3x=6C．(-x3)2【答案】D【解析】【解答】解：A.2x+3x=5xB.(x-2)2C.(-x3)2D.x3?x4=故答案為：D.【分析】根據(jù)題目要求可知，通過合并同類項(xiàng)，整式的乘法之完全平方公式，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法的等運(yùn)算性質(zhì)，即可解答本題.3．下列計(jì)算正確的是（）A．(a+b)C．4a3?3【答案】C【解析】【解答】解：A、完全平方公式，（a+b）2=a2+2ab+b2，選項(xiàng)不符合題意；B、積的乘方，(-2aC、同底數(shù)冪相乘，4a3?3a2=12a5，選項(xiàng)符合題意；D、同底數(shù)冪相除，8a4÷4a=2a3，選項(xiàng)不符合題意．故答案為：C．

【分析】利用完全平方公式、積的乘方、冪的乘方、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式和單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算方法逐項(xiàng)判斷即可。4．若a、b、c為一個(gè)三角形的三條邊，則代數(shù)式a-A．一定為正數(shù) B．一定為負(fù)數(shù)C．可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù) D．可能為零【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)平方差公式分解因式，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系分析即可.

【解答】a-c2-b2=a-c+ba-c-b=a+b-c5．下列運(yùn)算正確的是（）A．2a2﹣a2=2 B．2a?3a=6a2C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a(chǎn)6÷a2=a3【答案】B【解析】【解答】解：A、2a2﹣a2=a2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、2a?3a=6a2，故選項(xiàng)正確；C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、a6÷a2=a4，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【分析】A、利用合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算，即可判斷；B、利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即可判斷；C、利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可判斷；D、利用同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算，即可判斷．6．下列多項(xiàng)式的乘法中，不能用平方差公式計(jì)算的是()A．(4x-3yC．(a+b-【答案】D【解析】【解答】A.原式=(?3y+4x)(?3y?4x)，可以運(yùn)用平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；B.符合兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積的形式，可以運(yùn)用平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；C.可以把?c+a看做一個(gè)整體，故原式=(?c+a+b)(?c+a?b)，可以運(yùn)用平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；D.不能整理為兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積的形式，所以不可以運(yùn)用平方差公式，故本選項(xiàng)符合題意。故答案為：D.【分析】平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于證兩個(gè)數(shù)平方差，即（a+b）(ab)=a2b2,據(jù)此逐一判斷即可.二、填空題7．計(jì)算①(2x+y)(2x-y)=【答案】4x2【解析】【解答】解：①(2x+y)(2x-y故答案為：4x2-y2【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式分別進(jìn)行計(jì)算即可.8．已知(a+b)2=49，a2+【答案】12【解析】【解答】解：(a+b)2=a2+2ab+2ab+25=49則2ab=24所以ab=12故答案為：12.【分析】根據(jù)完全平方公式可得(a+b)2=a2+2ab+b2，然后將已知條件代入就可求出ab的值.9．已知實(shí)數(shù)a、b滿足ab=3，ab=2，則a2+b2的值為?！敬鸢浮?3【解析】【解答】解：∵ab=3，∴（ab）2=9，∴a22ab+b2=9,又∵ab=2∴a2+b2=13.

故答案為：13.

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，將等式的兩邊同時(shí)平方后再根據(jù)利用完全平方公式展開即可解決問題.10．已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+2mx﹣m2+4是一個(gè)完全平方式，則m的值為【答案】±2【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+2mx﹣m2+4是一個(gè)完全平方式，即x2+2mx﹣m2+4∴﹣m2+4=m2，解得：m=±2．故答案為：±2．【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．三、計(jì)算題11．計(jì)算（1）a2b(ab4b2)；（2）(2x+4)(x2)；（3）(2xy)2(2x)2；（4）598×602（用簡便方法計(jì)算）.【答案】（1）解：原式=a3b2?4a2b3（2）解：原式=2x2?4x+4x?8=2x2?8（3）解：原式=(2x?y+2x)(2xy2x)=(4x?y)?(y)=y2?4xy（4）解：原式=(600?2)(600+2)=360000?4=359996【解析】【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都相乘，再把所得的積相加；

（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別取乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加；

（3）利用平方差公式分解因式，再在每一個(gè)因式內(nèi)合并同類項(xiàng)，最后根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都相乘，再把所得的積相加；

（4）由于兩個(gè)因數(shù)都接近600，故可以將原式改寫成(600?2)(