人教A版必修第一冊高中數(shù)學2.1等式性質與不等式性質【教學課件】

普通高中教科書數(shù)學必修第一冊2.1相等關系與不等關系（第一課時）第二章

一元二次函數(shù)、方程和不等式引入新知問題1：生活中，我們經(jīng)常在路上或橋上看到下列標志，你知道它們的含義嗎？你能用一個數(shù)學式子表示下列關系嗎？

在數(shù)學中，我們用不等式來表示不等關系.文字語言數(shù)學符號文字語言大于＞大于，高于，超過小于＜

小于，低于，少于大于或等于≥至少，不少于，不低于小于或等于≤至多,不多于,不超過引入新知

問題1

學習新知問題2

你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎?某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本．據(jù)市場調查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本．如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元?學習新知

如何解上述不等式呢？與解方程要用等式的性質一樣，解不等式要用不等式的性質．為此，我們需要先研究不等式的性質．

在初中我們已經(jīng)通過具體實例歸納出了一些不等式的性質．那么，這些性質為什么是正確的？還有其他不等式的性質嗎？

回答這些問題要用到關于兩個實數(shù)大小關系的基本事實．

關于實數(shù)a,b大小的比較，有以下基本事實：

如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于0，那么a=b；如果a－b是負數(shù)，那么a<b．反之也成立．學習新知

這個基本事實可以表示為：從上述基本事實可知：要比較兩個實數(shù)的大小,可以轉化為比較它們的差與0的大?。?是正數(shù)與負數(shù)的分界點，它為實數(shù)比較大小提供了“標桿”學習新知等式性質與不等式性質等式性質不等式性質總結新知圖2.1-3是在北京召開的第24屆國際數(shù)學大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客．你能在這個圖中找出一些相等關系和不等關系嗎？認識新知中國古代的數(shù)學家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理，最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結合得到方法，給出了勾股定理的證明。大正方形的構成：4個全等的直角三角形1個小正方形等面積法相等關系不等關系第24屆國際數(shù)學家大會會標是根據(jù)趙爽弦圖設計的.1.趙爽弦圖的不等關系認識新知1.趙爽弦圖的不等關系（面積關系）

大正方形面積>4個直角三角形的面積和a,b>0

大正方形面積=4個等腰直角三角形的面積和Q：對于任意的實數(shù)a,b，a2+b2≥2ab成立嗎？試證明。認識新知242.重要不等式認識新知探究新知探究新知這里，我們借助多項式減法運算，得出了一個明顯大于0的數(shù)（式）．這是解決不等式問題的常用方法．應用新知作差法比較大小的基本步驟：（1）作差：對要比較大小的兩個數(shù)(或式子)作差；（2）變形：對差進行變形(因式分解、通分、配方等)；（3）判斷符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號；（4）作出結論．

這種比較大小的方法通常稱為作差比較法．

其思維過程：作差

→

變形

→

判斷符號

→

作出結論，其中變形是判斷符號的前提．應用新知注意點：(1)利用作差法比較大小，只需判斷差的符號，通常將差化為完全平方的形式或多個因式的積的形式．(2)對于兩個正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大?。?3)對于某些問題也可以采用取中間值的方法比較大?。畱眯轮S堂小練反思感悟在不等式的證明過程中，常將不等式中的字母作適當?shù)拇鷵Q，轉換為重要不等式的形式，呈現(xiàn)其內(nèi)在結構的本質．隨堂小練不等式與不等式關系1．不等式與不等關系：2．比較兩個實數(shù)大小關系的依據(jù)：3．作差比較法：用不等式表示不等關系，注意文字語言與符號語言之間的轉化．作差

→

變形

→

判斷符號

→

作出結論總結新知4．重要不等式：普通高中教科書數(shù)學必修第一冊2.1相等關系與不等關系（第二課時）第二章

一元二次函數(shù)、方程和不等式開拓·奉獻

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團結·進取·勤奮·求實回顧1.比較大?。鹤鞑罘?與0比較)作差→變形(化為因式的積或平方和)→與0比較①畫圖②配方2.重要不等式：可用于求最值>>導入新知請你先梳理等式的基本性質，再觀察它們的共性，你能歸納一下發(fā)現(xiàn)等式基本性質的方法嗎？思考等式有下面的基本性質性質1

如果a=b,那么b=a;(對稱性）

性質2

如果a=b,b=c,那么a=c;(傳遞性）性質3

如果a=b,那么a±c=b±c;(加法）性質4

如果a=b,那么ac=bc;(乘法）性質5

如果a=b,c≠0,那么.(乘法）可以發(fā)現(xiàn)，性質1,2反映了相等關系自身的特性，性質3,4,5是從運算的角度提出的，反映了等式在運算中保持的不變性．（運算的不變性即為性質）探究新知探究類比等式的基本性質，你能猜想不等式的基本性質嗎，并加以證明嗎？等式不等式對稱性傳遞性探究新知等式不等式加法注：不等式兩邊同時加上（或減去）同一個實數(shù)，不等式與原不等式同向．

（不等號方向不變）注：不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊．移項法則：探究新知等式不等式乘法注：

不等式兩邊同乘一個正數(shù)，不等式方向不變；不等式兩邊同乘一個負數(shù)，不等式方向相反．探究新知利用這些基本性質，我們還可以推導出其他一些常用的不等式的性質．例如，利用性質2，3可以推出：探究新知實數(shù)大小關系的基本事實和不等式的性質是解決不等式問題的基本依據(jù)探究新知1.對稱性2.傳遞性3.可加性5.同向可加性4.可乘性6.同向可乘性(同號)7.正數(shù)乘方性8.正數(shù)開方性>探究新知例2.應用新知應用新知反思感悟(1)利用不等式的性質對不等式的證明其實質就是利用性質對不等式進行變形，變形要等價，同時要注意性質適用的前提條件．(2)用作差法證明不等式和用作差法比較大小的方法原理一樣，變形后判斷符號時要注意充分利用題目中的條件．應用新知【跟蹤練習】對于實數(shù)a，b，c有下列結論：

①若a>b，則ac<bc；②若ac2>bc2，則a>b；③若a<b<0，則a2>ab>b2；

④若c>a>b>0，則