2025年中考數(shù)學專題復習-專題22 圓的相關(guān)性質(zhì)【含解析】

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學專題22圓的相關(guān)性質(zhì)【原卷版】一、單選題1．（2024·湖南·中考真題）如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，是的直徑，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（

）

A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線4．（2024·四川涼山·中考真題）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點，連接，作的垂直平分線交于點，交于點，測出，則圓形工件的半徑為（

）A． B． C． D．5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點E，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．6．（2024·湖北·中考真題）為半圓的直徑，點為半圓上一點，且．①以點為圓心，適當長為半徑作弧，交于；②分別以為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點；③作射線，則（

）A． B． C． D．7．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．8．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，為延長線上一點，，則等于（

）A． B． C． D．9．（2024·云南·中考真題）如圖，是的直徑，點、在上．若，，則（

）A． B． C． D．10．（2024·黑龍江綏化·中考真題）下列敘述正確的是（

）A．順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形B．平分弦的直徑垂直于弦C．物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等11．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，弦的長為，點在上，，．所在的平面內(nèi)有一點，若，則點與的位置關(guān)系是（

）A．點在上 B．點在內(nèi) C．點在外 D．無法確定12．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．13．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，則的半徑是（

）A． B． C． D．二、填空題14．（2024·四川南充·中考真題）如圖，是的直徑，位于兩側(cè)的點C，D均在上，，則度．15．（2024·北京·中考真題）如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則

16．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，內(nèi)接于，是直徑，若，則=．18．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，內(nèi)接于，點在上，平分交于，連接．若，，則的長為．19．（2024·陜西·中考真題）如圖，是的弦，連接，，是所對的圓周角，則與的和的度數(shù)是．

20．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在中，直徑于點E，，則弦的長為．21．（2024·江西·中考真題）如圖，是的直徑，，點C在線段上運動，過點C的弦，將沿翻折交直線于點F，當?shù)拈L為正整數(shù)時，線段的長為．22．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，，，線段繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點B作的垂線，交射線于點E．若，則的最大值為，最小值為.三、解答題23．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，為⊙O的弦，C為的中點，過點C作，交的延長線于點D．連接．

(1)求證：是⊙O的切線；(2)若，求的面積．24．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，是的直徑，是的兩條弦，點與點在的兩側(cè)，是上一點（），連接，且．(1)如圖1，若，，求的半徑；(2)如圖2，若，求證：．（請用兩種證法解答）25．（2024·安徽·中考真題）如圖，是的外接圓，D是直徑上一點，的平分線交于點E，交于另一點F，．(1)求證：；(2)設，垂足為M，若，求的長．26．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，是的直徑，點在上，點在的延長線上，，平分交于點，連結(jié)．(1)求證：是的切線；(2)當時，求的長．27．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知及邊上一點．(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點，使得；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，以點為圓心，以為半徑的圓交射線于點，用無刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點，使點到點的距離與點到射線的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)在（1）、（2）的條件下，若，，求的長．28．（2024·河南·中考真題）如圖1，塑像在底座上，點D是人眼所在的位置．當點B高于人的水平視線時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大．數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn)：當經(jīng)過A，B兩點的圓與水平視線相切時（如圖2），在切點P處感覺看到的塑像最大，此時為最大視角．(1)請僅就圖2的情形證明．(2)經(jīng)測量，最大視角為，在點P處看塑像頂部點A的仰角為，點P到塑像的水平距離為．求塑像的高（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）．29．（2024·江西·中考真題）如圖，是半圓O的直徑，點D是弦延長線上一點，連接，．(1)求證：是半圓O的切線；(2)當時，求的長．30．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在中，，為的外接圓，為的切線，為的直徑，連接并延長交于點E．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．31．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，經(jīng)過A、C兩點，交于點D，的延長線交于點F，交于點E．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的半徑．32．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，以為直徑的交于點，垂足為．的兩條弦相交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求扇形的面積．33．（2024·江蘇揚州·中考真題）在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，猜想結(jié)論，然后再研究一般情況，證明結(jié)論．如圖，已知，，是的外接圓，點在上（），連接、、．【特殊化感知】（1）如圖1，若，點在延長線上，則與的數(shù)量關(guān)系為________；【一般化探究】（2）如圖2，若，點、在同側(cè)，判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【拓展性延伸】（3）若，直接寫出、、滿足的數(shù)量關(guān)系．（用含的式子表示）34．（2024·浙江·中考真題）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，延長至點E，使，延長至點F，連結(jié)，使．(1)若，為直徑，求的度數(shù)．(2)求證：①；②．專題22圓的相關(guān)性質(zhì)【解析版】一、單選題1．（2024·湖南·中考真題）如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可知，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，圓周角和圓心角同對著，，，．故選：C．2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，是的直徑，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理推出．由圓周角定理得到，由鄰補角的性質(zhì)求出．【詳解】解：，，．故選：D．3．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（

）

A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線【答案】C【分析】本題考查動點的移動軌跡，根據(jù)題意，易得重物移動的路徑為一段圓弧．【詳解】解：在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點的運動軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，故選：C．4．（2024·四川涼山·中考真題）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點，連接，作的垂直平分線交于點，交于點，測出，則圓形工件的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識．由垂徑定理，可得出的長；設圓心為O，連接，在中，可用半徑表示出的長，進而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直徑長．【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴直線經(jīng)過圓心，設圓心為，連接．

中，，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：；故輪子的半徑為，故選：C．5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點E，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)．先根據(jù)垂徑定理，求得，利用圓周角定理求得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵半徑，∴，∴，，∵，∴，∴，故選：B．6．（2024·湖北·中考真題）為半圓的直徑，點為半圓上一點，且．①以點為圓心，適當長為半徑作弧，交于；②分別以為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點；③作射線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查圓周角定理以及角平分線定義，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可求出，根據(jù)作圖可得，故可得答案【詳解】解：∵為半圓的直徑，∴，∵，∴，由作圖知，是的角平分線，∴，故選：C7．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等．根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到，同弧或等弧所對的圓周角相等得到，進一步計算即可解答．【詳解】解：是的直徑，，，，，故選：A．8．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，為延長線上一點，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍可求得的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，可推出，即可得到答案．【詳解】解：是圓周角，與圓心角對相同的弧，且，，又四邊形是的內(nèi)接四邊形，，又，，故選：A．9．（2024·云南·中考真題）如圖，是的直徑，點、在上．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了弧弦圓心角的關(guān)系，圓周角定理，連接，由可得，進而由圓周角定理即可求解，掌握圓的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，∵，∴，∴，故選：．10．（2024·黑龍江綏化·中考真題）下列敘述正確的是（

）A．順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形B．平分弦的直徑垂直于弦C．物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等【答案】C【分析】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，中心投影，弧、弦與圓心角的關(guān)系，根據(jù)相關(guān)定理逐項分析判斷，即可求解．【詳解】A.順次連接平行四邊形各邊中點不一定能得到一個矩形，故該選項不正確，不符合題意；B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項不正確，不符合題意；C.物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影，故該選項正確，符合題意；D.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．11．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，弦的長為，點在上，，．所在的平面內(nèi)有一點，若，則點與的位置關(guān)系是（

）A．點在上 B．點在內(nèi) C．點在外 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由垂徑定理可得，由圓周角定理可得，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出的半徑，即可得到答案．【詳解】解：如圖，令與的交點為，為半徑，為弦，且，，，在中，，，，，，即的半徑為4，，點在外，故選：C．12．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，連接，由是的直徑得到，根據(jù)圓周角定理得到，得到，再由圓內(nèi)接四邊形對角互補得到答案.【詳解】解：如圖，連接，

∵是的直徑，∴，∵，∴∴∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故選：B13．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，則的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長至點E，使，連接，連接并延長交于點F，連接，即可證得，進而可求得，再利用圓周角定理得到，結(jié)合三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：延長至點E，使，連接，連接并延長交于點F，連接，∵四邊形內(nèi)接于，∴∴∵∴，∴是的直徑，∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴∴，,∵∴又∵∴∴是等腰直角三角形∴∵∴∵∴∴故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題14．（2024·四川南充·中考真題）如圖，是的直徑，位于兩側(cè)的點C，D均在上，，則度．【答案】75【分析】本題考查圓周角定理，補角求出，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行求解即可．【詳解】解：∵是的直徑，位于兩側(cè)的點C，D均在上，，∴，∴；故答案為：75．15．（2024·北京·中考真題）如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則

【答案】55【分析】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先由垂徑定理得到，由得到，故．【詳解】解：∵直徑平分弦，∴，∵，∴，∴，故答案為：．16．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則．【答案】/62度【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接，利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．17．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，內(nèi)接于，是直徑，若，則．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出，進而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵內(nèi)接于，是直徑，∴，∵,，∴∴，故答案為：．18．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，內(nèi)接于，點在上，平分交于，連接．若，，則的長為．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，延長，交于，由圓周角定理可得，，進而可證明，得到，即得，利用勾股定理得，再證明，得到，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：延長，交于，是的直徑，，，平分，，又∵，∴，，，，，，，又∵，∴，，，，，，故答案為：．19．（2024·陜西·中考真題）如圖，是的弦，連接，，是所對的圓周角，則與的和的度數(shù)是．

【答案】/90度【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可證明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，由此即得答案．【詳解】是所對的圓周角，是所對的圓心角，，，，，，，，．故答案為：．20．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在中，直徑于點E，，則弦的長為．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得，設的半徑為，則，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，，設的半徑為，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：．21．（2024·江西·中考真題）如圖，是的直徑，，點C在線段上運動，過點C的弦，將沿翻折交直線于點F，當?shù)拈L為正整數(shù)時，線段的長為．【答案】或或2【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)，可得或2，利用勾股定理進行解答即可，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：為直徑，為弦，，當?shù)拈L為正整數(shù)時，或2，當時，即為直徑，將沿翻折交直線于點F，此時與點重合，故；當時，且在點在線段之間，如圖，連接，此時，，，，，；當時，且點在線段之間，連接，同理可得，，綜上，可得線段的長為或或2，故答案為：或或2．22．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，，，線段繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點B作的垂線，交射線于點E．若，則的最大值為，最小值為.【答案】//【分析】根據(jù)題意得出點D在以點C為圓心，1為半徑的圓上，點E在以為直徑的圓上，根據(jù)，得出當最大時，最大，最小時，最小，根據(jù)當與相切于點D，且點D在內(nèi)部時，最小，最大，當與相切于點D，且點D在外部時，最大，最小，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，，∴，∵線段繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，，∴點D在以點C為圓心，1為半徑的圓上，∵，∴，∴點E在以為直徑的圓上，在中，，∵為定值，∴當最大時，最大，最小時，最小，∴當與相切于點D，且點D在內(nèi)部時，最小，最大，連接，，如圖所示：則，∴，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，即的最大值為；當與相切于點D，且點D在外部時，最大，最小，連接，，如圖所示：則，∴，∴，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值為；故答案為：；．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，找出取最大值和最小值時，點D的位置．三、解答題23．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，為⊙O的弦，C為的中點，過點C作，交的延長線于點D．連接．

(1)求證：是⊙O的切線；(2)若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識點，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）由垂徑定理的推論可知，據(jù)此即可求證；（2）利用勾股定理求出即可求解；【詳解】（1）證明：∵為⊙O的弦，C為的中點，由垂徑定理的推論可知：，∵，∴，∵為⊙O的半徑，∴是⊙O的切線；（2）解：∵，∴，∴，∴．24．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，是的直徑，是的兩條弦，點與點在的兩側(cè)，是上一點（），連接，且．(1)如圖1，若，，求的半徑；(2)如圖2，若，求證：．（請用兩種證法解答）【答案】(1)3(2)見解析【分析】（1）利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出，結(jié)合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可；（2）法一：過O作于F，利用垂徑定理等可得出，然后利用定理證明，得出，然后利用平行線的判定即可得證；法二：連接，證明，得出，然后利用平行線的判定即可得證【詳解】（1）解∶∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴，解得，即的半徑為3；（2）證明：法一：過O作于F，∴，∵∴，又，，∴，∴，∴；法二：連接，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，靈活運用所學知識解題是解題的關(guān)鍵．25．（2024·安徽·中考真題）如圖，是的外接圓，D是直徑上一點，的平分線交于點E，交于另一點F，．(1)求證：；(2)設，垂足為M，若，求的長．【答案】(1)見詳解(2)．【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識，掌握這些性質(zhì)以及定理是解題的關(guān)鍵．（1）由等邊對等角得出，由同弧所對的圓周角相等得出，由對頂角相等得出，等量代換得出，由角平分線的定義可得出，由直徑所對的圓周角等于可得出，即可得出，即．（2）由（1）知，，根據(jù)等邊對等角得出，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，的值，進一步求出，，再利用勾股定理即可求出．【詳解】（1）證明：∵，∴，又與都是所對的圓周角，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵是直徑，∴，∴，故，即．（2）由（1）知，，∴，又，，∴，，∴圓的半徑，∴，在中．，∴即的長為．26．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，是的直徑，點在上，點在的延長線上，，平分交于點，連結(jié)．(1)求證：是的切線；(2)當時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到，求得，連接，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，是的直徑，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，，，，連接，平分，，，，是的直徑，，．27．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知及邊上一點．(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點，使得；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，以點為圓心，以為半徑的圓交射線于點，用無刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點，使點到點的距離與點到射線的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)在（1）、（2）的條件下，若，，求的長．【答案】(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解(3)【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角等于已知角的方法即可求解；（2）根據(jù)尺規(guī)作圓，作垂線的方法即可求解；（3）根據(jù)作圖可得是直徑，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可得的值，根據(jù)勾股定理可求出的值，在直角中運用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，∴；點O即為所求（2）解：如圖所示，連接，以點為圓心，以為半徑畫弧交于點，以點為圓心，以任意長為半徑畫弧交于點，分別以點為圓心，以大于為半徑畫弧，交于點，連接并延長交于點，∵是直徑，∴，即，根據(jù)作圖可得，∴，即，是點到的距離，∵，∴，∴，點即為所求點的位置；（3）解：如圖所示，根據(jù)作圖可得，，連接，∴在中，，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，設，則，∴在中，，解得，（負值舍去），∴，在中，．【點睛】本題主要考查尺規(guī)作角等于已知角，尺規(guī)作垂線，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義等知識的綜合，掌握以上知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．28．（2024·河南·中考真題）如圖1，塑像在底座上，點D是人眼所在的位置．當點B高于人的水平視線時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大．數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn)：當經(jīng)過A，B兩點的圓與水平視線相切時（如圖2），在切點P處感覺看到的塑像最大，此時為最大視角．(1)請僅就圖2的情形證明．(2)經(jīng)測量，最大視角為，在點P處看塑像頂部點A的仰角為，點P到塑像的水平距離為．求塑像的高（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）．【答案】(1)見解析(2)塑像的高約為【分析】本題考查了圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形的應用等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，然后等量代換即可得證；（2）在中，利用正切的定義求出，在中，利用正切的定義求出，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接．則．∵，∴．（2）解：在中，，．∵，∴．∵，∴．在中，，∴．∴．答：塑像的高約為．29．（2024·江西·中考真題）如圖，是半圓O的直徑，點D是弦延長線上一點，連接，．(1)求證：是半圓O的切線；(2)當時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式，熟知相關(guān)性質(zhì)和計算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角結(jié)合已知條件，可得，即可得，進而可證得結(jié)論；（2）連接，證明為等邊三角形，求得，利用弧長公式即可解答．【詳解】（1）證明：是半圓O的直徑，，，，，是半圓O的切線；（2）解：如圖，連接，，為等邊三角形，，，，．30．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在中，，為的外接圓，為的切線，為的直徑，連接并延長交于點E．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，中垂線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)：（1）連接并延長，交于點，連接，易證垂直平分，圓周角定理，切線的性質(zhì)，推出四邊形為矩形，即可得證；（2）由（1）可知，勾股定理求出的長，設的半徑為，在中，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】（1）證明：連接并延長，交于點，連接，∵，，∴垂直平分，∴，，∵為的切線，∴，∵為的直徑，∴，∴四邊形為矩形，∴；（2）由（1）知四邊形為矩形，，，∴，∴，設的半徑為，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：；即：的半徑為．31．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，經(jīng)過A、C兩點，交于點D，的延長線交于點F，交于點E．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)，可得，問題得證；（2）過點C作于點H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)有，結(jié)合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根據(jù)，設半徑為r，即有，問題得解．【詳解】（1）證明：連接．∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴為的切線．（2）過點C作于點H，∵為等腰直角三角形，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．在中，∵，設半徑為r，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正切，勾股定理等知識以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，問題難度不大，正確作出合理的輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．32．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，以為直徑的交于點，垂足為．的兩條弦相交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求扇形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，利用等邊對等角，圓周角定理等可得出，由垂直的定義得出，等量代換得出，即，然后根據(jù)切線的判定即可得證；（2）先利用含的直角三角形的性質(zhì)求出，同時求出，進而求出，利用等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)等可求出，，證明是等邊三角形，得出，，進而求出，在中，利用余弦定義可求出，最后利用扇形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，又，，∴，∵，∴，∴，即，又是的半徑；∴是的切線；（2）解：∵，，，∴，，又，∴，∵