2025屆天津市北辰區(qū)數(shù)學高二上期末預測試題含解析

2025屆天津市北辰區(qū)數(shù)學高二上期末預測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班新學期開學統(tǒng)計新冠疫苗接種情況，已知該班有學生45人，其中未完成疫苗接種的有5人，則該班同學的疫苗接種完成率為（）A. B.C. D.2．已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是，則點到另一個焦點的距離為（）A.2 B.3C.4 D.53．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．關(guān)于x的方程在內(nèi)有解，則實數(shù)m的取值范圍（）A. B.C. D.5．以，為焦點，且經(jīng)過點的橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.6．雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在雙曲線右支上，，，則C的離心率為（）A. B.2C. D.7．已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則點的坐標為（）A. B.C. D.8．漸近線方程為的雙曲線的離心率是（）A.1 B.C. D.29．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.10．已知、為非零實數(shù)，若且，則下列不等式成立的是()A. B.C. D.11．命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，12．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一動點，若，則動點的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個．（用數(shù)字作答）14．一條光線從點射出，經(jīng)x軸反射，其反射光線所在直線與圓相切，則反射光線所在的直線方程為____.15．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是____________.16．（建三江）函數(shù)在處取得極小值，則=___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的上一點處的切線方程為，橢圓C上的點與其右焦點F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）若點P為直線上任一點，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點為A，B，求證：18．（12分）王同學入讀某大學金融專業(yè)，過完年剛好得到紅包6000元，她計劃以此作為啟動資金進行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費，余款作為資金全部投入下個月，如此繼續(xù).設第n個月月底的投資市值為an.（1）求證：數(shù)列{-5000}為等比數(shù)列；（2）如果王同學想在第二年過年的時候給奶奶買一臺全身按摩椅（商場標價為12899元），將一年后投資市值全部取出來是否足夠？19．（12分）已知圓內(nèi)有一點，過點P作直線l交圓C于A，B兩點.（1）當P為弦的中點時，求直線l的方程；（2）若直線l與直線平行，求弦的長.20．（12分）已知正項等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列（1）求的通項公式；（2）設的前n項和為，且，求的前n項和21．（12分）如圖所示等腰梯形ABCD中，，，，點E為CD的中點，沿AE將折起，使得點D到達F位置.（1）當時，求證：平面AFC；（2）當時，求二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐標系中，設橢圓（）的離心率是e，定義直線為橢圓的“類準線”，已知橢圓C的“類準線”方程為，長軸長為8.（1）求橢圓C的標準方程；（2）O為坐標原點，A為橢圓C的右頂點，直線l交橢圓C于E，F(xiàn)兩不同點（點E，F(xiàn)與點A不重合），且滿足，若點P滿足，求直線的斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用古典概型的概率求解.【詳解】該班同學的疫苗接種完成率為故選：D2、C【解析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】設橢圓的兩個焦點分別為，故可得，又到橢圓一個焦點的距離是，故點到另一個焦點的距離為.故選：.3、A【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，從而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即恒成立，因為，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：A4、A【解析】當時，顯然不成立，當時，分離變量，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】當時，可得顯然不成立；當時，由于方程可轉(zhuǎn)化為，令，可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取唯一的極大值，也是最大值，所以，所以，即，所以實數(shù)m的取值范圍.故選：A.5、B【解析】根據(jù)焦點在x軸上，c=1，且過點，用排除法可得.也可待定系數(shù)法求解，或根據(jù)橢圓定義求2a可得.【詳解】因為焦點在x軸上，所以C不正確；又因為c=1，故排除D；將代入得，故A錯誤，所以選B.故選：B6、C【解析】由，所以為直角三角形，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理可得答案.【詳解】由，所以為直角三角形.,根據(jù)雙曲線的定義可得所以，即，即，所以故選：C7、D【解析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因為點是點在坐標平面內(nèi)的射影，所以的豎坐標為0，橫、縱坐標與A點的橫、縱坐標相同，所以點的坐標為.故選：D8、B【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程可確定a,b的關(guān)系，進而求得離心率.【詳解】因為雙曲線近線方程為，故雙曲線為等軸雙曲線，則a=b,故離心率為，則，故選：B.9、C【解析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為，又因為，，所以.故選：C10、D【解析】作差法即可逐項判斷.【詳解】或，對于A：，∵，無法判斷正負，故A錯誤；對于B：，∵無法判斷正負，故B錯誤；對于C：，∵，，∴，，故C錯誤；對于D：，∴，故D正確.故選：D.11、D【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：D.12、A【解析】根據(jù)題意，得到兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，設，由題意，得到，，再由得到，求出點的軌跡，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為底面是邊長為的正方形，則，，因為為底面內(nèi)的一動點，所以可設，因此，，因為平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動點的軌跡在圓上.故選：A.【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、504【解析】分兩種情況求解，一是四個數(shù)字中沒有奇數(shù)，二是四個數(shù)字中有一個奇數(shù)，然后根據(jù)分類加法原理可求得結(jié)果【詳解】當四個數(shù)字中沒有奇數(shù)時，則這樣的四位數(shù)有種，當四個數(shù)字中有一個奇數(shù)時，則從5個奇數(shù)中選一個奇數(shù)，再從4個偶數(shù)中選3個數(shù)，然后對這4個數(shù)排列即可，所以有種，所以由分類加法原理可得共有種，故答案為：50414、或【解析】點關(guān)于軸的對稱點為,即反射光線過點,分別討論反射光線的斜率存在與不存在的情況,進而求解即可【詳解】點關(guān)于軸的對稱點為,（1）設反射光線的斜率為,則反射光線的方程為,即,因為反射光線與圓相切,所以圓心到反射光線的距離,即,解得,所以反射光線方程為:；（2）當不存在時,反射光線,此時,也與圓相切,故答案為:或【點睛】本題考查直線在光學中的應用,考查圓的切線方程15、【解析】首先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最大值，可判斷極大值點就是最大值點，列式求解.【詳解】由題可知：所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)的極大值為.所以在開區(qū)間內(nèi)的最大值一定是又，所以得實數(shù)的取值范圍是故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：由函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)若存在最大值，即極大值點在區(qū)間內(nèi)，同時還得滿足極大值點是最大值，還需列不等式，不要忽略這個不等式.16、【解析】由，令，解得或，且時，；時，；時，，所以當時，函數(shù)取得極小值考點：導數(shù)在函數(shù)中的應用；極值的條件三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設為橢圓上的點，為橢圓的右焦點，求出然后求解最小值，推出，，，得到雙曲線方程（2）設，，，，，即可得到，依題意可得以、為切點的切線方程，從而得到直線的方程，再分與兩種情況討論，即可得證；【小問1詳解】解：設為橢圓上的點，為橢圓的右焦點，因為，所以，又，所以當且僅當時，，因為，所以，，因為，所以，故橢圓的標準方程為【小問2詳解】解：由（1）知，設，，，，，所以，由題知，以為切點的橢圓切線方程為，以為切點的橢圓切線方程為，又點在直線、上，所以、，所以直線的方程為，當時，直線的斜率不存在，直線斜率為，所以，當時，，所以，所以，綜上可得；18、（1）證明見解析（2）足夠【解析】（1）由題意可得出遞推關(guān)系，變形后利用等比數(shù)列的定義求證即可；（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項公式求出，再求出，再計算即可得出結(jié)論.【小問1詳解】依題意，第1個月底股票市值則又∴數(shù)列是首項為1200，公比為1.2的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知∴∵，所以王同學將一年理財投資所得全部取出來是足夠的.19、（1）（2）【解析】（1）由題意，，求出直線l的斜率，利用點斜式即可求解；（2）由題意，利用點斜式求出直線l的方程，然后由點到直線的距離公式求出弦心距，最后根據(jù)弦長公式即可求解.小問1詳解】解：由題意，圓心，P為弦的中點時，由圓的性質(zhì)有，又，所以，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】解：因為直線l與直線平行，所以，所以直線的方程為，即，因為圓心到直線的距離，又半徑，所以由弦長公式得.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合條件即求；（2）利用條件可得，然后利用錯位相減法即求.【小問1詳解】設等差數(shù)列公差為d，由得，即，化簡得，又，，成等比數(shù)列，則，即，將代入上式得，化簡得，解得或－2（舍去），則，所以【小問2詳解】∵，當時，，當時，，符合上式，則，所以，令，則，，∴，化簡得綜上，的前n項和21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）結(jié)合線面垂直的判定定理來證得結(jié)論成立.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得二面角的大小.【小問1詳解】設，由于四邊形是等腰梯形，是的中點，，所以，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，是的中點，所以，由于，所以平面.【小問2詳解】由于，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，設是的中點，設，則，所以，所以，由于兩兩垂直.以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，,平面的法向量為，設平面法向量為，則，故可設，由圖可知，二面角為鈍角，設二面角為，，則.22、（1）；（2）.【解析】（1）由題意列關(guān)于，，的方程，聯(lián)立方程組求得，，，則橢圓方程可求；（2）分直線軸與直線l不垂直于x軸兩種情況討論，當直線l不垂直于x軸時，設，，直線l：（，），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元由，得到，再列出韋達定理，由則，解得，再由，求出的坐