北京市西城區(qū)徐悲鴻中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

北京市西城區(qū)徐悲鴻中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，.若為直角三角形，則的面積為（）A. B.C.或 D.或2．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.53．為了了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.504．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=A. B.C. D.5．散點(diǎn)圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.26．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點(diǎn)，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．已知，是空間中的任意兩個(gè)非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.8．已知點(diǎn)，若直線與線段沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．將一枚骰子連續(xù)拋兩次，得到正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為、，記事件A為“為偶數(shù)”，事件B為“”，則的值為（）A. B.C. D.10．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，的值分別為A.， B.，C.， D.，11．直線的傾斜角為（）A.0 B.C. D.12．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則此三角形的最大邊長為___________.14．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為其中位移的單位是米，時(shí)間的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時(shí)速度是__________米/秒15．雙曲線的漸近線方程是____________16．在下列所示電路圖中，下列說法正確的是____(填序號(hào))（1）如圖①所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在y軸上，且過點(diǎn)，（1）求圓C的方程；（2）已知圓C上存在點(diǎn)M，使得三角形MAB的面積為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)18．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）19．（12分）已知點(diǎn)在橢圓：上，橢圓E的離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若不平行于坐標(biāo)軸且不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，判斷是否可能為等邊三角形，并說明理由.20．（12分）已知拋物線，過點(diǎn)作直線（1）若直線的斜率存在，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程（2）若直線過拋物線的焦點(diǎn)，且交拋物線于兩點(diǎn)，求弦長21．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）求下列不等式的解集：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由正弦定理化角為邊后，由余弦定理求得，然后分類討論：或求解【詳解】由正弦定理，可化為：，即，所以，，所以，又為直角三角形，若，則，，，，若，則，，，故選：C2、C【解析】直線l過定點(diǎn)D(1，1)，當(dāng)時(shí)，弦長最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過定點(diǎn)，∵，故D在圓C內(nèi)部，直線l始終與圓相交，當(dāng)時(shí)，直線l被圓截得的弦長最短，，弦長＝.故選：C.3、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義可求得結(jié)果【詳解】分段的間隔為故選：A4、D【解析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則是奇函數(shù)，所以，應(yīng)選答案D5、C【解析】通過樣本中心點(diǎn)來求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C6、C【解析】以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面PEF的法向量，則，取，得，設(shè)PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.7、C【解析】利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)椋蔬x項(xiàng)C正確；對(duì)D：因?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C.8、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經(jīng)過定點(diǎn).因?yàn)椋?所以要使直線與線段沒有公共點(diǎn)，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A9、B【解析】利用條件概率的公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知，若事件為“為偶數(shù)”發(fā)生，則、兩個(gè)數(shù)均為奇數(shù)或均為偶數(shù)，其中基本事件數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共個(gè)基本事件，∴,而A、同時(shí)發(fā)生，基本事件有當(dāng)一共有9個(gè)基本事件，∴，則在事件A發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率為,故選:10、C【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義：，，，代入計(jì)算即可得到答案【詳解】由于角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則,，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以由任意角的三角函數(shù)的定義：，.故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握牢記三角函數(shù)定義并能夠熟練應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】由題的斜率，故傾斜角的正切值為，又，故.故選：D.12、B【解析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】可知B對(duì)的邊最大，再用正弦定理計(jì)算即可.【詳解】利用正弦定理可知，B對(duì)的邊最大，因?yàn)?，，所以?故答案為：14、5【解析】，15、【解析】由雙曲線的方程可知，，即可直接寫出其漸近線的方程.【詳解】由雙曲線的方程為，可知，；則雙曲線的漸近線方程為.故答案：.16、（1）（2）（3）【解析】充分不必要條件是該條件成立時(shí)，可推出結(jié)果，但結(jié)果不一定需要該條件成立；必要條件是有結(jié)果必須有這一條件，但是有這一條件還不夠；充要條件是條件和結(jié)果可以互推；條件和結(jié)果沒有互推關(guān)系的是既不充分也不必要條件【詳解】（1）開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件，選項(xiàng)（1）正確.（2）開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件，選項(xiàng)（2）正確.（3）開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件，選項(xiàng)（3）正確.（4）開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，選項(xiàng)（4）錯(cuò)誤.故答案為（1）（2）（3）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）兩點(diǎn)式求AB所在直線的斜率，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)求AB的垂直平分線，根據(jù)已知確定圓心、半徑即可得圓C的方程；（2）求AB所在直線方程，幾何關(guān)系求弦長，由三角形面積求點(diǎn)線距離，設(shè)M所在直線為，由點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)，進(jìn)而聯(lián)立直線與圓C求M的坐標(biāo)【小問1詳解】由題意知，AB所在直線的斜率為，又，中點(diǎn)為，所以線段AB的垂直平分線為，即，聯(lián)立，得，半徑，所以圓C的方程為.【小問2詳解】由題意，AB所在直線方程為，即，圓心到直線AB的距離為，故，因?yàn)槿切蜯AB的面積為，則點(diǎn)M到直線AB的距離為，設(shè)點(diǎn)M所在直線方程為，所以，所以或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得：或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，無解；所以或18、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算中的乘除法則.（2）求導(dǎo)數(shù)，主要考查復(fù)合函數(shù)，外導(dǎo)乘內(nèi)導(dǎo).【小問1詳解】【小問2詳解】.19、（1）（2）三角形不可能是等邊三角形，理由見解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)和離心率可得橢圓方程；（2）假設(shè)為等邊三角形，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得的中點(diǎn)的坐標(biāo)，，利用得出矛盾.小問1詳解】由點(diǎn)在橢圓上，得，即，又，即，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】假設(shè)為等邊三角形，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，由得，故，所以的中點(diǎn)為，所以，故，與等邊三角形中矛盾，所以假設(shè)不成立，故三角形不可能是等邊三角形.20、（1）或；（2）8【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)公共點(diǎn)，則求解.（2）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，再根據(jù)過拋物線焦點(diǎn)的弦長公式求解.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，則，解得或，∴直線的方程為：或（2）拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去得，∴，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）【解析】（1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求時(shí)的最小值，令，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，