安徽省阜陽市潁州區(qū)阜陽三中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省阜陽市潁州區(qū)阜陽三中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為，實(shí)軸長為2，則雙曲線C的方程為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A.2 B.C. D.3．已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.2C.或2 D.或4．拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P是準(zhǔn)線l上的動點(diǎn)，若點(diǎn)A在拋物線C上，且，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為（）A. B.C. D.5．已知某地區(qū)7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，從中隨機(jī)選一人，則此人恰是色盲的概率是（）A.0.01245 B.0.05786C.0.02865 D.0.037456．雙曲線實(shí)軸長為（）A.1 B.C.2 D.7．已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的極值情況為（）A.2個極大值，1個極小值 B.1個極大值，1個極小值C.1個極大值，2個極小值 D.1個極大值，無極小值8．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.9．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A. B.C. D.10．設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.11．現(xiàn)有60瓶飲料，編號從1到60，若用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6瓶進(jìn)行檢驗(yàn)，則所抽取的編號可能為（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，3012．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)E在上，滿足，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，記分別為，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點(diǎn)，，處測得閣頂端點(diǎn)的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度___________米.14．近年來，我國外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道道亮麗的風(fēng)景線．他們根據(jù)外賣平臺提供的信息到外賣店取單，某外賣小哥每天來往于r個外賣店（外賣店的編號分別為1，2，…，r，其中），約定：每天他首先從1號外賣店取單，稱為第1次取單，之后，他等可能的前往其余個外賣店中的任何一個店取單，稱為第2次取單，依此類推．假設(shè)從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的個外賣店取單．設(shè)事件表示“第k次取單恰好是從1號店取單（）”，是事件發(fā)生的概率，顯然，，則______，與的關(guān)系式為______15．設(shè)，，，則動點(diǎn)P的軌跡方程為______，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為______16．已知斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，M為y軸上一點(diǎn)且滿足|MA|=|MB|，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C：，直線l：.（1）當(dāng)a為何值時，直線l與圓C相切；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且時，求直線l的方程.18．（12分）設(shè)p：關(guān)于x的不等式有解，q：.（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．（12分）已知橢圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，且橢圓C過點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點(diǎn)A，B，且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由20．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PA⊥AD，且E、F分別是AC、PB的中點(diǎn)（1）證明：EF∥平面PCD；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，是否存在正整數(shù)，使得對任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，說明理由.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）交于兩點(diǎn).（1）將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）求長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)條件，求出，的值，結(jié)合雙曲線的方程進(jìn)行求解即可【詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為由已知得：，，再由，，雙曲線的方程為：故選：D2、B【解析】，得出到漸近線的距離為，由此可得的關(guān)系，從而求得離心率【詳解】因?yàn)椋?，所以是等邊三角形，到直線的距離為，又，漸近線方程取，即，所以，化簡得故選：B3、C【解析】根據(jù)成等比數(shù)列求得，再根據(jù)離心率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)成等比數(shù)列，故可得，解得或；當(dāng)時，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時；當(dāng)時，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，此時.故選：C.4、D【解析】依題意得點(diǎn)坐標(biāo)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，則，求即為最小值【詳解】如圖所示：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)，不妨設(shè)，由題意知，直線l方程為，則，得所以，得，所以由，當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號，又所以最小值為故選：D5、D【解析】設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】用事件A，B分別表示隨機(jī)選1人為男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，則，且A，B互斥，故故選：D6、B【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求出，即可求雙曲線的實(shí)軸長.【詳解】由可得：，，即，實(shí)軸長，故選：B7、B【解析】根據(jù)圖象判斷的正負(fù)，再根據(jù)極值的定義分析判斷即可【詳解】由，得，令，由圖可知的三個根即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，所以為的極大值點(diǎn)，為的極大值，當(dāng)時，，即，所以為的極小值點(diǎn)，為的極小值，故選：B8、C【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C9、B【解析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即可求導(dǎo).【詳解】，故選：B.10、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即，故選：A11、A【解析】求得組距，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】，即組距為，A選項(xiàng)符合，其它選項(xiàng)不符合.故選：A12、B【解析】利用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合三棱錐用表示出即可.【詳解】由題設(shè)，，，，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，由邊角關(guān)系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，結(jié)合可解得的值，進(jìn)而可得長.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，，所以，，?在中，，即①.，在中，，即②，因?yàn)椋寓佗趦墒较嗉涌傻茫?，解得：，則，故答案為：.14、①.②.【解析】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，事件表示“第3次取單恰好是從1號店取單”，因此；同理故答案為：；.15、①.②.l【解析】根據(jù)雙曲線的定義得到動點(diǎn)的軌跡方程，從而求出到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值；【詳解】解：因?yàn)椋詣狱c(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的下支．因?yàn)?，，所以，，，所以動點(diǎn)P的軌跡方程為故P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為故答案為：；；16、【解析】設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，設(shè)，，，解得..由于，所以是垂直平分線與軸的交點(diǎn)，垂直平分線方程為，令得，由于，所以.也即的縱坐標(biāo)的取值范圍是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離d等于圓的半徑r即可求得答案；（2）由并結(jié)合（1）即可求得答案.【小問1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑,若直線與圓相切，則圓心到直線：距離，即，可得：.【小問2詳解】由（1）知圓心到直線的距離，因?yàn)?，即，解得：，所以，整理可得：，解得：或，則直線的方程為或.18、（1）（2）【解析】根據(jù)題意，解出p和q里面m的范圍即可求解﹒其中有解，則≥0﹒【小問1詳解】p為真命題時，，解得，所以m的取值范圍是；【小問2詳解】q為真命題時，即，解得，所以q為假命題時，或，由(1)知，p為假時，因?yàn)闉榧倜}，為真命題，所以p，q為一真一假，當(dāng)p真q假時，且“或”，解得；當(dāng)p假q真時，，解得；綜上：m的取值范圍是19、（1）；（2）存在，.【解析】(1)與焦點(diǎn)相同可求出c，將代入方程結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求a和b；(2)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立AB方程與橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系；由得，結(jié)合韋達(dá)定理得k與m的關(guān)系；再由圓與直線相切，即可求其半徑；最后再驗(yàn)證AB斜率不存在時的情況即可.【小問1詳解】，由題可知，解得點(diǎn)，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，設(shè)，代入，整理得，由得，即，由韋達(dá)定理化簡得，即，設(shè)存在圓與直線相切，則，解得，所以圓的方程為，又若軸時，檢驗(yàn)知滿足條件，故存在圓心在原點(diǎn)的圓符合題意20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)連結(jié)，證明EF∥PD即可；(2)證明BD⊥平面PAC即可【小問1詳解】連結(jié)，則是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，又平面，面，平面【小問2詳解】∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB、AD平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，∵BD平面ABCD，∴PA⊥BD，是菱形，，又，平面，又平面，∴平面平面﹒21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知條件有，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）求出及，進(jìn)而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的最小值，從而可得答案.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為2公比為2