北京八中怡海分校2025屆數(shù)學(xué)高一上期末綜合測(cè)試試題含解析

北京八中怡海分校2025屆數(shù)學(xué)高一上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．一梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且該梯形的面積為，則原梯形的面積為()A.2 B.C.2 D.42．下列命題中正確的是（）A.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合B.模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量C.若和都是單位向量，則=D.兩個(gè)相等向量的模相等3．1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為6，則這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積是（）A.3 B.6C.18 D.364．若方程的兩實(shí)根中一個(gè)小于，另一個(gè)大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．函數(shù)的大致圖像為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，則（）A.5 B.2C.0 D.17．若log2a<0，，則()A.a>1，b>0 B.a>1，b<0C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<08．下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上單調(diào)性也相同的是A. B.C. D.9．已知扇形OAB的周長(zhǎng)為12，圓心角大小為，則該扇形的面積是（）cm.A.2 B.3C.6 D.910．函數(shù)f(x)=-|sin2x|在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.2 B.4C.5 D.6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，已知是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，則_________12．設(shè)函數(shù)，且；（1）若，求的最小值；（2）若在上能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍13．下列四個(gè)命題：①函數(shù)與的圖象相同；②函數(shù)的最小正周期是；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)其中正確的命題是__________（填寫所有正確命題的序號(hào)）14．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則___________.15．在正三角形中，是上的點(diǎn)，，則________16．已知，寫出一個(gè)滿足條件的的值：______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量=（3，4），=（-1，2）（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若向量-與+2平行，求λ的值18．已知二次函數(shù)滿足.（1）求b，c的值；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，（?。┲苯訉懗龅膯握{(diào)遞減區(qū)間為；（ⅱ）若，求a的取值范圍.19．已知集合，集合.（1）若，求和（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù)，，（1）求函數(shù)的值域；（2）若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若對(duì)任意的，都存在四個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，，，使得，其中，2，3，4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍21．在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答①的最小正周期為，且是偶函數(shù)：②圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，且；③直線與直線是圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸，且問題：已知函數(shù)，若（1）求，的值；（請(qǐng)先在答題卡上寫出所選序號(hào)再做答）（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將得到的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值和最大值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】由斜二測(cè)畫法原理，把該梯形的直觀圖還原為原來的梯形，結(jié)合圖形即可求得面積【詳解】由斜二測(cè)畫法原理，把該梯形的直觀圖還原為原來的梯形，如圖所示；設(shè)該梯形的上底為a，下底為b，高為h，則直觀圖中等腰梯形的高為h′＝hsin45°；∵等腰梯形的體積為（a+b）h′＝（a+b）?hsin45°＝，∴（a+b）?h＝＝4，∴該梯形的面積為4故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形的直觀圖的還原與求解問題，解題時(shí)應(yīng)明確直觀圖與原來圖形的區(qū)別和聯(lián)系，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】考查所給的四個(gè)選項(xiàng)：向量是可以平移的，則若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定分別重合，A說法錯(cuò)誤；向量相等向量模相等，且方向相同，B說法錯(cuò)誤；若和都是單位向量,但是兩向量方向不一致，則不滿足，C說法錯(cuò)誤；兩個(gè)相等向量的模一定相等，D說法正確.本題選擇D選項(xiàng).3、C【解析】由弧長(zhǎng)的定義，可求得扇形的半徑，再由扇形的面積公式，即可求解.【詳解】由1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為6，利用弧長(zhǎng)公式，可得，即，所以扇形的面積為.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式的應(yīng)用，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，令，由已知可得，解得，故選：A.5、D【解析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性，以及的值，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)任意的，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，排除C選項(xiàng)；，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，排除B選項(xiàng)，因?yàn)?，排除A選項(xiàng).故選：D.6、C【解析】由分段函數(shù)，選擇計(jì)算．【詳解】由題意可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的求值，屬于簡(jiǎn)單題．7、D【解析】，則；，則，故選D8、A【解析】先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，再依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的奇偶性和單調(diào)性得到答案.【詳解】易知：函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增A.，函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，滿足；B.為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，排除；C.函數(shù)為奇函數(shù)，排除；D.，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.9、D【解析】設(shè)扇形的半徑和弧長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)和圓心角解方程得到，再利用扇形面積公式計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】設(shè)扇形OAB的半徑r，弧長(zhǎng)l，則周長(zhǎng)，圓心角為，解得，故扇形面積為.故選：D10、C【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù)y1=與y2=|sin2x|的圖象，根據(jù)圖象判斷兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y1=與y2=|sin2x|的圖象，結(jié)合圖象可知兩個(gè)函數(shù)的圖象在上有5個(gè)交點(diǎn)，故原函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)故選C【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)和函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，解題時(shí)可畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，通過觀察圖象可得結(jié)論，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】通過利用向量的三角形法則，以及向量共線，代入化簡(jiǎn)即可得出【詳解】解：∵（）（），∴λ，∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線定理、向量的三角形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題12、（1）3（2）或【解析】（1）由可得，再利用基本不等式中乘“1”法的應(yīng)用計(jì)算可得；（2）將已知轉(zhuǎn)化為不等式有解，再對(duì)參數(shù)分類討論，分別計(jì)算可得.【小問1詳解】函數(shù)，由，可得，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，，，解得時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是3.【小問2詳解】由題知，在上能成立，即能成立，即不等式有解①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，必存在解，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，需，解得或綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或13、①②④【解析】首先需要對(duì)命題逐個(gè)分析，利用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，，所以兩個(gè)函數(shù)的圖象相同，所以①對(duì)；對(duì)于②，，所以最小正周期是，所以②對(duì)；對(duì)于③，因?yàn)椋?，，，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，所以③錯(cuò)，對(duì)于④，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以④對(duì)，故答案為①②④【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，余弦函數(shù)的周期，正弦型函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡(jiǎn)單題目.14、##【解析】根據(jù)題意得到，求出的值，進(jìn)而代入數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，即，所以，即，所以，因此，故答案為：.15、【解析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)以及向量的數(shù)量積的定義式，結(jié)合向量的特點(diǎn)，可以確定，故答案為考點(diǎn)：平面向量基本定理，向量的數(shù)量積，正三角形的性質(zhì)16、（答案不唯一）【解析】利用，可得，，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，則，或，故答案為：（答案不唯一）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）-2.【解析】（1）利用平面向量的數(shù)量積公式求出夾角的余弦值；（2）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系得到λ的方程，求值【詳解】向量=（3，4），=（-1，2）（1）向量與夾角的余弦值；（2）向量-=（3+λ，4-2λ）與+2=（1，8）平行，則8（3+λ）=4-2λ，解得λ=-2【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積公式的運(yùn)用以及向量平行的坐標(biāo)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題18、（1）；；（2）或【解析】（1）代值計(jì)算即可，（2）先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出的解析式，（i）根據(jù)函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，（ii）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)可得或解得即可.試題解析：二次函數(shù)滿足，解得：；.（2）（?。áⅲ┯桑?）知，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以.若，則或解得或.綜上，a的取值范圍為或.19、（1），；（2）.【解析】⑴把代入求出，，即可得到和⑵由得到，由此能求出實(shí)數(shù)的取值范圍；解析：（1）若，則．，（2）因?yàn)?若，則，若，則或，綜上，20、（1）；（2）；（3）【解析】（1）利用基本函數(shù)的單調(diào)性即得；（2）由題可得恒成立，再利用基本不等式即求；（3）由題意可知對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)，方程有四個(gè)根，利用二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)可得，即求.【小問1詳解】∵函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)的值域?yàn)?；【小?詳解】∵對(duì)任意的，都有恒成立，∴，即，即有，故有，∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，∴，即，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為；【小問3詳解】∵函數(shù)的值域?yàn)?，由題意可知對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)，方程有四個(gè)根，又，則必有，令，，故有，故有，可解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.21、（1），（2）最小值為1，最大值為2【解析】(1)根據(jù)①②③所給的條件，以及正余弦函數(shù)的對(duì)稱性和周期性之間的關(guān)系即可求解；(2)根據(jù)函數(shù)的伸縮平移變換后的特點(diǎn)寫出的解析式即可.【小問1詳解】選條件①：∵的最小正周期為，∴，∴；又是偶函數(shù)，∴對(duì)恒成立，得