4.3利用二次函數(shù)解決實(shí)際中最值問(wèn)題分析

第二章

二次函數(shù)第4節(jié)二次函數(shù)的應(yīng)用第3課時(shí)利用二次函數(shù)解決

實(shí)際中最值問(wèn)題1課堂講解用二次函數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題

利用二次函數(shù)最值解實(shí)際問(wèn)題2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升利用二次函數(shù)求幾何圖形的面積的最值的一般步驟：(1)引入自變量；(2)用含有自變量的代數(shù)式分別表示與所求幾何圖形相關(guān)

的量；(3)由幾何圖形的特征，列出其面積的計(jì)算公式，并且用

函數(shù)表示這個(gè)面積；(4)根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式及自變量的取值范圍求出其最值．1知識(shí)點(diǎn)用二次函數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題知1－講

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)的關(guān)系式，一般要經(jīng)歷以下

幾個(gè)步驟：(1)確定自變量與因變量代表的實(shí)際意義；(2)找到自變量與因變量之間的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系

列出方程或等式．(3)將方程或等式整理成二次函數(shù)的一般形式．

例1如圖，已知等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)與正方形MNPQ的邊長(zhǎng)均為10cm，AC與MN在同一直線上，開(kāi)

始時(shí)點(diǎn)A與M重合，讓△ABC向右移動(dòng)，最后點(diǎn)A與點(diǎn)N重合．問(wèn)題：(1)試寫出重疊部分面積y(cm2)與線段MA的長(zhǎng)度x(cm)之

間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)MA＝1cm時(shí)，重疊部分的面積是多少？知1－講知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）(1)根據(jù)圖形及題意所述可得出重疊部分是等腰直角

三角形，從而根據(jù)MA的長(zhǎng)度可得出y與x之間的函

數(shù)關(guān)系式；(2)將x＝1代入可得出重疊部分的面積．解：(1)由題意知，開(kāi)始時(shí)A點(diǎn)與M點(diǎn)重合，讓△ABC向右

移動(dòng)，兩圖形重疊部分為等腰直角三角形，

所以y＝

x2(0＜x≤10)；(2)當(dāng)MA＝1cm時(shí)，重疊部分的面積是cm2.導(dǎo)引：總

結(jié)知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）

此題主要考查的是求動(dòng)態(tài)幾何圖形中面積的函數(shù)關(guān)系式，判斷出重疊部分是等腰直角三角形比較關(guān)鍵．在確定實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，通常根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式．但要特別注意自變量的取值范圍．1在一幅長(zhǎng)60cm，寬40cm的矩形油畫的四周鑲一條

金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要

使整幅掛圖的面積是

ycm2，設(shè)金色紙邊的寬度為xcm，那么y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是(

)A．y＝(60＋2x)(40＋2x)B．y＝(60＋x)(40＋x)C．y＝(60＋2x)(40＋x)D．y＝(60＋x)(40＋2x)知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）2心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念

的時(shí)間x(min)之間是二次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)提出概念13min時(shí)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力最大，為59.9；當(dāng)提

出概念30min時(shí)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力就剩下31，

則y與x滿足的二次函數(shù)表達(dá)式為(

)A．y＝－(x－13)2＋59.9B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）2知識(shí)點(diǎn)利用二次函數(shù)的最值解實(shí)際問(wèn)題知2－導(dǎo)

服裝廠生產(chǎn)某品牌的T恤衫成本是每件10元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，以單價(jià)13元批發(fā)給經(jīng)銷商，經(jīng)銷商愿意經(jīng)銷5000件，并且表示單價(jià)每降價(jià)0.1元，愿意多經(jīng)銷500件.

請(qǐng)你幫助分析，廠家批發(fā)單價(jià)是多少時(shí)可以獲利最多？知2－講1．利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的利潤(rùn)問(wèn)題，一般運(yùn)

用“總利潤(rùn)＝每件商品所獲利潤(rùn)×銷售件數(shù)”或“總利

潤(rùn)＝總售價(jià)－總成本”建立利潤(rùn)與銷售單價(jià)之間的二

次函數(shù)關(guān)系式，求其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，獲取最值．

拓展：

現(xiàn)實(shí)生活中的許多最值問(wèn)題都可通過(guò)建立二次函數(shù)的

模型進(jìn)行解決．2．易錯(cuò)警示：實(shí)際問(wèn)題中的最大利潤(rùn)未必是頂點(diǎn)的縱

坐標(biāo)，即頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，

要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去確定最大值．知2－講

例2某旅館有客房120間，每間房的日租金為160元時(shí)，

每天都客滿.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每間客房的日

租金增加10元，那么客房每天出租數(shù)會(huì)減少6間．

不考慮其他因素，旅館將每間客房的日租金提高

到多少元時(shí)，客房日租金的總收入最高？最高總

收入是多少？（來(lái)自《教材》）知2－講設(shè)每間客房的日租金提高10x元，則每天客房出租數(shù)會(huì)減少6x間.設(shè)客房日租金總收入為

y元，則

y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0，∴0≤x<20.當(dāng)x=2時(shí)，y最大=19

440.這時(shí)每間客房的日租金為160+10×2=180(元).因此，每間客房的日租金提高到180元時(shí)，客房總收人最高，最高收入為19440元.（來(lái)自《教材》）解：知2－講例3〈沈陽(yáng)〉一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具，成本為10元/件，

出廠價(jià)為12元/件，年銷售量為2萬(wàn)件．今年計(jì)劃通過(guò)適當(dāng)

增加成本來(lái)提高產(chǎn)品的檔次，以拓展市場(chǎng)，若今年這種玩

具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年這種玩

具每件的出廠價(jià)比去年每件的出廠價(jià)相應(yīng)提高0.5x倍，則

預(yù)計(jì)今年年銷售量將比去年年銷售量增加x倍(0＜x≤1)．(1)用含x的代數(shù)式表示：今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本

為_(kāi)__元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠價(jià)為_(kāi)___元；(2)求今年這種玩具每件的利潤(rùn)y(元)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤(rùn)為W萬(wàn)元，求當(dāng)x為何值

時(shí)，今年的年銷售利潤(rùn)最大，最大年銷售利潤(rùn)是多少

萬(wàn)元？知2－講

由題意知今年這種玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x)

倍，每件的出廠價(jià)是去年每件的出廠價(jià)的(1＋0.5x)

倍，今年的年銷售量是去年年銷售量的(1＋x)倍．解：(1)(10＋7x)；(12＋6x)(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x，

即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2－x.(3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5，∵0＜x≤1，∴當(dāng)x＝0.5時(shí)，W有最大值．W最大值＝4.5.

答：當(dāng)x＝0.5時(shí)，今年的年銷售利潤(rùn)最大，最大年銷

售利潤(rùn)為4.5萬(wàn)元．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）導(dǎo)引：總

結(jié)知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）

本題利用建模思想求解，由今年與去年這種玩具的成本價(jià)、出廠價(jià)、銷售量的倍數(shù)關(guān)系可以得到今年這種玩具的成本價(jià)、出廠價(jià)、銷售量的表達(dá)式，再由“總利潤(rùn)＝每件商品所獲利潤(rùn)×銷售件數(shù)”可得二次函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求出其最大值．1某種品牌的服裝進(jìn)價(jià)為每件150元，當(dāng)售價(jià)為每件210元

時(shí)，每天可賣出20件，現(xiàn)需降價(jià)處理，且經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查：

每件服裝每降價(jià)2元，每天可多賣出1件．在確保盈利的

前提下，若設(shè)每件服裝降價(jià)x元，每天售出服裝的利潤(rùn)為y元，則y與x的函數(shù)表達(dá)式為(

)A．y＝－

x2＋10x＋1200(0＜x＜60)B．y＝－

x2－10x＋1250(0＜x＜60)C．y＝－

x2＋10x＋1250(0＜x＜60)D．y＝－

x2＋10x＋1250(x≤60)知2－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）2某旅行社在五一期間接團(tuán)去外地旅游，經(jīng)計(jì)算，收益y(元)與旅行團(tuán)人數(shù)x(人)滿足表達(dá)式y(tǒng)＝－x2＋100x＋28400，要使收益最大，則此旅行團(tuán)應(yīng)有(

)A．30人

B．40人

C．50人

D．55人知2－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）3(2016·咸寧)某網(wǎng)店銷售某款童裝，每件售價(jià)60元，每星

期可賣300件，為了促銷，該網(wǎng)店決定降價(jià)銷售．市場(chǎng)

調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣30件．已知該款

童裝每件成本價(jià)40元，設(shè)該款童裝每件售價(jià)x元，每星

期的銷售量為y件．(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤(rùn)最大，

最大利潤(rùn)是多少元？