浙江省杭州市拱墅區(qū)拱宸中學(xué) 2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中考試八年級(jí)數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)拱宸中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共有10題，每題3分，共30分）1．（3分）下列圖形中是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．2．（3分）下列三角形中，不是等腰三角形的是A． B． C． D．3．（3分）下列命題屬于假命題的是A．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 C．三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等4．（3分）若，則下列式子中一定成立的是A． B． C． D．5．（3分）如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長為A． B． C． D．6．（3分）如圖，在中，，過點(diǎn)作交的平分線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．7．（3分）如圖，△中，，點(diǎn)，分別在，上，是的中點(diǎn)．若，，則的長是A．3 B．4 C．5 D．68．（3分）如圖，線段，的垂直平分線、相交于點(diǎn)．若，則A． B． C． D．9．（3分）若，，，則的最小值為A．0 B．3 C．6 D．910．（3分）意大利著名畫家達(dá)芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個(gè)空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設(shè)左邊圖中空白部分的面積為，右邊圖中空白部分的面積為，小聰同學(xué)得出了以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．則其中正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本題共有6題，每題4分，共24分）11．（4分）已知命題：“對(duì)頂角相等．”寫出它的逆命題：．12．（4分）“的3倍與2的差小于9”用不等式表示為．13．（4分）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)表示原點(diǎn)，，垂足為，且，以為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為．14．（4分）關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是．15．（4分）如圖，折疊直角三角形紙片，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．若，，則的長是．16．（4分）如圖，在中，，，分別是，上的點(diǎn)，，，且，則．三、解答題（本題共有8題，共66分）17．（6分）解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．18．（6分）如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，點(diǎn)，分別在直線的兩側(cè)，且，，．（1）求證：；（2）若，，求的長．19．（6分）在的網(wǎng)格中已經(jīng)涂黑了三個(gè)小正方形，請(qǐng)?jiān)趫D中涂黑一塊（或兩塊）小正方形，使涂黑的四個(gè)（或五個(gè)）小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形．20．（8分）如圖，中，，．（1）用直尺和圓規(guī)作的平分線交于點(diǎn)（保留作圖痕跡）；（2）過點(diǎn)畫的邊上的高，交線段于點(diǎn)，若的周長是，求的長．21．（8分）我們定義：如果兩個(gè)一元一次不等式有公共解，那么稱這兩個(gè)不等式互為“云不等式”，其中一個(gè)不等式是另一個(gè)不等式的“云不等式”．（1）不等式（選填“是”或“不是”的“云不等式”．（2）若關(guān)于的不等式與不等式互為“云不等式”且有2個(gè)公共的整數(shù)解，求的取值范圍．22．（10分）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車成為大部分人首選的交通工具．燈塔市公交公司購買一批，兩種型號(hào)的新能源汽車，已知購買3輛型汽車和1輛型汽車共需要55萬元，購買2輛型汽車和4輛型汽車共需要120萬元．（1）求購買每輛型和型汽車各需要多少萬元？（2）若該公司計(jì)劃購買型汽車和型汽車共15輛，且總費(fèi)用不超過220萬元，則最少能購買型汽車多少輛？23．（10分）已知和都是等腰直角三角形，．（1）若為內(nèi)部一點(diǎn)，如圖，嗎？說明理由；（2）若為邊上一點(diǎn)，，，求的長．24．（12分）教材呈現(xiàn)：如圖為華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第65頁的部分類容．做一做：如圖，已知兩條線段和一個(gè)角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對(duì)邊，畫一個(gè)三角形．把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進(jìn)行比較，所畫的三角形都全等嗎？此時(shí)，符合條件的角形有多少種？（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，通過作圖我們可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)（即“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等）的兩個(gè)三角形全等（填“一定”或“不一定”．（2）探究證明閱讀補(bǔ)全證明已知：如圖2，在和中，，，．求證：．證明：在上取一點(diǎn)，使．，．又，而，．，又．．（3）拓展應(yīng)用在中，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在的延長線上，且，連接，與邊所在的直線交于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖3所示，求證：．②過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，若，，則（直接寫出答案）．

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)拱宸中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共有10題，每題3分，共30分）1．（3分）下列圖形中是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：，，選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）下列三角形中，不是等腰三角形的是A． B． C． D．【分析】由三角形的內(nèi)角和判定選項(xiàng)中的三角形是否為等腰三角形，選項(xiàng)由等腰三角形的定義判斷．【解答】解：、由三角形的內(nèi)角和為知：第三個(gè)角的大小為：，選項(xiàng)中的圖形不是等腰三角形．故選項(xiàng)符合題意；、由三角形的內(nèi)角和為知：第三個(gè)角的大小為：，選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形．故選項(xiàng)不符合題意；、由三角形的內(nèi)角和為知：第三個(gè)角的大小為：，選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形．故選項(xiàng)不符合題意；、由圖形中有兩邊長為5知：選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形．故選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和與等腰三角形的判定和定義．利用三角形的內(nèi)角和為求出第三角是突破點(diǎn)．3．（3分）下列命題屬于假命題的是A．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 C．三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【分析】利用全等三角形的性質(zhì)及判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，正確，是真命題，不符合題意；、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，正確，是真命題，不符合題意；、三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，正確，是真命題，不符合題意；、三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似但不一定全等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解全等三角形的性質(zhì)及判定方法，難度不大．4．（3分）若，則下列式子中一定成立的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【解答】解：、，，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；、，，原變形正確，故此選項(xiàng)符合題意；、原變形錯(cuò)誤，如，，則，故此選項(xiàng)不符合題意；、，，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長為A． B． C． D．【分析】利用勾股定理求出的長，再根據(jù)少走的路長為，計(jì)算即可．【解答】解：由勾股定理得，，少走的路長為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，明確少走的路為是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，在中，，過點(diǎn)作交的平分線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】利用角平分線的定義求出，利用三角形內(nèi)角和定理求出，再利用平行線的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：平分，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．7．（3分）如圖，△中，，點(diǎn)，分別在，上，是的中點(diǎn)．若，，則的長是A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)已知想到等腰三角形的三線合一，所以連接，可得，再利用等角的余角相等，證明，從而得，即可解答．【解答】解：連接，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用等腰三角形的三線合一，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，線段，的垂直平分線、相交于點(diǎn)．若，則A． B． C． D．【分析】連接，并延長到，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得和，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為得，根據(jù)外角的性質(zhì)得，，相加可得結(jié)論．【解答】解：連接，并延長到，，．線段，的垂直平分線、相交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．9．（3分）若，，，則的最小值為A．0 B．3 C．6 D．9【分析】把問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．【解答】解：，，，，時(shí)，的值最小，最小值為6，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考基礎(chǔ)題．10．（3分）意大利著名畫家達(dá)芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個(gè)空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設(shè)左邊圖中空白部分的面積為，右邊圖中空白部分的面積為，小聰同學(xué)得出了以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．則其中正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)勾股定理、直角三角形以及正方形的面積公式計(jì)算，即可解決問題．【解答】解：由勾股定理得：，由題意得：，故①、②、③、④正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．二、填空題（本題共有6題，每題4分，共24分）11．（4分）已知命題：“對(duì)頂角相等．”寫出它的逆命題：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角．【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題．【解答】解：命題“對(duì)頂角相等”的逆命題是：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角，故答案為：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．12．（4分）“的3倍與2的差小于9”用不等式表示為．【分析】先表示的3倍，再表示“差”，最后由“”可得答案．【解答】解：“的3倍與2的差小于9”用不等式表示為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等關(guān)系時(shí)，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負(fù)數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號(hào)．13．（4分）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)表示原點(diǎn)，，垂足為，且，以為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為．【分析】和均為半徑，根據(jù)勾股定理求出的長，從而得到點(diǎn)表示的數(shù)．【解答】解：在中，，，點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，求出圓弧的半徑是本題的關(guān)鍵．14．（4分）關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是．【分析】先求出方程的解，再根據(jù)題意得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解方程得：，關(guān)于的方程的解為正數(shù)，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式和解一元一次方程、一元一次方程的解，能得出關(guān)于的不等式是解此題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，折疊直角三角形紙片，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．若，，則的長是．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，然后設(shè)，從而可得，在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由折疊得：，設(shè)，，，在中，，，解得：，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問題），熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖，在中，，，分別是，上的點(diǎn)，，，且，則．【分析】在上取一點(diǎn)，使，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：在上取一點(diǎn)，使，連接，，，在和中，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，就是等腰三角形，，，，，在中，由勾股定理可得，，在中，由勾股定理可得，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵正確的作出輔助線．三、解答題（本題共有8題，共66分）17．（6分）解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】根據(jù)解一元一次不等式的基本步驟①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤化系數(shù)為計(jì)算即可得出不等式的解集，再將其在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：，去分母：，去括號(hào)：，移項(xiàng)：，合并同類項(xiàng)：，化系數(shù)為，不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次不等式、在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解題關(guān)鍵．18．（6分）如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，點(diǎn)，分別在直線的兩側(cè)，且，，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可；（2）根據(jù)，全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：，，即，，在和中，，；（2）由（1）知，，，，故的長為4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．19．（6分）在的網(wǎng)格中已經(jīng)涂黑了三個(gè)小正方形，請(qǐng)?jiān)趫D中涂黑一塊（或兩塊）小正方形，使涂黑的四個(gè)（或五個(gè)）小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義以及題目要求畫出圖形即可【解答】解：如圖中，圖形即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是理解軸對(duì)稱圖形的定義，屬于中考常考題型．20．（8分）如圖，中，，．（1）用直尺和圓規(guī)作的平分線交于點(diǎn)（保留作圖痕跡）；（2）過點(diǎn)畫的邊上的高，交線段于點(diǎn)，若的周長是，求的長．【分析】（1）利用尺規(guī)周長的角平分線即可．（2）利用尺規(guī)過點(diǎn)作即可．證明的周長即可．【解答】解：（1）如圖，線段即為所求．（2）如圖，線段即為所求．，，，，，，，，的周長，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．21．（8分）我們定義：如果兩個(gè)一元一次不等式有公共解，那么稱這兩個(gè)不等式互為“云不等式”，其中一個(gè)不等式是另一個(gè)不等式的“云不等式”．（1）不等式是（選填“是”或“不是”的“云不等式”．（2）若關(guān)于的不等式與不等式互為“云不等式”且有2個(gè)公共的整數(shù)解，求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)云不等式的定義，即可解答；（2）先分別解兩個(gè)不等式，然后根據(jù)題意可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）與有一個(gè)公共解，不等式是的“云不等式”，故答案為：是；（2）解不等式，得，解不等式，得，關(guān)于的不等式與不等式互為“云不等式”且有2個(gè)公共的整數(shù)解，，解得：，的取值范圍是：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解，理解云不等式是解題的關(guān)鍵．22．（10分）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車成為大部分人首選的交通工具．燈塔市公交公司購買一批，兩種型號(hào)的新能源汽車，已知購買3輛型汽車和1輛型汽車共需要55萬元，購買2輛型汽車和4輛型汽車共需要120萬元．（1）求購買每輛型和型汽車各需要多少萬元？（2）若該公司計(jì)劃購買型汽車和型汽車共15輛，且總費(fèi)用不超過220萬元，則最少能購買型汽車多少輛？【分析】（1）找出等量關(guān)系列出方程組再求解即可．本題的等量關(guān)系為“購買3輛型汽車和1輛型汽車共需要55萬元”和“購買2輛型汽車和4輛型汽車共需要120萬元”．（2）設(shè)購買型汽車輛，則購買型汽車輛，根據(jù)總費(fèi)用不超過220萬元，列出不等式計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）設(shè)購買每輛型汽車需要萬元，每輛型汽車需要萬元．依題意有：，解得：．答：購買每輛型汽車需要10萬元，每輛型汽車需要25萬元；（2）設(shè)購買型汽車輛，則購買型汽車輛．依題意有：，，解得：，取正整數(shù)，最小取11．答：最少能購買型汽車11輛．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式組的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，找出（1）合適的等量關(guān)系：“購買3輛型汽車和1輛型汽車共需要55萬元”和“購買2輛型汽車和4輛型汽車共需要120萬元”．（2）根據(jù)總費(fèi)用不超過220萬元列出不等式再求解．23．（10分）已知和都是等腰直角三角形，．（1）若為內(nèi)部一點(diǎn)，如圖，嗎？說明理由；（2）若為邊上一點(diǎn)，，，求的長．【分析】（1）由“”可證，可得；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求的長．【解答】解：（1），理由如下：和都是等腰直角三角形，，，，，且，，；（2）如圖，由（1）可知：，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角