(前兩節(jié)在一起的)隨機(jī)事件的概率精修版分析

3.1.1隨機(jī)事件的概率3.1.1隨機(jī)事件的概率

在第二次世界大戰(zhàn)中，美國(guó)曾經(jīng)宣布：一名優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的作用超過(guò)10個(gè)師的兵力．這句話有一個(gè)非同尋常的來(lái)歷．1943年以前，在大西洋上英美運(yùn)輸船隊(duì)常常受到德國(guó)潛艇的襲擊，當(dāng)時(shí)，英美兩國(guó)限于實(shí)力，無(wú)力增派更多的護(hù)航艦，一時(shí)間，德軍的“潛艇戰(zhàn)”搞得盟軍焦頭爛額．為此，有位美國(guó)海軍將領(lǐng)專門去請(qǐng)教了幾位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運(yùn)用概率論分析后得出，艦隊(duì)與敵潛艇相遇是一個(gè)隨機(jī)事件，從數(shù)學(xué)角度來(lái)看這一問(wèn)題，它具有一定的規(guī)律性．一定數(shù)量的船（為100艘）編隊(duì)規(guī)模越小，編次就越多（為每次20艘，就要有5個(gè)編次），編次越多，與敵人相遇的概率就越大．比如5位同學(xué)放學(xué)都回自己家里，老師要找1位同學(xué)的話，隨便去哪家都行。但若這5位同學(xué)都在其中某一家的話，老師要找?guī)准也拍苷业剑淮握业降目赡苄灾挥?0％。

1名數(shù)學(xué)家＝10個(gè)師

美國(guó)海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令艦隊(duì)在指定海域集合，再集體通過(guò)危險(xiǎn)海域，然后各自駛向預(yù)定港口.結(jié)果奇跡出現(xiàn)了：盟軍艦隊(duì)遭襲被擊沉的概率由原來(lái)的25％降為1％，大大減少了損失，保證了物資的及時(shí)供應(yīng)．在自然界和實(shí)際生活中，我們會(huì)遇到各種各樣的現(xiàn)象．如果從結(jié)果能否預(yù)知的角度來(lái)看，可以分為兩大類：

另一類現(xiàn)象的結(jié)果是無(wú)法預(yù)知的，即在一定的條件下，出現(xiàn)那種結(jié)果是無(wú)法預(yù)先確定的，這類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象．

一類現(xiàn)象的結(jié)果總是確定的，即在一定的條件下，它所出現(xiàn)的結(jié)果是可以預(yù)知的，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象；下面各事件的發(fā)生與否，各有什么特點(diǎn)？（1）導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱；（6）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰融化．（5）拋一枚硬幣，正面朝上；（4）在常溫下，鐵熔化；（3）拋一石塊，下落；（2）李強(qiáng)射擊一次，中靶；

必然事件：在條件S下,一定會(huì)發(fā)生的事件,叫做必然事件.

比如：“（1）導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱”，“（3）拋一石塊，下落”都是必然事件．一.必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件

不可能事件：在條件S下,一定不會(huì)發(fā)生的事件,叫做不可能事件.

比如：“（4）在常溫下，鐵能熔化”，“（6）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰融化”，都是不可能事件．

隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做隨機(jī)事件.

比如“（2）李強(qiáng)射擊一次，中靶”，“（5）擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”都是隨機(jī)事件．

注意：隨機(jī)事件要搞清楚什么是隨機(jī)事件的條件和結(jié)果。

事件的結(jié)果是相應(yīng)于“一定條件而言的。因此，要弄清某一隨機(jī)事件必須明確何為事件發(fā)生的條件，何為在此條件下產(chǎn)生的結(jié)果。

例題分析

例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是隨機(jī)事件？（2）沒(méi)有空氣，動(dòng)物也能生存下去；（5）某一天內(nèi)電話收到的呼叫次數(shù)為0；

（6）一個(gè)袋內(nèi)裝有形狀大小相同的一個(gè)白球和一個(gè)黑球，從中任意摸出1個(gè)球則為白球．（1）若都是實(shí)數(shù)，則；（3）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在溫度時(shí)沸騰；（4）直線過(guò)定點(diǎn)；二.概率的定義及其理解

隨機(jī)事件及其概率

要了解隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，最直接的方法就是試驗(yàn)。

第一步:

每人各取一枚同樣的硬幣，做10次擲硬幣試驗(yàn)，記錄正面向上的次數(shù)和比例,填入下表中:試驗(yàn)：

做拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，觀察它落地時(shí)哪一個(gè)面朝上姓名試驗(yàn)總次數(shù)正面朝上總次數(shù)正面朝上的比例

思考：試驗(yàn)結(jié)果與其他同學(xué)比較，你的結(jié)果和他們一致嗎？為什么?

第二步:

由組長(zhǎng)把本小組同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)一下，填入下表:組次試驗(yàn)總次數(shù)正面朝上總次數(shù)正面朝上的比例

思考：與其他小組試驗(yàn)結(jié)果比較，正面朝上的比例一致嗎？為什么？

第三步

:把全班實(shí)驗(yàn)結(jié)果收集起來(lái)，也用條形圖表示.班級(jí)試驗(yàn)總次數(shù)正面朝上總次數(shù)正面朝上的比例

第四步:

用橫軸為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，僅取兩個(gè)值：1（正面）和0（反面），縱軸為實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻率，畫出你個(gè)人和所在小組的條形圖，并進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)什么？

思考：這個(gè)條形圖有什么特點(diǎn)？如果同學(xué)們重復(fù)一次上面的實(shí)驗(yàn)，全班匯總結(jié)果與這一次匯總結(jié)果一致嗎？為什么？

第五步：請(qǐng)同學(xué)們找出擲硬幣時(shí)“正面朝上”這個(gè)事件發(fā)生的規(guī)律性。

隨機(jī)事件A在每次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不能預(yù)知的，但是在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，隨著次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定在區(qū)間[0，1]中的某個(gè)常數(shù)上。結(jié)論:

例如，歷史上曾有人做過(guò)拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)，結(jié)果如下表：拋擲次數(shù)()正面向上次數(shù)（頻數(shù)）頻率（）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120500530000149840.499672088361240.5011隨機(jī)事件及其概率1.頻數(shù)，頻率的定義：

在相同條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=nA/n為事件A出現(xiàn)的頻率。

2.頻率的取值范圍是什么？

概率的定義：

對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率。隨機(jī)事件及其概率0.9510.9540.940.970.920.9優(yōu)等品頻率19029544701949245優(yōu)等品數(shù)2000100050020010050抽取球數(shù)某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果表：當(dāng)抽查的球數(shù)很多時(shí)，抽到優(yōu)等品的頻率接近于常數(shù)0.95，在它附近擺動(dòng)。（1）頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近概率。（2）頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定。（3）概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無(wú)關(guān)。

概率與頻率的關(guān)系（必掌握之重點(diǎn)）注意以下幾點(diǎn)：

（1）求一個(gè)事件的概率的基本方法是通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)；

（3）概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；（2）只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫做事件的概率；（4）概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大??；（5）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0．因此．

3．概率的范圍：

知識(shí)小結(jié)1．隨機(jī)事件的概念

在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做隨機(jī)事件．2．隨機(jī)事件的概率的定義三.知識(shí)小結(jié)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率。四.作業(yè)：

成才之路小本五.預(yù)習(xí)

3.1.2概率的意義對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率。概率的定義是什么？頻率與概率的有什么區(qū)別和聯(lián)系？①頻率是隨機(jī)的，在實(shí)驗(yàn)之前不能確定；②概率是一個(gè)確定的數(shù)，與每次實(shí)驗(yàn)無(wú)關(guān)；③隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近概率。④頻率是概率的近似值，概率是用來(lái)度量事件發(fā)生可能性的大小問(wèn)題1：有人說(shuō)，既然拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你認(rèn)為這種想法正確嗎？1.概率的正確理解：答：這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的，拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，它是大量試驗(yàn)得出的一種規(guī)律性結(jié)果，對(duì)具體的幾次試驗(yàn)來(lái)講不一定能體現(xiàn)出這種規(guī)律性，在連續(xù)拋擲一枚硬幣兩次的試驗(yàn)中，可能兩次均正面向上，也可能兩次均反面向上，也可能一次正面向上，一次反面向上問(wèn)題2：若某種彩票準(zhǔn)備發(fā)行1000萬(wàn)張，其中有1萬(wàn)張可以中獎(jiǎng)，則買一張這種彩票的中獎(jiǎng)概率是多少？買1000張的話是否一定會(huì)中獎(jiǎng)？答：不一定中獎(jiǎng)，因?yàn)橘I彩票是隨機(jī)的，每張彩票都可能中獎(jiǎng)也可能不中獎(jiǎng)。買彩票中獎(jiǎng)的概率為1/1000，是指試驗(yàn)次數(shù)相當(dāng)大，即隨著購(gòu)買彩票的張數(shù)的增加，大約有1/1000的彩票中獎(jiǎng)

隨機(jī)事件在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)性中含有規(guī)律性：即隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，該隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)越來(lái)越接近于該事件發(fā)生的概率。概率的意義概率是從數(shù)量上反應(yīng)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，它是對(duì)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)存在的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，對(duì)單次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，某隨機(jī)事件發(fā)生與否仍是隨機(jī)的。2.概率在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：游戲的公平性

在各類游戲中，如果每人獲勝的概率相等，那么游戲就是公平的。是否公平只要看獲勝的概率是否相等。

體育比賽中決定發(fā)球權(quán)的方法應(yīng)該保證比賽雙方先發(fā)球的概率相等，這樣才是公平的。

大家有沒(méi)有注意到在乒乓球、排球等體育比賽中，如何確定由哪一方先發(fā)球？你覺(jué)得那些方法對(duì)比賽雙方公平嗎？探究某中學(xué)高一年級(jí)有12個(gè)班，要從中選2個(gè)班代表學(xué)校參加某項(xiàng)活動(dòng)，由于某種原因，1班必須參加，另外再?gòu)?至12班中選一個(gè)班，有人提議用如下方法：擲兩個(gè)骰子得到的點(diǎn)數(shù)和是幾，就選幾班，你認(rèn)為這種方法公平嗎？1點(diǎn)2點(diǎn)3點(diǎn)4點(diǎn)5點(diǎn)6點(diǎn)1點(diǎn)2345672點(diǎn)3456783點(diǎn)4567894點(diǎn)56789105點(diǎn)678910116點(diǎn)7891011122.概率在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：極大似然法例1.在做擲硬幣的實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，若連續(xù)擲了100次，結(jié)果100次都是正面朝上，對(duì)于這樣的結(jié)果你會(huì)有什么看法？例2.在一個(gè)不透明的袋子中有兩種球，一種白球，一種紅球，并且這兩種球一種有99個(gè)，另一種只有1個(gè)，若一個(gè)人從中隨機(jī)摸出1球，結(jié)果是紅色的，那你認(rèn)為袋中究竟哪種球會(huì)是99個(gè)？

如果我們面臨的是從多個(gè)可選答案中挑選正確答案的決策任務(wù)，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則，這種判斷問(wèn)題的方法稱為極大似然法。2.概率在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：天氣預(yù)報(bào)的概率解釋

若某地氣象局預(yù)報(bào)說(shuō)，明天本地降水概率為70%，你認(rèn)為下面兩個(gè)解釋哪一個(gè)能代表氣象局的觀點(diǎn)？（1）明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨；（2）明天本地有70%的機(jī)會(huì)下雨。

（1）顯然是不正確的，因?yàn)?0%的概率是說(shuō)降水的概率，而不是說(shuō)70%的區(qū)域降水。正確的選擇是（2）。

降水概率的大小只能說(shuō)明降水可能性的大小，概率值越大只能表示在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性越大。在一次試驗(yàn)中“降水”這個(gè)事件是否發(fā)生仍然是隨機(jī)的。（1）概率與公平性的關(guān)系：利用概率解釋游戲規(guī)則的公平性，判斷實(shí)際生活中的一些現(xiàn)象是否合理。（2）概率與決策的關(guān)系：在“風(fēng)險(xiǎn)與決策”中經(jīng)常會(huì)用到統(tǒng)計(jì)中的極大似然法：在一次實(shí)驗(yàn)中，概率大的事件發(fā)生的可能性大。（3）概率與預(yù)報(bào)的關(guān)系：在對(duì)各種自然現(xiàn)象、災(zāi)害的研究過(guò)程中經(jīng)常會(huì)用到概率的思想來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。2.概率在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：孟德?tīng)栃?/p>

從維也納大學(xué)回到布魯恩不久，孟德?tīng)柧烷_始了長(zhǎng)達(dá)8年的豌豆實(shí)驗(yàn)。孟德?tīng)柺紫葟脑S多種子商那里，弄來(lái)了34個(gè)品種的豌豆，從中挑選出22個(gè)品種用于實(shí)驗(yàn)。它們都具有某種可以相互區(qū)分的穩(wěn)定性狀，例如高莖或矮莖、圓料或皺科、灰色種皮或白色種皮等。豌豆雜交試驗(yàn)孟德?tīng)柊腰S色和綠色的豌豆雜交