2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)模塊素養(yǎng)評價(jià)含解析新人教A版選修2-2

PAGE模塊素養(yǎng)評價(jià)(120分鐘150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)QUOTE的虛部為 ()A.-i B.-1 C.1 D.i【解析】選C.復(fù)數(shù)QUOTE=QUOTE=-1+i,故復(fù)數(shù)的虛部為1.2.若復(fù)數(shù)z滿意z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位),則z= ()A.3+5i B.3-5iC.-3+5i D.-3-5i【解析】選A.由z(2-i)=11+7i得,z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=3+5i.3.曲線y=1-QUOTE在點(diǎn)(-1,-1)處的切線方程為 ()A.y=2x+1 B.y=2x-1C.y=-2x-3 D.y=-2x-2【解析】選A.因?yàn)閥=1-QUOTE=QUOTE,所以y′=QUOTE=QUOTE,y′|x=-1=2,所以曲線在點(diǎn)(-1,-1)處的切線斜率為2,所以所求切線方程為y+1=2(x+1),即y=2x+1.4.演繹推理“因?yàn)閷?shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)是增函數(shù),而函數(shù)y=loQUOTEx是對數(shù)函數(shù),所以y=loQUOTEx是增函數(shù)”所得結(jié)論錯(cuò)誤的緣由是 ()A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.大前提和小前提都錯(cuò)誤【解析】選A.因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)是一個(gè)增函數(shù),當(dāng)0<a<1時(shí),此函數(shù)是一個(gè)減函數(shù),所以y=logax(a>0且a≠1)是增函數(shù)這個(gè)大前提是錯(cuò)誤的,從而導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤.5.已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE>2QUOTE時(shí),若已假設(shè)n=k(k≥2,且k為偶數(shù))時(shí)等式成立,則還需利用假設(shè)再證()A.n=k+1時(shí)不等式成立B.n=k+2時(shí)不等式成立C.n=2k+2時(shí)不等式成立D.n=2(k+2)時(shí)不等式成立【解析】選B.由于k是偶數(shù),所以k+2是k后面的第一個(gè)偶數(shù).6.已知點(diǎn)列:P1(1,1),P2(1,2),P3(2,1),P4(1,3),P5(2,2),P6(3,1),P7(1,4),P8(2,3),P9(3,2),P10(4,1),P11(1,5),P12(2,4),…,則P60的坐標(biāo)為 ()A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7)【解析】選D.橫縱坐標(biāo)之和為2的有1個(gè),橫縱坐標(biāo)之和為3的有2個(gè),橫縱坐標(biāo)之和為4的有3個(gè),橫縱坐標(biāo)之和為5的有4個(gè).因此橫縱坐標(biāo)之和為2,3,…,11的點(diǎn)共有1+2+3+…+10=55個(gè),橫縱坐標(biāo)之和為12的有11個(gè).因此P60為橫縱坐標(biāo)之和為12的第5個(gè)點(diǎn),即為(5,7).7.函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖,則函數(shù)y=ax2+QUOTEbx+QUOTE的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(-∞,-2] B.QUOTEC.[-2,3] D.QUOTE【解析】選D.由題圖可知d=0.不妨取a=1,因?yàn)閒(x)=x3+bx2+cx,所以f′(x)=3x2+2bx+c.由圖可知f′(-2)=0,f′(3)=0,所以12-4b+c=0,27+6b+c=0,所以b=-QUOTE,c=-18.所以y=x2-QUOTEx-6,y′=2x-QUOTE.當(dāng)x>QUOTE時(shí),y′>0,所以y=x2-QUOTEx-6的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE.8.下面為函數(shù)y=xsinx+cosx的遞增區(qū)間的是 ()A.QUOTE B.(π,2π)C.QUOTE D.(2π,3π)【解析】選C.y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,當(dāng)x>0時(shí),由y′>0得xcosx>0,即cosx>0.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x-4lnx,則f(x)的遞增區(qū)間為 ()A.(0,+∞) B.(-1,0),(2,+∞)C.(2,+∞) D.(0,1)【解析】選C.因?yàn)閒(x)=x2-2x-4lnx,x>0,所以f′(x)=2x-2-QUOTE.令f′(x)=2x-2-QUOTE>0(x>0),解得x>2,所以函數(shù)f(x)=x2-2x-4lnx的遞增區(qū)間是(2,+∞).9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓x2+y2=r2(r>0)內(nèi)切于正方形ABCD,任取圓上一點(diǎn)P,若=m+n(m,n∈R),則QUOTE是m2,n2的等差中項(xiàng).現(xiàn)有一橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)內(nèi)切于矩形ABCD,任取橢圓上一點(diǎn)P,若=m+n(m,n∈R),則m2,n2的等差中項(xiàng)為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選A.如圖,設(shè)P(x,y),由QUOTE+QUOTE=1知A(a,b),B(-a,b),由=m+n,可得QUOTE代入QUOTE+QUOTE=1可得(m-n)2+(m+n)2=1,即m2+n2=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即m2,n2的等差中項(xiàng)為QUOTE.10.設(shè)△ABC的三邊長分別為a,b,c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r=QUOTE,類比這個(gè)結(jié)論可知:四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內(nèi)切球半徑為R,四面體S-ABC的體積為V,則R= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解題指導(dǎo)】依據(jù)平面與空間之間的類比推理,由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線,由直線類比直線或平面,由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球,由平面圖形面積類比立體圖形的體積,結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可.【解析】選C.設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個(gè)面的距離都是R,所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn),分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和.則四面體的體積為V=QUOTE(S1+S2+S3+S4)R,所以R=QUOTE.11.已知函數(shù)f(x)=x3-ax在(-1,1)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(1,+∞) B.[3,+∞)C.(-∞,1] D.(-∞,3]【解析】選B.因?yàn)閒(x)=x3-ax,所以f′(x)=3x2-a.又f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,所以3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,所以a≥3.12.定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若對隨意的實(shí)數(shù)x,都有2f(x)+xf′(x)<2恒成立,則使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為()A.{x|x≠±1} B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)【解析】選B.構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2f(x)-x2,x∈R,則g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)-2x=x[2f(x)+xf′(x)-2].由題意得2f(x)+xf′(x)-2<0恒成立,故當(dāng)x<0時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>0時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.因?yàn)閤2f(x)-f(1)<x2-1,所以x2f(x)-x2<f(1)-1,即g(x)<g(1),當(dāng)x>0時(shí),解得x>1;當(dāng)x<0時(shí),因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以g(x)是偶函數(shù),同理解得x<-1.故實(shí)數(shù)x的取值范圍為(-∞,-1)∪(1,+∞).二、填空題(每小題5分,共20分)13.已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+2i),其中i是虛數(shù)單位,則z的模是________.

【解析】因?yàn)閦=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,所以|z|=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE14.若曲線y=QUOTE上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x+y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)P(x0,y0),因?yàn)閥=e-x,所以y′=-e-x,所以點(diǎn)P處的切線斜率為k=-QUOTE=-2,所以-x0=ln2,所以x0=-ln2,所以y0=eln2=2,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-ln2,2).答案:(-ln2,2)15.視察下圖中各正方形圖案,每條邊上有n(n≥2)個(gè)點(diǎn),第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)是Sn.n=2,S2=4;n=3,S3=8;n=4,S4=12;….按此規(guī)律,推出Sn與n的關(guān)系式為________.

【解析】由題意可得:S2=2×4-4,S3=3×4-4,S4=4×4-4(正方形四個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)算一次,應(yīng)減去).…猜想:Sn=4n-4(n≥2,n∈N*).答案:Sn=4n-4(n≥2,n∈N*)16.定義“正對數(shù)”:ln+x=QUOTE現(xiàn)有四個(gè)命題:①若a>0,b>0,則ln+(ab)=bln+a;②若a>0,b>0,則ln+(ab)=ln+a+ln+b;③若a>0,b>0,則ln+(QUOTE)≥ln+a-ln+b;④若a>0,b>0,則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.其中的真命題有:________.(寫出全部真命題的編號)

【解題指南】本題為新定義問題,要留意新定義的函數(shù)的特點(diǎn),依據(jù)新定義解決問題.【解析】①當(dāng)a≥1,b>0時(shí),ab≥1,ln+(ab)=lnab=blna,bln+a=blna,所以ln+(ab)=bln+a成立.當(dāng)0<a<1,b>0時(shí),0<ab<1,此時(shí)ln+(ab)=0,bln+a=0,即ln+(ab)=bln+a成立.綜上ln+(ab)=bln+a恒成立.②當(dāng)a=e,b=QUOTE時(shí),ln+(ab)=ln1=0,ln+a=lne=1,ln+b=0,所以ln+(ab)=ln+a+ln+b不成立.③探討a,b的取值,可知正確.④探討a,b的取值,可知正確.所以正確的命題為①③④.答案:①③④三、解答題(共70分)17.(10分)(1)計(jì)算QUOTE+QUOTE;(2)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)滿意z+2QUOTE=3+i,求復(fù)數(shù)z.【解析】(1)原式=QUOTE+QUOTE=i+QUOTE=i+QUOTE=QUOTE+QUOTEi.(2)(x+yi)+2i(x-yi)=3+i,即(x+2y)+(2x+y)i=3+i,即QUOTE解得QUOTE所以z=-QUOTE+QUOTEi.18.(12分)設(shè)a,b,c均為大于1的正數(shù),且ab=10,求證:logac+logbc≥4lgc.【證明】方法一:因?yàn)閍b=10,所以lga+lgb=lgab=1,則logac+logbc=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE.因?yàn)閍>1,b>1,所以lga>0,lgb>0,則lga·lgb≤QUOTE=QUOTE,QUOTE≥4,又c>1,lgc>0.所以QUOTE≥4lgc,即logac+logbc≥4lgc.方法二:要證logac+logbc≥4lgc,只需證QUOTE+QUOTE≥4lgc.又因?yàn)閏>1,所以lgc>0,故只需證QUOTE+QUOTE≥4,即證QUOTE≥4.又因?yàn)閍b=10,所以lga+lgb=lg(ab)=1,故只需證QUOTE≥4.又因?yàn)閘ga>0,lgb>0,所以0<lga·lgb≤QUOTE=QUOTE=QUOTE,則QUOTE≥4成立.所以原不等式成立,即logac+logbc≥4lgc.19.(12分)已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.求證:a>0,b>0,c>0.【證明】假設(shè)a,b,c不都是正數(shù),由abc>0可知,這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù),一個(gè)為正數(shù),不妨設(shè)a<0,b<0,c>0,則由a+b+c>0,可得c>-(a+b).又a+b<0,所以c(a+b)<-(a+b)(a+b),ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab,即ab+bc+ca<-a2-ab-b2,因?yàn)閍2>0,ab>0,b2>0,所以-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即ab+bc+ca<0,這與已知ab+bc+ca>0沖突,所以假設(shè)不成立.因此a>0,b>0,c>0成立.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b,其中a,b∈R.(1)若函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),y=f(x)圖象上隨意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ,且0≤θ≤QUOTE,求a的取值范圍.【解析】(1)f′(x)=-3x2+2ax,要使f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,則f′(x)≥0在(0,2)上恒成立,因?yàn)閒′(x)是開口向下的拋物線,所以QUOTE所以a≥3.(2)因?yàn)?≤θ≤QUOTE,所以tanθ=-3x2+2ax∈[0,1].據(jù)題意0≤-3x2+2ax≤1在(0,1]上恒成立,由-3x2+2ax≥0,得a≥QUOTEx,a≥QUOTE,由-3x2+2ax≤1,得a≤QUOTEx+QUOTE.又QUOTEx+QUOTE≥QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE時(shí)取“=”),所以a≤QUOTE.綜上,a的取值范圍是QUOTE.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+QUOTE(a∈R).(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程.(2)探討函數(shù)f(x)的極值.【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ln(x+1)+QUOTE,所以f′(x)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以f′(0)=2.又f(0)=0,所以函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x.(2)f′(x)=QUOTE+QUOTE=QUOTE(x>-1).令x+1+a=0,得x=-a-1.若-a-1≤-1,即a≥0,則f′(x)>0恒成立,此時(shí)f(x)無極值.若-a-1>-1即a<0,則當(dāng)-1<x<-a-1時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x>-a-1時(shí),f′(x)>0,此時(shí)f(x)在x=-a-1處取得微小值,微小值為ln(-a)+a+1.22.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=-QUOTE,Sn+QUOTE=