2025屆廣東省肇慶市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆廣東省肇慶市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A. B.C. D.3．若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C D.4．傾斜角為45°，在軸上的截距是的直線方程為（）A. B.C. D.5．設(shè)，，則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件6．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°7．設(shè)分別為圓和橢圓上的點(diǎn),則兩點(diǎn)間的最大距離是A. B.C. D.8．設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量t由2變到2.5時(shí)，函數(shù)的平均變化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.119．設(shè)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，，是的兩個(gè)頂點(diǎn)，上存在一點(diǎn)，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點(diǎn)，則的漸近線方程為A. B.C. D.10．已知雙曲線左右焦點(diǎn)為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射的一種裝置．當(dāng)旋轉(zhuǎn)拋物面的主光軸指向太陽的時(shí)候，平行的太陽光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過，形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)在它的主光軸上．如圖所示的太陽灶中，灶深CD即焦點(diǎn)到灶底（拋物線的頂點(diǎn)）的距離為1m，則灶口直徑AB為（）A.2m B.3mC.4m D.5m12．已知在空間直角坐標(biāo)系（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則z軸與平面OAB所成的線面角為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某地區(qū)內(nèi)貓的壽命超過10歲的概率為0.9，超過12歲的概率為0.6，那么該地區(qū)內(nèi)，一只壽命超過10歲的貓的壽命超過12歲的概率為___________.14．若過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為___________.15．設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約束條件，則的最小值為___________.16．已知橢圓的弦AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線AB的斜率與直線OM的斜率之積等于_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）證明：；（2）已知：，，且，求證：.18．（12分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）已知橢圓上頂點(diǎn)與橢圓的左，右頂點(diǎn)連線的斜率之積為（1）求橢圓C的離心率；（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程20．（12分）某校從參加高二年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的化學(xué)成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后畫出如圖部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求出這60名學(xué)生中化學(xué)成績低于50分的人數(shù)；（2）估計(jì)高二年級(jí)這次考試化學(xué)學(xué)科及格率（60分以上為及格）；（3）從化學(xué)成績不及格的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，求他的成績低于50分的概率21．（12分）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2)，使平面平面.（1）求證：平面平面.（2）能否在邊上找到一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（10分）某項(xiàng)目的建設(shè)過程中，發(fā)現(xiàn)其補(bǔ)貼額x（單位：百萬元）與該項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)回報(bào)y（單位：千萬元）之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：補(bǔ)貼額x（單位：百萬元）23456經(jīng)濟(jì)回報(bào)y（單位：千萬元）2.5344.56（1）請(qǐng)根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程；（2）為高質(zhì)量完成該項(xiàng)目，決定對(duì)負(fù)責(zé)該項(xiàng)目的7名工程師進(jìn)行考核.考核結(jié)果為4人優(yōu)秀，3人合格.現(xiàn)從這7名工程師中隨機(jī)抽取3人，用X表示抽取的3人中考核優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與期望.參考公式：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.【詳解】設(shè)(x，y)是與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)，則(x，－y)在上，故，∴與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為.故選：D.2、C【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，于是得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C3、C【解析】由函數(shù)的圖象可知其單調(diào)性情況，再由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系即可得解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，從左向右函數(shù)先增后減，故時(shí)，從左向右導(dǎo)函數(shù)先正后負(fù)，故排除AB；當(dāng)時(shí)，從左向右函數(shù)先減后增，故時(shí)，從左向右導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正，故排除D.故選：C.4、B【解析】先由傾斜角為45°，可得其斜率為1，再由軸上的截距是，可求出直線方程【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為45°，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€在軸上的截距是，所以所求的直線方程為，即，故選：B5、C【解析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.6、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D7、D【解析】轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值加（半徑）.【詳解】設(shè)，圓心為，則，當(dāng)時(shí)，取到最大值，∴最大值為故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查圓上點(diǎn)與橢圓上點(diǎn)的距離的最值問題，解題關(guān)鍵是圓上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圓心，利用圓心到動(dòng)點(diǎn)距離的最值加（或減）半徑得出結(jié)論8、B【解析】利用平均變化率的公式即得.【詳解】∵，∴.故選：B.9、C【解析】根據(jù)圖形的幾何特性轉(zhuǎn)化成雙曲線的之間的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)另一焦點(diǎn)為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點(diǎn)，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.10、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心率【詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C11、C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)是拋物線的焦點(diǎn)，求得拋物線的方程，進(jìn)而求得的長.【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，O與C重合，設(shè)拋物線的方程為，由題意可得是拋物線的焦點(diǎn)，即，可得，所以拋物線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.12、B【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，設(shè)平面OAB的一個(gè)法向量為，則得所以，令，得，所以又z軸的一個(gè)方向向量為，設(shè)z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以所求的線面角為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A：貓的壽命超過10歲，事件B：貓的壽命超過12歲.依題意有，，則一只壽命超過10歲貓的壽命超過12歲的概率.故答案為：14、或【解析】根據(jù)圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】由題意可知，，故在圓外，則過點(diǎn)做圓的切線有兩條，且切線斜率必存在，設(shè)切線為，即，則圓心到直線的距離，解得或，故切線方程為或故答案為：或15、2【解析】畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，平移動(dòng)直線后可得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示：將初始直線平移至點(diǎn)時(shí)，可取最小值，由可得，故，故答案為：2.16、【解析】根據(jù)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求解.【詳解】設(shè)，且，則，（1），（2）得：，，.又，，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）利用分析法證明即可；（2）將與相乘，展開后利用基本不等式可證明所證不等式成立.【詳解】（1）要證成立，即證，即證，即證，而顯然成立，故成立；（2）已知，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.18、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)的公比為，利用基本量運(yùn)算求出公比，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算出數(shù)列的前n項(xiàng)和【詳解】（1）設(shè)的公比為，由題意知：，.又，解得，，所以.（2）.令，則，因此，又，兩式相減得所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下：

公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算即可；

裂項(xiàng)相消法，通過把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；

錯(cuò)位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時(shí)使用此方法；

倒序相加法，如果一個(gè)數(shù)列滿足首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和相等，可以使用此方法求和19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，可知，可得，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，由此即可求出離心率；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到，，再根據(jù)弦長公式，建立方程，即可求出的值，進(jìn)而求出橢圓方程.【小問1詳解】解：由題意可知，橢圓上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，∴，即，則又，∴，所以橢圓的離心率；【小問2詳解】解：設(shè)，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿足，∴，∴橢圓C的方程為20、（1）6人；（2）75%；（3）.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得化學(xué)成績低于50分的頻率為0.1，然后可求得人數(shù)為人；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求分?jǐn)?shù)在第三、四、五、六組的頻率之和即可；（3）結(jié)合圖形可得“成績低于50分”的人數(shù)是6人，成績?cè)谶@組的人數(shù)是，由古典概型概率公式可得所求概率為試題解析：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1，由頻率分布直方圖可得低于50分的頻率為：，所以低于分的人數(shù)為（人）（2）依題意可得成績60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），其頻率之和為，故抽樣學(xué)生成績的及格率是，于是，可以估計(jì)這次考試化學(xué)學(xué)科及格率約為75%（3）由（1）知，“成績低于50分”的人數(shù)是6人，成績?cè)谶@組的人數(shù)是（人），所以從成績不及格的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，有15種選法，成績低于50分有6種選法，故所求概率為21、（1）證明見解析.（2）存在點(diǎn)，為線段中點(diǎn)【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）在直角梯形中，作于于，連接，則，，則，，則，在直角中，可得，則，所以，故，且折疊后與位置關(guān)系不變.又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）在中，由，為的中點(diǎn)，可得.又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得平面的法向量為，假設(shè)存在點(diǎn)使平面與平面所成角的余弦值為，且()，∵，∴，故，又，∴，又由，設(shè)平面的法向量為，可得，令得，∴，解得，因此存在點(diǎn)且為線段中點(diǎn)時(shí)使平面與平面所成角的余弦值為.本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解及應(yīng)用