2025屆湖南省邵陽(yáng)市邵東一中數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

2025屆湖南省邵陽(yáng)市邵東一中數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓，若存在過(guò)點(diǎn)的直線與圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.2．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.3．設(shè)，直線與直線平行，則（）A. B.C. D.4．方程表示的圖形是A.兩個(gè)半圓 B.兩個(gè)圓C.圓 D.半圓5．焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y6．已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.7．如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（）A. B.C. D.8．已知是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是一個(gè)定點(diǎn),則的最小值為A. B.C. D.9．若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（）A.0 B.C. D.10．已知直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行，則直線方程為（）A. B.C. D.11．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°12．圓關(guān)于直線l：對(duì)稱(chēng)的圓的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________14．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則______.15．直線與直線平行，則m的值是__________16．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）我們知道，裝同樣體積的液體容器中，如果容器的高度一樣，那么側(cè)面所需的材料就以圓柱形的容器最省.所以汽油桶等裝液體的容器大都是圓柱形的，某臥式油罐如圖1所示，它垂直于軸的截面如圖2所示，已知截面圓的半徑是1米，弧的長(zhǎng)為米表示劣弧與弦所圍成陰影部分的面積.（1）請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式；（2）用求導(dǎo)的方法證明.18．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長(zhǎng).19．（12分）中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年華誕之際，某高校積極響應(yīng)黨和國(guó)家的號(hào)召，通過(guò)“增強(qiáng)防疫意識(shí)，激發(fā)愛(ài)國(guó)情懷”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，來(lái)回顧中國(guó)共產(chǎn)黨從成立到發(fā)展壯大的心路歷程，表達(dá)對(duì)建黨100周年以來(lái)的豐功偉績(jī)的傳頌．教務(wù)處為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖（1）求值并估計(jì)中位數(shù)所在區(qū)間（2）需要從參賽選手中選出6人代表學(xué)校參與省里的此類(lèi)比賽，你認(rèn)為怎么選最合理，并說(shuō)明理由20．（12分）已知函數(shù)（1）求f(x)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面于點(diǎn)M連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.22．（10分）已知，p：，q：（1）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若，“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因?yàn)?，所以，于是有，因?yàn)椋?，而，或，所以，故選：D2、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.3、C【解析】根據(jù)直線平行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故選：C4、D【解析】其中，再兩邊同時(shí)平方，由此確定圖形【詳解】根據(jù)題意，，再兩邊同時(shí)平方，由此確定圖形為半圓.故選：D【點(diǎn)睛】幾何圖像中要注意與方程式是一一對(duì)應(yīng)，故方程的中未知數(shù)的的取值范圍對(duì)應(yīng)到圖形中的坐標(biāo)的取值范圍5、B【解析】由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p，則答案可求【詳解】由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），由焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），得，即p=2∴拋物的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性比較大小【詳解】設(shè)恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，.故選：B7、D【解析】取AC的中點(diǎn)O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)到線距離的向量求法和投影的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，取AC的中點(diǎn)O，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以在上的投影的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)C到直線距離為：.故選：D8、A【解析】恰好為拋物線的焦點(diǎn)，等于到準(zhǔn)線的距離，要想最小，過(guò)圓心作拋物線的準(zhǔn)線的垂線交拋物線于點(diǎn)，交圓于，最小值等于圓心到準(zhǔn)線的距離減去半徑4-1=.考點(diǎn):1.拋物線的定義；2.圓中的最值問(wèn)題；9、D【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標(biāo)，求出切點(diǎn)到直線的距離即為所求最小距離【詳解】點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，設(shè)，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的最小距離.故選：D.10、C【解析】由題意，直線的斜率為，利用點(diǎn)斜式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即，故選：C.11、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D12、A【解析】首先求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標(biāo)，從而求出對(duì)稱(chēng)圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，即圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的圓心為，半徑，所以對(duì)稱(chēng)圓的方程為；故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)易得函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，根據(jù)題意，由求解.【詳解】由，可得函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，，，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，必有解得或故答案為：14、【解析】過(guò)焦點(diǎn)作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程可設(shè)為，不妨令則，故當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，直線方程可設(shè)為，令由整理得則，綜上，故答案為：15、【解析】利用直線的平行條件即得.詳解】∵直線與直線平行，∴，∴.故答案為：.16、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，可得a，b的關(guān)系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由弧長(zhǎng)公式得，根據(jù)即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞增，即可證明.【小問(wèn)1詳解】由弧長(zhǎng)公式得，于是，【小問(wèn)2詳解】cos，顯然在上單調(diào)遞增，于是.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長(zhǎng).試題解析：（1）由已知可得（2）又，周長(zhǎng)為考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.19、（1）；中位數(shù)所在區(qū)間（2）選90分以上的人去參賽；答案見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，所有小矩形面積和為1，即可求得a值，根據(jù)各組的頻率，即可分析中位數(shù)所在區(qū)間.（2）計(jì)算可得之間共有6人，滿足題意，分析即可得答案.【小問(wèn)1詳解】，解得成績(jī)?cè)趨^(qū)間上的頻率為，，所以中位數(shù)所在區(qū)間，【小問(wèn)2詳解】選成績(jī)最好的同學(xué)去參賽，分?jǐn)?shù)在之間共有人，所以選90分以上的人去參賽．（其它方案如果合理也可以給分）20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求導(dǎo)，進(jìn)而得到，，寫(xiě)出切線方程；（2）將轉(zhuǎn)化為，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)法證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，可得又，所以f(x)在點(diǎn)處的切線方程為整理得（或斜截式方程）（2）要證只需證因?yàn)?，所以不等式等價(jià)于設(shè)，，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增故又，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減故因?yàn)榍覂蓚€(gè)函數(shù)的最值點(diǎn)不相等所以有，原不等式得證21、（1）證明見(jiàn)詳解（2）【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，再由等腰三角形三線合一可知為中點(diǎn)，連接，利用中位線可知，根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量法即可求出兩平面所成角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】連接，交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，因?yàn)椋?，則為中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)槠矫?，平?所以平面；【小問(wèn)2詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由可得，令，得，即，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，，則平面與平面所成角的余弦值為.22、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)命題對(duì)應(yīng)的集合是命題對(duì)應(yīng)的集合的真子集列式解得結(jié)果即可得解；（2）“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，等價(jià)于與一真一假，分兩種情況列式可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閜：對(duì)應(yīng)的集合為，q：對(duì)應(yīng)的集合為，且p是q的充分不必要條件，所以，所以，解得.（2），當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椤皃或q”為真命題，“p且q”