2025屆黑龍江省安達(dá)市育才高中高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

2025屆黑龍江省安達(dá)市育才高中高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列中，且滿足，則（）A.2 B.﹣1C. D.2．在中，已知角A，B，C所對(duì)邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.13．在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或4．已知p：，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.5．方程與的曲線在同一坐標(biāo)系中的示意圖應(yīng)是（）A. B.C. D.6．已知等比數(shù)列滿足，則q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－37．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以為（）A. B.C. D.8．已知兩個(gè)向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.89．“”是“直線與直線垂直”的A.充分必要條件 B.充分非必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件10．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.11．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列滿足，且，為其前n項(xiàng)的和，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某農(nóng)場(chǎng)某植物高度，且，如果這個(gè)農(nóng)場(chǎng)有這種植物10000棵，試估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)這種植物高度在區(qū)間上的棵數(shù)為______.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.14．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E為線段中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上動(dòng)點(diǎn)，則（1）的最小值為______；（2）點(diǎn)F到直線DE距離的最小值為______.15．拋物線的準(zhǔn)線方程是________16．設(shè)為曲線上一點(diǎn)，，，若，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形的頂點(diǎn)和所在直線的方程為.（1）求對(duì)角線所在直線的一般方程；（2）求所在直線的一般方程.18．（12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最大值及相應(yīng)的的值.20．（12分）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值21．（12分）已知拋物線C：經(jīng)過點(diǎn)（1，-1）.（1）求拋物線C的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)P作圓M：的一條切線，切點(diǎn)為A，求切線長(zhǎng)|PA|的最小值.22．（10分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PAB是邊長(zhǎng)為4的正三角形且與底面ABC垂直，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，H分別是棱PA，AB，BC，PC的中點(diǎn)（1）若點(diǎn)G在棱BC上，且BG＝3GC，求證：平面∥平面DHG；（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到數(shù)列的周期性，即可得解；【詳解】解：因?yàn)榍?，所以，，，所以是周期為的周期?shù)列，所以，故選：C2、B【解析】利用正弦定理求解.【詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.3、A【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程，可解得公差d得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.4、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，正確；D選項(xiàng)：，錯(cuò)誤.故選：C.5、A【解析】方程即，表示拋物線，方程表示橢圓或雙曲線，當(dāng)和同號(hào)時(shí)，拋物線開口向左，方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，無符合條件的選項(xiàng)；當(dāng)和異號(hào)時(shí)，拋物線開口向右，方程表示雙曲線，本題選擇A選項(xiàng).6、C【解析】根據(jù)已知條件，利用等比數(shù)列的基本量列出方程，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故可得；解?故選：C.7、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，不符；B.當(dāng)時(shí)，，不符；C.當(dāng)時(shí)，，不符；D.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合.故選：D.8、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，解?故選：B9、B【解析】先由兩直線垂直求出的值，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，則，即，解得或；因此由“”能推出“直線與直線垂直”，反之不能推出，所以“”是“直線與直線垂直”的充分非必要條件.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查命題充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定條件即可，屬于?？碱}型.10、C【解析】由為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點(diǎn)，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.11、B【解析】根據(jù)題意得到得到答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，故.故選：B.12、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由題可知是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1359【解析】由已知求得，則，結(jié)合已知求得，乘以10000得答案【詳解】解：由，得，又，，則，估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)這種植物高度在區(qū)間，上的棵數(shù)為故答案為：135914、①.；②..【解析】建立空間直角坐標(biāo)系.空一：利用空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合平面兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；空二：根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有.空一：，代數(shù)式表示橫軸上一點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，如下圖所示：設(shè)關(guān)于橫軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)線段與橫軸的交點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，有最小值，最小值為；空二：設(shè)，為垂足，則有，，，因?yàn)?，所以，因此，化?jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，有最小值，即最小值為，故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.15、【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得到準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準(zhǔn)線方程為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線準(zhǔn)線的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是未將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.16、4【解析】化簡(jiǎn)曲線方程，得到雙曲線的一支，結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果【詳解】由，得，即，故為雙曲線右支上一點(diǎn)，且分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義，解題時(shí)要先化簡(jiǎn)曲線方程，然后再結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先求的中點(diǎn)，再利用垂直關(guān)系求直線的斜率，即可求解；（2）首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，再求直線的斜率，求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式直線方程，即可求解.【小問1詳解】由和得：中點(diǎn)四邊形為菱形，，且中點(diǎn)，對(duì)角線所在直線方程為：，即：.【小問2詳解】由，解得：，，，，直線的方程為：，即：.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)的公比為，根據(jù)題意求得的值，即可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，得到，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)的公比為，因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，解得，所以的通?xiàng)公式為.【小問2詳解】解：由，可得，則，所以.19、（1）（2）當(dāng)或時(shí)，有最大值是20【解析】（1）用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.（2）用等差數(shù)列的求和公式即可.【小問1詳解】在等差數(shù)列中，∵,∴，解得，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴當(dāng)或時(shí)，有最大值是2020、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解.【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長(zhǎng)到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線平面,又∵直線平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長(zhǎng)，易證三線交于一點(diǎn)P因?yàn)?，所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在中，易得，可得由，得，整理得所以所以直線與平面所成角的正弦值為[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)到平面的距離為h，在中，，，所以，易得由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡(jiǎn)潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.21、（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程求解出的值，則拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可知；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切線垂直于半徑，根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)距離公式表示出，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出的最小值.【小問1詳解】解：因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：設(shè)，因?yàn)闉閳A的切線，所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)，四邊形有最小值且最小值為.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由中位線的性質(zhì)可得、、，再由線面平行的判定可證平面PEF、平面PEF，最后根據(jù)面面平行的判定證明結(jié)論.（2）應(yīng)用勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、面面和線面垂直的性質(zhì)可證、、兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面BPC、面PCA的法向量，再應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)镈，H分別是PA，PC的中點(diǎn)，所以因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以，綜上，，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由題意，G是CF的中點(diǎn)，又H是PC的中點(diǎn)，所以，又平面