安徽省A10聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題

安徽省A10聯(lián)盟20232024學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，又，即，解?故選：B2.已知數(shù)列等比數(shù)列，且則的值為（）A. B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算得，從而可得，再利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由等比中項(xiàng)性質(zhì)可知，又.故選：D3.如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，設(shè)，則下列說法正確的是（）A. B.C.是的極大值點(diǎn) D.是的極小值點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】由題意，求得函數(shù)在處的切線方程，得到，通過對其求導(dǎo)分析，得出的單調(diào)性，極值和值域，即可一一判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】因函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，即，則，于是，，由圖知，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時.對于B項(xiàng)，由上分析，B項(xiàng)顯然錯誤；對于C,D項(xiàng)，由上分析，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減,即當(dāng)時，取得極大值，且，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯誤；對于A項(xiàng)，由上分析時，取得極大值，也是最大值，則有，故A項(xiàng)錯誤.故選：C.4.某公司收集了某商品銷售收入（萬元）與相應(yīng)的廣告支出（萬元）共10組數(shù)據(jù)（），繪制出如下散點(diǎn)圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合.若將圖中10個點(diǎn)中去掉點(diǎn)后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）A.決定系數(shù)變小 B.殘差平方和變小C.相關(guān)系數(shù)的值變小 D.解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)酢敬鸢浮緽【解析】【分析】從圖中分析得到去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，再由決定系數(shù)，殘差平方和，相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷.【詳解】從圖中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，故決定系數(shù)會變大，更接近于1，殘差平方和變小，相關(guān)系數(shù)的絕對值，即會更接近于1，由圖可得與正相關(guān)，故會更接近于1，即相關(guān)系數(shù)的值變大，解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變強(qiáng)，故A、C、D錯誤，B正確.故選：B.5.已知則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率的定義，利用條件分別求得和，從而求得.【詳解】由題知，，，，又，則故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用條件概率的定義分別求得事件同時發(fā)生的概率，再利用求得.6.有3對雙胞胎站成一排拍照，恰有一對雙胞胎相鄰的站法有（）A.144種 B.240種 C.288種 D.336種【答案】C【解析】【分析】將位置從左往右依次編號為1，2，3，4，5，6，選一對雙胞胎相鄰，分類討論這對雙胞胎分別站在1，2號、2，3號、4，5號、5，6號和3，4號的情況，利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解.【詳解】將位置從左往右依次編號1，2，3，4，5，6，當(dāng)恰有一對雙胞胎站在1，2號，則再選一對雙胞胎站在3，5號，另外一對雙胞胎站在4，6號即可，且每對雙胞胎中的兩人可以交換位置，從而有種站法；當(dāng)恰有一對雙胞胎站在2，3號、4，5號或5，6號時，情況同前面一樣，從而共有種站法；當(dāng)恰有一對雙胞胎站在3，4號，則從余下的兩對雙胞胎中各任選一人站在1，2號即可，從而有種站法．綜上可知，總站法有（種）．故選:C．7.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】由已知等式交叉相乘后得到，仿寫作差后得到，進(jìn)而得到，然后利用裂項(xiàng)相消法求出不等式左邊的最大值即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，即，則，與上式作差后可得，因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以?shí)數(shù)的最小值為，故選：B.8.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】正實(shí)數(shù)滿，變形為，構(gòu)造函數(shù)，則，利用函數(shù)的單調(diào)性可得，通過換元可得，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】∵正實(shí)數(shù)滿足，∴，且，構(gòu)造函數(shù)，則，，∴時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴，則，令，，，令，，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則上，上，∴時函數(shù)取得極大值，即最大值0.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某研究機(jī)構(gòu)為了探究過量飲酒與患疾病真否有關(guān)，調(diào)查了400人，得到如圖所示的列聯(lián)表，其中，則（）患疾病不患疾病合計(jì)過量飲酒不過量飲酒合計(jì)400參考公式與臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828A.任意一人不患疾病的概率為0.9B.任意一人不過量飲酒的概率為C.任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為D.依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為過量飲酒與患疾病有關(guān)【答案】ACD【解析】【分析】先求出，利用古典概型概率公式求解判斷AB，利用條件概率概念求解判斷C，求出的觀測值，即可判斷D.【詳解】由已知得，又，所以.任意一人不患疾病的概率為，所以A正確；任意一人不過量飲酒的概率為，所以B錯誤；任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為，所以C正確；對于D，列聯(lián)表如下：

患疾病不患疾病合計(jì)過量飲酒30120150不過量飲酒10240250合計(jì)40360400則的觀測值，由于，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為過量飲酒與患疾病有關(guān)，所以D正確.故選：ACD10.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤睿褦?shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.B.1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C.D.，總存在，使得成立【答案】BCD【解析】【分析】用累加法求出、，再用裂項(xiàng)相消法可判斷A；分別令和，看有無正整數(shù)解即可判斷B；將放縮后用裂項(xiàng)相消求和即可判斷C；取即可判斷D.【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，3，6，10，…，則有，利用累加法，得，得到，n=1時也成立；正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，4，9，16，…，則有，利用累加法，得，得到，n=1時也成立.對于A，，利用裂項(xiàng)求和法：，故A錯誤；對于B，令，解得；令，解得；故B正確；對于C，，則，整理得，，故C正確；對于D，取，且，則令，則有，故，總存在，使得成立，故D正確.故選：BCD.11.將1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)隨機(jī)地排成一個數(shù)列，記第i項(xiàng)為，則下列說法正確的是（）A.若，則這樣的數(shù)列共有360個B.若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列共有288個C.若該數(shù)列恰好先減后增，則這樣的數(shù)列共有50個D.若，則這樣的數(shù)列共有71個【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)對稱性可得，即可判斷A，對于B：則這樣的數(shù)列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判斷B，對于C：對的位置分類討論，對于D，分、、三種情況討論.【詳解】解：對于A：由于為奇數(shù)，根據(jù)對稱性可知這樣的數(shù)列有個，故A正確；對于B：若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，則有個，故B錯誤；對于C：從1，2，3，4，5，6中選出個數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，得到先減后增的數(shù)列有個；從1，2，3，4，5，6中選出2個數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，得到先減后增數(shù)列有個；從1，2，3，4，5，6中選出3個數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，得到先減后增的數(shù)列有個；從1，2，3，4，5，6中選出4個數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，得到先減后增的數(shù)列有個；從1，2，3，4，5，6中選出5個數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，得到先減后增的數(shù)列有個；故滿足條件的總個數(shù)為：個，故C錯誤．對于D：若則這樣的數(shù)列有個，若則這樣的數(shù)列有個，若則這樣的數(shù)列有個，所以滿足條件的這樣的數(shù)列共有個，故D正確；故選：AD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)變量，且，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】1215【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求得的值后，利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】，，，．展開式第項(xiàng)：，．故答案為：1215.13.小張一次買了三串冰糖葫蘆，其中一串有兩顆冰糖葫蘆，一串有三顆冰糖葫蘆，一串有五顆冰糖葫蘆.若小張每次隨機(jī)從其中一串中吃一顆，每一串只能從上往下吃，那么不同的吃完的順序有__________種.（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】2520【解析】【分析】考查排列問題，記三串冰糖葫蘆從上往下依次為，，，則由每一串只能從上往下吃可知每一串冰糖葫蘆相對位置是已定的，所以根據(jù)定序問題處理即可求出答案.【詳解】由題，記三串冰糖葫蘆從上往下依次為，，，則因?yàn)槊恳淮荒軓纳贤鲁裕栽谇氨怀?，在前而在前被吃，即它們被吃的相對位置是已定的，同理被吃的相對位置也是已定的，所以根?jù)排列中定序問題可得不同的吃完的順序有種.故答案為：2520.14.已知關(guān)于的不等式對任意均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分且和且，兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式，求得函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式對任意均成立，①當(dāng)對任意均成立時，可得對任意均成立，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，又由對任意均成立，可得對任意均成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，所以.②當(dāng)且對于任意均成立時，結(jié)合①可知且，此時無解.綜上可得，實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃、某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金．該企業(yè)為了了解研發(fā)資金的投入額（單位：百萬元）對年收入的附加額（單位：百萬元）的影響，對往年研發(fā)資金投入額和年收入的附加額進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：投入額234568911年收入的附加額3.64.14.85.46.27.57.99.1（1）求證：，；（2）求年收入的附加額與投入額的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．若投入額為13百萬元，估計(jì)年收入的附加額．參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，，．【答案】（1）證明見解析（2）；百萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)據(jù)的平均數(shù)的計(jì)算公式，準(zhǔn)確化簡，即可得證；（2）由統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)，求得，，利用公式求得，進(jìn)而得到，得出回歸直線方程，令，求得的值，即可得到答案.【小問1詳解】證明：由；又由.【小問2詳解】解：由統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)，可得，，所以，又因?yàn)椋傻?，所以年收入的附加額與投入額的線性回歸方程為，當(dāng)時，可得百萬元.16.已知數(shù)列滿足，且．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由，且得，從而得證.（2）先由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而用錯位相減法和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以即，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）得，故所以，所以，令①，所以②，所以由①②得，故,所以.17.某大學(xué)為了研究某個生物成立了甲、乙兩個小組，兩個小組分別獨(dú)立開展對該生物離開恒溫箱的成活情況進(jìn)行研究，每次試驗(yàn)一個生物，甲組能使生物成活的概率為，乙組能使生物成活的概率為．假定試驗(yàn)后生物成活，則稱該次試驗(yàn)成功，如果生物不成活，則稱該次試驗(yàn)失?。?）甲組做了4次試驗(yàn)，求至少1次試驗(yàn)成功的概率；（2）若甲、乙兩小組各進(jìn)行2次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功的總次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和對立事件概率的求法即可得到答案.（2）首先得到的可能取值，再分步驟寫出分布列，最后計(jì)算期望即可.【小問1詳解】記甲組做了4次實(shí)驗(yàn)，至少1次試驗(yàn)成功的概率為事件，則事件的對立事件為:甲組做了4次實(shí)驗(yàn)均失敗，所以.【小問2詳解】由題意得，可能的取值為0，1，2，3，4，則，，，，故的分布列為01234所以18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）研究導(dǎo)函數(shù)正負(fù)情況結(jié)合極值定義即可求解.（2）先由（1）得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，通過研究其最小值正負(fù)情況即可求解函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)情況.【小問1詳解】由題函數(shù)定義域?yàn)镽，為增函數(shù)，所以當(dāng)時，恒成立，此時為R上的增函數(shù)，無極大值也無極小值；當(dāng)時，令，故當(dāng)時，，在上的單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上的單調(diào)遞增，