高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練24兩角和與差的三角函數(shù)

二十四兩角和與差的三角函數(shù)(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于 ()A.0 B.12 C.1 D.【解析】選C.sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin(15°+75°)=sin90°=1.2.(5分)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sin47°,cos47°),則sin(α13°)等于 ()A.12 B.32 C.12 【解析】選A.由三角函數(shù)的定義,得sinα=cos47°,cosα=sin47°,則sin(α13°)=sinαcos13°cosαsin13°=cos47°cos13°sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=123.(5分)(2023·長沙模擬)1-tan15°1+tan15A.1 B.3 C.33 D.【解析】選C.1-tan15°1+tan15°=tan45°-4.(5分)已知12sinα+32cosα=45,則sin(α+4π3)A.235 B.235 C.45【解析】選C.因?yàn)?2sinα+32cosα=45,所以sin(α+π3則sin(α+4π3)=sin(π+α+π3)=sin(α+π3)5.(5分)(2023·西安模擬)已知2cos(α+π6)=sinα,則sinαcosα等于 (A.34B.34C.237【解析】選D.2cos(α+π6)=sinα,即2cosαcosπ62sinαsinπ6=sinα,即3cosαsinα=sinα,則tanα=32,所以sinαcosα=sinα6.(5分)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.sin(αβ)sin(βγ)cos(αβ)cos(γβ)=cos(αγ)B.315sinx+35cosx=35sin(x+π6C.f(x)=sinx2+cosx2D.sin50°(1+3tan10°)=1【解析】選CD.對于A,左邊=[cos(αβ)cos(βγ)sin(αβ)sin(βγ)]=cos[(αβ)+(βγ)]=cos(αγ),故A錯(cuò)誤;對于B,315sinx+35cosx=65(32sinx+12cosx)=65sin(x+π6),故對于C,f(x)=sinx2+cosx2=2sin(x2+π4),所以f(x)的最大值為2,對于D,由sin50°(1+3tan10°)=sin50°·(1+3sin10=sin50°·cos10°+3sin10°cos10°=2sin50°7.(5分)滿足等式(1+tanα)(1+tanβ)=2的數(shù)組(α,β)有無窮多個(gè),試寫出一個(gè)這樣的數(shù)組____________.

【解析】由(1+tanα)(1+tanβ)=2,得1+tanβ+tanα+tanαtanβ=2,所以tanβ+tanα=1tanαtanβ,所以tanβ+tanα1-tanα所以α+β=kπ+π4,k∈Z,所以α可以為0,β可以為π4(答案不唯一答案:(0,π4)(答案不唯一8.(5分)(2023·青島質(zhì)檢)已知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=35,sin(βπ4)=2425,則cos(α+π【解析】由題意知,α+β∈(3π2,2π),sin(α+β)=35<0,所以cos(α+β)=因?yàn)閟in(βπ4)=2425,βπ4∈(π2,3π4),所以cos(β所以cos(α+π4)=cos[(α+β)(βπ4)]=cos(α+β)cos(βπ4)+sin(α+β)sin(βπ4答案:49.(10分)在①tan(π+α)=3;②sin(πα)2sin(π2α)=cos(α);③3sin(π2+α)=cos(3π2+α)中任選一個(gè)條件,補(bǔ)充在下面問題中已知0<β<α<π2,________,cos(α+β)=5(1)求sin(απ4)(2)求β.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】(1)若選①,tan(π+α)=tanα=sinαcosα=3,又因?yàn)閟in2α+cos2α=1,0<α所以sinα=31010,cosα=1010,所以sin(απ4)=sinαcosπ=31010×221010×若選②,因?yàn)閟in(πα)2sin(π2α)=cos(α),化簡得sinα=3cosα又因?yàn)閟in2α+cos2α=1,0<α<π2,所以sinα=31010,cosα所以sin(απ4)=sinαcosπ4cosαsinπ4=31010×22若選③,因?yàn)?sin(π2+α)=cos(3π2+α),化簡得3cosα=sin又因?yàn)閟in2α+cos2α=1,0<α<π2,所以sinα=31010,cosα所以sin(απ4)=sinαcosπ4cosαsinπ4=31010×22(2)因?yàn)?<β<α<π2,且cos(α+β)=55,所以π2<α所以sin(α+β)=1-cos所以sinβ=sin[(α+β)α]=255×1010(55)×31010=22,又因?yàn)?<β<【能力提升練】10.(5分)(2024·長沙模擬)古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯詳細(xì)地討論了無理數(shù)的理論,他通過圖來構(gòu)造無理數(shù)2,3,5,…,如圖,則cos∠BAD= ()A.26-336 C.23+66 【解析】選B.記∠BAC=α,∠CAD=β,由題圖知:sinα=cosα=22,sinβ=33,cosβ=63,所以cos∠BAD=cos∠BAC+∠CAD=cosα+β=cosαcosβsinαsinβ=211.(5分)(多選題)已知α,β,γ∈(0,π2),sinβ+sinγ=sinα,cosα+cosγ=cosβ,則下列說法正確的是 (A.cos(βα)=32 B.cos(βα)=C.βα=π6 D.βα=【解析】選BD.由已知可得sinγ=sinα-sinβ,cosγsinβ)2+(cosβcosα)2=22(cosβcosα+sinβsinα)=22cos(βα),所以cos(βα)=12因?yàn)棣?β,γ∈(0,π2),則π2<βα<π2,因?yàn)閟inγ=sinαsinβ>0,函數(shù)y=sinx在(0,π2)上單調(diào)遞增,則α>β,則π2<βα<0,故12.(5分)已知α,β∈(π2,0),且tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,則α+β=________【解析】由tanα+tanβ+3tanαtanβ=3得tan(α+β)=tanα+tanβ又α,β∈(π2,0),則α+β∈(π,0),所以α+β=2π答案:2π13.(5分)(2024·北京模擬)設(shè)A(cosα,sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α,β∈R.當(dāng)α=π,β=π2時(shí),AB=________;當(dāng)AB=3時(shí),αβ的一個(gè)取值為________【解析】根據(jù)題意可得當(dāng)α=π,β=π2時(shí),可得A-1,0所以AB=-1-02+0-22即cosα-2cosβ2+sinα-即cosα-β=12,可得αβ=±π3+2kπ,所以α答案:5π3(答案不唯一14.(10分)已知A,B均為鈍角,且sinA=55,sinB=1010,求A+B【解析】因?yàn)锳,B均為鈍角,且sinA=55,sinB=1010,所以cosA=1-cosB=1-sin2B=31010,所以cos(A+B)=cosAcos=255×(31010)55×1010=22.又因?yàn)棣?<A<π,π2<B<π,所以π<A+15.(10分)已知sin(α+β)=12,sin(αβ)=1(1)求證:sinαcosβ=5cosαsinβ;(2)已知0<α+β<π2,0<αβ<π2,求cos2α【解析】(1)因?yàn)閟in(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ=1所以2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,①3sinαcosβ3cosαsinβ=1,②②①得sinαcosβ5cosαsinβ=0,則sinαcosβ=5cosαsinβ.(2)因?yàn)閟in(α+β)=12,sin(αβ)=13,0<α+β<π2,0<αβ所以cos(α+β)=32,cos(αβ)=223,則cos2α=cos[(α+β)+(=cos(α+β)cos(αβ)sin(α+β)sin(αβ)=32×22312×【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)已知15sinθtanθ+16=0,θ∈(0,π),則cos(θπ4)=________【解析】由15sinθtanθ+16=0得sin2θ=1615cosθ,又sin2θ+cos2